matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

, y* [& ]. F% ?, E* W: |3 _+ E! }1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
" G+ j  e+ y- W4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
4 d- ?( P+ H/ u9 z1 Q# t2 {5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
/ T5 A& i$ \: {1 j/ D5 U11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];# V* [. L) h: J  u! W; o9 s
   
2. b=[2,-1,-1,2]';
   \" j, [& d% W' J. C
3. n=length(b);3 j/ }6 R1 w; l. ^
   
4. w=10;( l1 H/ p\" x9 a9 l4 {8 A
   
5. D=diag(diag(A));- L\" x. C: L0 p: P' N# B7 h3 K
   
6. CL=-triu(A,1);
   8 n2 S' Y# B' M% r
7. CLZ=CL';
   - [# h9 G* y6 _( s. d
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));1 O# ~$ U( E  _# V5 `% N
   
9. M=L*L';
   ( \/ i- L. `3 U2 P$ _
10. C=inv(D)*CL;
    4 K\" T- f( j7 O4 ]
11. u=[2,3,4,5]';8 X' S* g! Z/ f
    
12. g=inv(L)*b;* N7 b/ G# ]+ Q2 U, w5 Y3 w
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';- H5 v4 a- Q! d) j+ S
    
14. v=L'*u;
    ' o! m; d0 f  D7 i  r2 g
15. rw=g-B*v;
    4 ^( n. w7 \0 F/ }% ?# d
16. r=L*rw;2 J; K: W# W. `- |/ w. l/ I
    
17. p=inv(M)*r;
    : f. F' M, N. b/ p\" w
18. z=p;
    + k% i; K3 Q6 U1 G; r
19. q=A*p;
    & C, i. t3 A; ^# H: i7 t: u( G
20. for i=1:50& {4 r\" j( ?+ q. j- m
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    $ ~1 y\" r, w  C5 \/ \
22.     u=u+af*p
    / C; r% l; j( U  e- Z2 L
23.     r1=r-af*q;7 o\" \% ]1 Q5 R( x9 i
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    3 r7 Y( p, o6 Z: P  t% ]( N
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    0 ~2 m4 T% x7 S! L) b
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    \" W\" t+ @8 W0 O# K  z: L( z# l
27.     p=z1+bt*p;9 M5 D2 R1 \0 }- P! I
    
28.     q=A*p;1 j, a7 B! k* \+ d7 }4 Q8 f. s
    
29. end  [1 p  [; J8 Y4 T
    
30.   % Boundary condition.
    ) ~, F* Q7 `* u( c
31. % zw(:,1) = 0;0 k6 T\" [\" a- H2 K; o* O, p$ U, b
    
32.   %zw(:,n) = 0;* I4 _1 U1 M9 b5 m( _% U
    
33.   %z(:,1) = 0;4 {; [/ n/ d+ O6 i
    
34.   %z(:,n) = 0;
    & r  v9 ~4 |& e- f' G* Z
35.   %for i=2:10
    5 ^- l5 }2 D( [- @; L1 H; I# D
36.    %   for j=2:104 l8 X- n% I8 f5 `3 a7 B
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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/ F* @( z/ ?5 I. U: d% [/ |
/ P% d) c" T9 t" u1 w( [4 p5 O