matlab脚本进行连续函数的最佳逼近

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发表于 2023-12-31 16:02 |只看该作者 |倒序浏览

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这是一个 MATLAB 脚本，用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近，用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释：
function fe = fitfun()
% 连续函数的最佳逼近
% 取基{1, x, ...}

% 默认算例为课本：P60，例3.1
% 原函数f(x)=x^(1/2)，定义域 [1/4, 1]
% 结果：P(x) = 10/27 + 88/135x 平方误差=0.00010803

% 输入原函数
fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x)：[直接回车表示：f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');
if isempty(fs)
fs = 'x^(1/2)';
end
f = sym(fs);

% 输入定义域上下界
a = input('定义域([a, b]) 上界a:');
b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');

% 输入逼近的最大次数
n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');

% 创建向量
v = vv(n);
h = vh(n);

% 计算矩阵 G 和向量 B
G = int(v * h, a, b);
B = int(f * v, a, b);

% 计算系数矩阵 C
C = inv(G) * B;

% 计算逼近多项式
fe = h * C;

% 误差
SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);

% 绘制原函数和逼近函数
x = a

b-a)/100:b;
y = subs(f, x);
plot(x, y, 'r');
hold on;
y = subs(fe, x);
plot(x, y);

% 输出误差
disp(['误差: ', char(SError)]);
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function v = vv(n)
% 创建垂直向量，如
% 1
% x
% x^2
% ...
% x^n

if (n < 0 || n > 9)
      error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
end

s = '';
for i = 0:n
      s = strcat(s, ';x^');
      s = strcat(s, num2str(i));
end
s(1) = '[';
sz = size(s);
s(sz(2) + 1) = ']';

v = simplify(sym(s));
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function v = vh(n)
% 创建水平向量，如
% [1, x, x^2, ..., x^n]

if (n < 0 || n > 9)
      error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
end

s = '';
for i = 0:n
      s = strcat(s, ',x^');
      s = strcat(s, num2str(i));
end
s(1) = '[';
sz = size(s);
s(sz(2) + 1) = ']';

v = simplify(sym(s));
end

这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后，它构建了基函数向量和水平向量，计算了系数矩阵 C，并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后，输出了逼近误差。

zan