柯尔莫哥洛夫定理

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柯尔莫哥洛夫定理（Kolmogorov's theorem）是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量的累积分布函数（CDF）与标准正态分布函数之间的差异。
柯尔莫哥洛夫定理的表述如下：对于任意一个实数a，定义随机变量X的累积分布函数为F(x)，则有：
: f$ W. n% k  X# B6 Rlim(n→∞) P(sqrt(n)(max(X1,X2,…,Xn) - a) ≤ x) = Φ(x)
# K0 V9 D! |2 X8 {7 j) e; t" C其中，X1, X2, …, Xn是独立同分布的随机变量，且具有相同的累积分布函数F(x)；Φ(x)是标准正态分布函数。
简单来说，柯尔莫哥洛夫定理说明了当样本容量趋向于无穷大时，随机变量的最大值与一个常数的差异在标准化后会趋近于标准正态分布。
柯尔莫哥洛夫定理在概率论和数理统计中有广泛的应用，特别是在假设检验和非参数统计中。它提供了一种方法来检验样本数据是否符合某个理论分布，并且可以用于构建置信区间和进行假设检验。