拉格朗日插值法

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拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）是一种用于通过已知数据点构建插值多项式的方法。它使用一系列已知数据点，如 (𝑥₀, 𝑦₀), (𝑥₁, 𝑦₁), …, (𝑥ₙ, 𝑦ₙ)，其中每个数据点都有一个对应的自变量值和因变量值，通过一个多项式函数来逼近这些数据点，并用于估计其他自变量值对应的因变量值。
拉格朗日插值法的基本思想是构建一个多项式函数，使该函数在已知数据点上完全符合，并通过这个多项式来估计其他自变量值对应的因变量值。这个多项式称为拉格朗日插值多项式。假设要构建一个 𝑛 阶的拉格朗日插值多项式，它将能够完全通过 𝑛+1 个已知数据点。
( g- C7 D. D5 f# F拉格朗日插值多项式的表达式为：
8 \8 Z& K- x% @* g& V[𝑃(𝑥) = \sum{𝑘=0}^{𝑛} 𝑦𝑘 𝐿_𝑘(𝑥)]
. \" O4 i2 b' a! A# G: g其中，𝑦𝑘 是已知数据点中第 𝑘 个点的因变量值，而 𝐿𝑘(𝑥) 是拉格朗日基础多项式（Lagrange Basis Polynomial）：
) Y6 L7 A7 Z  Z% x! Y9 X7 ^" o[𝐿𝑘(𝑥) = \prod{𝑝=0, 𝑝≠𝑘}^{𝑛} \frac{𝑥-𝑥𝑝}{𝑥𝑘-𝑥_𝑝}]
% j5 A$ P: g  {. {每个 𝐿𝑘(𝑥) 都是一个 𝑛 阶多项式，它在已知数据点 𝑥𝑘 处等于 1，并且在其他已知数据点 𝑥_𝑝 (𝑝 ≠ 𝑘) 处等于 0，从而保证拉格朗日插值多项式 P(𝑥) 在已知数据点上完全符合。
- m- A& X0 \; t' h# @8 J+ [8 @通过计算插值多项式 P(𝑥) 并将待估计的自变量值代入，可以得到相应的因变量值的估计结果。
! }5 B, s5 d# V# y, v# y* t需要注意的是，拉格朗日插值法在使用较高阶的插值多项式时可能会出现龙格现象（Runge's phenomenon），即在插值多项式的两个已知点之间的区域内振荡增长，导致插值效果不佳。为了避免这个问题，可以考虑使用其他插值方法，如样条插值（spline interpolation）或分段线性插值（piecewise linear interpolation），以获得更好的插值结果。
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