matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
! F8 S7 s/ b# p3 P: I6 C- Q6 T2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
2 T9 O2 M" f' _, f3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
: s* W3 n& M3 V6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
5 }6 J: |2 R2 g9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   # E% R$ L' i  i( x
2. b=[2,-1,-1,2]';
   1 Q2 s' S& N' x  w- I( I
3. n=length(b);
   ( G) S% H% h3 G
4. w=10;
   9 C8 m: }$ @5 K
5. D=diag(diag(A));
   - G# G5 D  o7 I. K
6. CL=-triu(A,1);
   $ T9 \2 W- G6 `6 q1 g
7. CLZ=CL';  T8 h( n8 ?4 f5 Q
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));) u. Q: X7 n' q- q( O( H2 K
   
9. M=L*L';3 o8 x$ R% H1 l\" W8 u
   
10. C=inv(D)*CL;
    + |$ `3 Y8 T, l0 L$ R( H3 \
11. u=[2,3,4,5]';7 ]' F( V# o1 w. \
    
12. g=inv(L)*b;
    $ l/ U9 a+ J3 m8 L4 m- H( ?) Z
13. B=inv(L)*A*inv(L)';0 w0 Y7 Z' m, l0 g
    
14. v=L'*u;
    0 j+ v# t: b6 P. N9 R) W
15. rw=g-B*v;
    ( `* Y0 a4 i, z4 Q6 R# q3 Q6 Y
16. r=L*rw;2 \0 J0 u( |2 d; }, x; k5 n7 \
    
17. p=inv(M)*r;
    + {9 ^4 ]& E, I; u$ }2 L
18. z=p;
    - ?+ G6 n7 O' O; e' _
19. q=A*p;/ f. Y# G+ L- g* R1 |6 \4 D
    
20. for i=1:50. j/ n5 f8 K3 H1 B, {; @
    
21.     af=r'*z/(p'*q);& b' D: B# ^0 H6 r: x
    
22.     u=u+af*p6 j1 A3 T1 H9 B
    
23.     r1=r-af*q;
    ! b1 P; g$ h7 b+ Y3 T! z  h
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);5 x7 e$ p* L5 c2 H  v\" {
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    \" }1 V$ m- W2 e) G$ f
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    0 l! l8 F7 `6 z+ x% w
27.     p=z1+bt*p;. A9 C! q, {8 T4 Q! y
    
28.     q=A*p;/ b$ O5 V, M- A\" p- }' p& d# F
    
29. end2 m' M8 }  K5 g. K
    
30.   % Boundary condition.( o: `3 p$ P/ M5 _- c3 ^) x
    
31. % zw(:,1) = 0;# w4 a, D% ?' u$ p) U
    
32.   %zw(:,n) = 0;8 s\" F. B\" V) e. R% m
    
33.   %z(:,1) = 0;
    - d! C9 r) d1 l) u) N9 i& }
34.   %z(:,n) = 0;
    - y  F9 Q$ ^2 z0 c  n
35.   %for i=2:10$ }% Y+ A1 h7 [; _0 y( `
    
36.    %   for j=2:10
    ( c( E) P* y5 D, Y' o  `
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。

# X* T0 N; H/ L8 b( R/ E$ ?