隐式差分法来解热传导方程

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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：

6 Q: t( u7 i6 M1 c6 \. ]7 p+ W1.初始化：

; U, ~; u8 B0 s' Z   a = 0;
& v0 F4 b1 l. l$ F# g1 _. d4 o   b = 1;
; ?( x  K: K. ^. k, o   m = 10; % 空间划分
7 i2 ]9 @2 G3 Y) v   T = 0.5; % 最终时间
   N = 50; % 时间划分
   af = 1; % 松弛因子
   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
' k/ {! b% S! x' F- h% t# k   h = (b - a) / m;
   k = T / N;
   lmd = af^2 * k / h^2;
9 H7 A6 F6 {# C4 \$ g, u   x = linspace(a, b, m+1);
: R: R+ L: r4 Z4 }; u   x = x(2:m);
   i = 1:m-1;
   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布
5 u( r- Z3 G# e4 r
$ O7 J1 I7 _& u9 c: n8 u在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
4 c9 Y* N3 w  C) E
2.隐式差分法求解：
  d0 @/ p  v! i  i9 D
% j# m8 T9 R; w* ?) o, d- y   for j = 1:N
       t = j * k;
+ p/ t" A( m+ `       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
   end

9 w; R  S2 d, O; L这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。

: l, n# H: @: j3.计算精确解和误差：
$ ]1 h2 i- O. ^  L4 L
. }+ d2 H  u% n: k* S. C& B   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
' J+ {, c/ R: j/ v# n1 O   error = abs(u - true);
; M1 r/ b. `; }9 N   re = [x', u', true', error'];

在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。
2 _  y) `' E4 a9 ~
4.输出结果：

   re

最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。

) a" t/ N& ]. m( q# _
  P, C7 e. ~2 a& M( Z