matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
# J% D3 a# m! C+ \
1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
9 b; {2 i3 J) d4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
4 O, ]6 X( t# _6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
9 q+ ^9 j' r" g8 l8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
$ @  F) ^+ r8 z3 y6 f10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
2 H; v; H" V; k/ Y0 K$ n11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   # w. E5 N3 k\" @
2. b=[2,-1,-1,2]';; ^$ y% a2 Y3 q# D. T4 Z
   
3. n=length(b);
   6 r! o0 O7 n+ x' K* I* Z$ b# q
4. w=10;
   ' S7 ~$ C' P# G& U
5. D=diag(diag(A));$ L) ]; F4 u( |6 M# ?
   
6. CL=-triu(A,1);
   - |. o2 X) s& L6 {4 J- E
7. CLZ=CL';
   5 g* @( d1 M# o; P! X* `
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));, S  p\" v* Z# Y& o( g
   
9. M=L*L';% F% D( n2 z# U  h
   
10. C=inv(D)*CL;$ d$ M- x8 y: D# n6 b
    
11. u=[2,3,4,5]';
    2 g7 y+ @3 \. |( k7 A
12. g=inv(L)*b;8 x) p$ g: y6 H\" n( z
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    * y: b\" t/ k8 D4 G1 T! w
14. v=L'*u;
    % a- Y5 f8 J- K, c! s! A
15. rw=g-B*v;
    $ o# c' a1 r* @\" x% Z
16. r=L*rw;2 ~8 |* ^& o  @/ f& L* E) h) t! L3 u/ Z
    
17. p=inv(M)*r;
    ! R7 M. Z7 Q0 C
18. z=p;
    0 X- f* x7 w# f+ J3 H  _- {
19. q=A*p;
    \" p+ f+ U  i: P, K* ~3 I- @
20. for i=1:50
    # W) J& }/ ~4 t% A2 |
21.     af=r'*z/(p'*q);
    ; w3 i' y5 K2 L' p3 H; O
22.     u=u+af*p
    $ K3 x& M9 `3 C4 Z
23.     r1=r-af*q;
    # k' J: i8 @3 w. ]6 [* o9 O
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);9 m! R. Q# R, C+ I# S2 T
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;: }* G0 \\" e6 g$ d. L
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    2 b% D* e. W; g$ h: E
27.     p=z1+bt*p;6 \& B! Q9 u  z
    
28.     q=A*p;
    9 l' {: [: A' y$ ^
29. end
    % y9 S- w! t+ p% R
30.   % Boundary condition.( f- A\" {2 K; Y7 q- U( ~. E
    
31. % zw(:,1) = 0;- |  W2 Q7 S! B; w7 q- e0 |
    
32.   %zw(:,n) = 0;
    ' w. a' r9 v3 H& h3 B6 T
33.   %z(:,1) = 0;
    ! ]: o  v\" N( {* i1 ~9 |1 z+ c
34.   %z(:,n) = 0;: _+ m* W9 U1 r  L7 n1 _\" @
    
35.   %for i=2:104 ]  V' `/ M, u4 R# h9 o
    
36.    %   for j=2:10) D1 U0 o0 p5 Z\" ~  R1 m3 d
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。

6 U  g( M* D) |1 }' d
! h( |* e3 g/ E' R. b3 P: T