隐式差分法来解热传导方程

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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：
/ W% G- H4 o3 z% i0 r
7 g" t' m( p% e. o5 o5 |4 ?& [1.初始化：

   a = 0;
7 e% D. D0 i0 \1 c4 o8 u; A   b = 1;
   m = 10; % 空间划分
# {9 I: i# ]" a3 z. M4 l# |8 E3 [6 b   T = 0.5; % 最终时间
   N = 50; % 时间划分
- c. ?: J- r/ `. w; |( }   af = 1; % 松弛因子
) d" E9 E/ |$ r9 n! Q   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
$ {$ v' ?) W6 u   h = (b - a) / m;
   k = T / N;
2 E9 b' p4 R% D8 x   lmd = af^2 * k / h^2;
   x = linspace(a, b, m+1);
/ Z9 Q( p, _7 ^, }   x = x(2:m);
   i = 1:m-1;
   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布
8 D! n. F( X& O5 Z1 @
在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
; z0 K6 k) r( S) v
/ {1 n6 O5 l: ?5 h4 v5 x2.隐式差分法求解：
# g$ N- h7 E3 E8 |2 r- S$ C
) S6 r% r$ f0 g% n# ^- ]9 R& ]- `   for j = 1:N
8 ~- F; \- m! p       t = j * k;
9 S0 h; m, ]) f' ]. g       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
   end
( b- m0 x$ X/ R0 K1 ^
这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。

( n  D( B; z! h8 U; y! Q  A" @3.计算精确解和误差：
& q2 t1 u4 |7 R, w. g8 p/ x
   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
   error = abs(u - true);
3 Z( u0 f( s* O+ K: C   re = [x', u', true', error'];
4 g. [5 ~$ p/ ~8 ?% D# N
在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。
4 x" B7 }( [: ^- B
  S; {+ Q2 y' m- n# V4.输出结果：

   re

) Y9 u/ S/ N5 F% R最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。

& q% G2 U7 o# A, p. H
7 O- w/ p. S" ?+ ]; X& V* Q( g