matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
8 K% p3 p+ m5 J! `/ Y" o以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
% h0 m; |2 U: i; e1 h5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
( X# p1 s# a' S) ]9 ]9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];7 `3 {4 B8 {( V5 c2 K; k5 W8 @
   
2. b=[2,-1,-1,2]';% ?1 z\" i$ D9 c9 @/ p* T$ ~, T( r* D# i
   
3. n=length(b);
   / t' n2 Z1 n- n) W0 J$ X4 ~
4. w=10;3 H- [8 M6 p2 C
   
5. D=diag(diag(A));
   2 {, H- M( H/ d; h/ [) x2 u
6. CL=-triu(A,1);- u$ }% {# @. O5 q0 ^  v1 q
   
7. CLZ=CL';/ z\" s8 n0 H# R' h$ H1 G* ^- j
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   - ^\" ~8 G4 [& w3 {6 ]5 V  ?
9. M=L*L';
   5 T8 A\" y* k' ~9 p5 [
10. C=inv(D)*CL;0 \  ^+ }/ u9 {7 G; p! I/ _! v0 C  ]\" }! l
    
11. u=[2,3,4,5]';
    1 O! [6 U# d$ @: b  B8 c4 ?
12. g=inv(L)*b;( w0 V1 f, b' n/ W
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    1 s, ^  u# Y8 N! V: k0 ?; T
14. v=L'*u;
    & L% B* Z% M0 q9 p! f4 ^; j; E& [
15. rw=g-B*v;; o4 N+ a7 [4 ^: p4 q
    
16. r=L*rw;
    8 H6 v# k  w* e
17. p=inv(M)*r;8 q4 S0 i+ _7 ]) K
    
18. z=p;/ P# {  t1 x3 \$ [/ `
    
19. q=A*p;
    - o\" l2 {$ }5 A' q& f. n( j! \: T
20. for i=1:50; J7 I/ ?9 t' x! {) n
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    $ m5 J/ n\" f7 |/ Y2 M
22.     u=u+af*p* Y4 n( P( R' n) @$ ~
    
23.     r1=r-af*q;
    : E4 V- O% U$ E; l2 `' a8 m3 ]+ v. g# s
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    : R4 h3 `+ [5 b9 w. y
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    & v% D5 ?3 [) i/ b
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);( I7 R6 s- a% ]5 y) r
    
27.     p=z1+bt*p;
    % C  o- u: F/ V  C. K& s
28.     q=A*p;, v# @9 n  Z( a0 J+ M
    
29. end9 P\" S- }) Y. P
    
30.   % Boundary condition.) h8 B) U8 U# I\" W\" _7 z* c
    
31. % zw(:,1) = 0;6 o8 W/ ~: Q) I! g2 ^+ ~
    
32.   %zw(:,n) = 0;' B- O* X+ h, N2 J  n
    
33.   %z(:,1) = 0;- ]9 M! ~3 {7 K( j; e* q
    
34.   %z(:,n) = 0;; w% \\" X2 A8 y7 H, L9 I
    
35.   %for i=2:10. D& T) z' M7 F: g
    
36.    %   for j=2:10
    % e  V4 W) h8 f. F
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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) Z. T7 r. i9 H; I