matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
, Z; }) h% R  Q以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
0 l6 i9 e: k2 v2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
8 y4 [. Z  _; y7 F6 s+ ^$ Y* I3.(D)：(A) 的对角矩阵。
8 w) w) H! a' Z4 e) R6 N$ i3 W( V) @4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
+ E9 J) y# G' t( F2 c9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
4 a0 b, F9 Y* M, v  T11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   ; l0 t% k# B6 o( n* h\" Z6 ^/ L3 T  i
2. b=[2,-1,-1,2]';
   $ ^9 M6 t2 E: `: m2 ]
3. n=length(b);6 k1 R/ ^! v9 h. g. X9 z: Z
   
4. w=10;
   9 S. [5 g4 T- [; |$ T  c
5. D=diag(diag(A));
   / t) P3 ?( i. g! Y5 B
6. CL=-triu(A,1);
   7 G# {; i: ]0 K6 r3 a
7. CLZ=CL';
   2 w& y$ }+ S* F# M; a# J9 n
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));: p& G\" L/ `+ U3 Q
   
9. M=L*L';4 n5 p* x& k2 {+ J1 j  p8 w
   
10. C=inv(D)*CL;
    2 ~' {8 w  a* X) S* W' n
11. u=[2,3,4,5]';( }: K6 w# G\" d( S5 z9 Q
    
12. g=inv(L)*b;8 i, Z6 c3 p; a6 w0 u% `+ f& y
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';& |2 m) p: Z9 ]+ w8 B, P0 z
    
14. v=L'*u;
    / l/ B  C3 P( n4 y  [5 G
15. rw=g-B*v;
    ( l8 L& G; H( G7 A  E
16. r=L*rw;( M* H  U- M- A$ m& m/ |! M
    
17. p=inv(M)*r;2 y) i& y: G% Y  [2 s  m4 g
    
18. z=p;6 |8 X8 ?8 A# P( }
    
19. q=A*p;
      X( W8 A( t8 p. @, ^\" y
20. for i=1:50
    $ A4 j) C- a: G+ j4 W% v* y
21.     af=r'*z/(p'*q);9 D& Q/ ?& G; X\" F( v
    
22.     u=u+af*p6 O3 C: Z$ d6 A4 A
    
23.     r1=r-af*q;
    ) I9 L2 e# _  R. M+ K- e
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    , e) S( V9 ^! h\" _
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;$ }4 m4 t, J  p% a; Y
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    ' ?9 R' u3 V0 \
27.     p=z1+bt*p;. }) R% u$ z$ ]! p+ t) n; K% C
    
28.     q=A*p;5 @0 a8 E! }8 j, P
    
29. end( d  e$ A2 q5 V$ \! R
    
30.   % Boundary condition.( D0 I' X4 g0 l
    
31. % zw(:,1) = 0;
    1 Z6 }\" `; n4 q( a  ~' e
32.   %zw(:,n) = 0;. J  a$ b: I$ a
    
33.   %z(:,1) = 0;% C7 E; H0 ?6 \; {
    
34.   %z(:,n) = 0;
    ) x) s5 U\" t0 O/ k+ _0 t
35.   %for i=2:10- d: g7 n! [; G2 m, q  {# y
    
36.    %   for j=2:10
      b6 D\" `5 r) `  C% Z  k& a\" ^
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

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。
  ?& `, h& M9 _

5 Z' s9 `+ n: D) M3 l) J