matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
' f* y5 @  y) k+ O; U- O2 d
1 m; N/ @7 x) g& S" b1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
3 `$ H( O9 i5 n' ^/ `8 k7 I2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
1 J* R; i0 d; U2 Y3 y& Y! p! ?5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
/ A* e$ O% q8 j. C9 A: e6 j' c8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
7 x2 s4 v; E( i2 \, X  d; ]" b11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];\" h7 b4 B, ^4 B! j+ E
   
2. b=[2,-1,-1,2]';
   / b: I! f9 z4 A6 C, _$ U  e
3. n=length(b);& o: K, b, R- s) v  E$ h
   
4. w=10;
   7 {, n7 G7 w# ~# D, T3 W6 l* G/ S( h
5. D=diag(diag(A));
   ; i. S5 Q0 q9 M0 W! I
6. CL=-triu(A,1);4 G& Z+ `  P  ~7 s0 z$ p- u
   
7. CLZ=CL';( f# c( G; h. |5 @
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   ' \# J+ l$ p/ Z
9. M=L*L';* {/ Q1 _, j6 c
   
10. C=inv(D)*CL;
    \" K3 Z/ I( L2 I( j6 ?2 s
11. u=[2,3,4,5]';9 \: P- ]5 ~9 X' p& N
    
12. g=inv(L)*b;
    9 E\" G+ J\" g# j) L* @1 p0 e6 A! {\" v
13. B=inv(L)*A*inv(L)';4 _  o7 d( C: w# ~, x
    
14. v=L'*u;
    : I( \# ?0 F\" l' G8 D/ z
15. rw=g-B*v;
    ( d% t$ Q9 U  k$ h/ ?: t
16. r=L*rw;& }/ {& ~/ ?6 w+ {1 e
    
17. p=inv(M)*r;
    & T, q+ q% f4 e! u. O
18. z=p;
    9 L  K; ~; l7 _5 A: D( }2 |
19. q=A*p;
    & p3 m' k. f& x& |  N2 ?! V6 r
20. for i=1:50
    ( I. K; I/ A( l3 G, [2 l- Z6 [9 R
21.     af=r'*z/(p'*q);
    ! L2 i' ?* E( `8 a  J
22.     u=u+af*p3 p& y. ?- H. z- A
    
23.     r1=r-af*q;
    0 F( R# N, y, l
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    2 l7 g9 h& A0 h$ t7 f
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;9 l% o! }$ f1 X; h9 z: v
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);; ?$ G& ?& o0 D: G# g, s9 g
    
27.     p=z1+bt*p;
    5 G  {; Z  z- H- W& X
28.     q=A*p;* x\" ~9 T% I$ G0 ]5 A
    
29. end. m& e7 R: X6 E2 }0 s1 ~& n2 P
    
30.   % Boundary condition.! G4 i' {5 @8 l
    
31. % zw(:,1) = 0;( Z# ?\" D$ j) ?2 Y- g( i0 x' Z
    
32.   %zw(:,n) = 0;2 r! w$ |3 N; e) e
    
33.   %z(:,1) = 0;/ Q: _7 B/ H) S! K9 f
    
34.   %z(:,n) = 0;
    \" U  S. M6 m2 `' `  e! @
35.   %for i=2:100 \. |\" T1 W7 y
    
36.    %   for j=2:10: j) `% R6 j6 P\" t
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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. V+ d+ S, V- J6 O% S3 H2 m6 m