matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
: H9 H1 I8 f9 [3 y
$ U) D0 m  ~) J& A  Q1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
( H: o& D. R( m% C' r; m3 p4 {3.(D)：(A) 的对角矩阵。
7 W  c6 f; T- k9 r% f, z( ]4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
1 V" {! u) B1 T: F6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
0 f& Q' B% Y. X' C3 W: F, H( I11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];6 N3 C. y) p; e
   
2. b=[2,-1,-1,2]';
   8 }' n& j& b) _4 M
3. n=length(b);& R3 f  ^% p& ~. e% P
   
4. w=10;
   5 [; v5 F* b; b
5. D=diag(diag(A));\" k+ ?. W) V# u+ A$ e: t
   
6. CL=-triu(A,1);& D9 o) Z0 T2 b
   
7. CLZ=CL';
   ) P  s4 v5 A0 L, i, j, _/ W' G  C# h
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   ( |0 Q: D\" {! n9 j8 |
9. M=L*L';. T- N0 F3 d: i- P
   
10. C=inv(D)*CL;
    $ o: D- K! g2 e. O- y4 d
11. u=[2,3,4,5]';
    \" Q/ ^0 `5 l. l. O$ A' o) b
12. g=inv(L)*b;5 d; Y% Y$ n- E5 _
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ) |+ O1 X* A7 T3 x* o* m
14. v=L'*u;3 T+ T/ R% T1 G\" c$ q% f
    
15. rw=g-B*v;
    4 z, z# A! z0 A  o
16. r=L*rw;% ~( j! L* I* o( l) N( @+ p# s
    
17. p=inv(M)*r;
    / a# y! z5 p( t: j: V, S
18. z=p;4 P$ e4 V) S) N& o+ u
    
19. q=A*p;+ ^7 h' R$ F4 f& i1 g% k- m
    
20. for i=1:50$ r6 j+ e2 r) `: z$ ~% W
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    ! A# j' X& k: x
22.     u=u+af*p
    + Z' M* k2 H( ]+ N8 ~* n' O
23.     r1=r-af*q;
    2 `0 ?9 _& i; L/ Q
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);, ]: j\" Y; N( U0 @+ r) b
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;& M+ m3 K  F\" v8 e3 ^# }
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);/ B% I6 `' k: O9 |2 C; S5 d/ N
    
27.     p=z1+bt*p;3 X* V9 {9 N6 [
    
28.     q=A*p;
    # i  u( a4 o. T% o% E$ m) h
29. end; e4 k( m2 S' P  _# A$ F
    
30.   % Boundary condition.
    * j9 G: K! y/ k
31. % zw(:,1) = 0;* T\" X8 [1 r8 _& V( ?
    
32.   %zw(:,n) = 0;' B. L9 |0 Z, [, N3 f0 j8 n
    
33.   %z(:,1) = 0;4 D& e- i; q# _) M  h
    
34.   %z(:,n) = 0;
    * V$ x$ _) U. L' V) _
35.   %for i=2:101 ^1 n5 D\" y' w$ t
    
36.    %   for j=2:10. [7 k0 U' G% K7 P
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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, K1 Y' B3 |- h" G* L! W7 O: G
! s, p: O, ]3 ^7 ?! E% w( o0 J
% ?4 T! Q- d; a9 r/ |