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高斯消元法解线性方程组

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发表于 2023-12-31 17:28 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码是用于解线性方程组的高斯消元法(Gaussian elimination)。以下是代码的主要步骤:
$ [4 m4 K4 ^5 y; U8 P# W0 o9 p* q" ]; @# n/ @
1.初始化: 定义系数矩阵 a 和常数向量 b,以及一个排列矩阵 L,用于记录行的交换顺序。: ?, p$ Q% r$ H( K# F' R6 }

- A! ^4 Y) T) {; q1 xa=[1,-1,2,-1;2,-2,3,-3;1,1,1,0;1,-1,4,3]; % 系数矩阵 a2 a3 w  ~$ \( o$ E
b=[-8,-20,-2,4]'; % 常数向量 b& o+ ?7 u2 o! {% W6 s
L=[1,2,3,4]; % 排列矩阵 L
: P1 C9 V) v$ K- J3 }2 o* wn=length(b);
, _$ V8 L- O! j! E( V- Z, K+ y' }
! j( @. d* y2 k5 Z7 R  {( k
; I- ]+ [: @# K" `0 n, M2.高斯消元: 通过一系列行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵,并相应地更新常数向量。这里使用了列主元素法,即每次选取绝对值最大的元素所在的行与当前行进行交换。
' [  U. S: I/ t3 ]/ u/ O
5 y, i) f4 Y, z/ p! R# ~) Ifor k=1:n-11 w9 ?0 R5 B/ f4 @# D8 E3 U
    [p,q]=find(abs(a)==max(max(abs(a(k:n,k:n)))));$ R9 x0 {0 I4 S2 H) y0 i. r0 m
: y, _1 D4 g2 A% s5 k! U
    if(p~=k | q~=k)$ x  f( I4 R' i4 F" k7 E
      t=a(k,;
9 s7 F/ {' n* e  l2 h7 G: O% w      a(k,=a(p,;  Y. V0 b+ j: V4 d1 o( |
      a(p,=t;
4 i$ H5 a% h0 L  x, p4 d. [5 d4 e' ?      r=a(:,k);
- m; N% s8 v- o7 E4 ^+ s6 V  p      a(:,k)=a(:,q);
$ B* R' V9 p$ S+ k4 m      a(:,q)=r;
0 u% F& z' E1 y8 Y      t=L(k);% v0 H  s, i# _- a. w6 W
      L(k)=L(q);
6 A3 b: @+ q' ]8 e* ^      L(q)=t;. E# T9 ]6 j1 K4 \
      u=b(k);
; |6 G5 X) }% A4 b) n* U  m      b(k)=b(p);% l- x! \8 [2 ?9 B0 K
      b(p)=u;: y, I8 i- _" U
    end
0 c, e# l2 ~$ X( f- U    m(k+1:n,k)=a(k+1:n,k)./a(k,k);
0 y" r' G- `3 \    a(k+1:n,k:n)=a(k+1:n,k:n)-m(k+1:n,k)*a(k,k:n);
5 n. p6 t+ M( `% _/ s5 P% U6 P" A    b(k+1:n)=b(k+1:n)-m(k+1:n,k)*b(k);; u4 H2 Z# P+ T
end- a1 S) V, s' x+ y  I

, S# z  r2 S/ r3 ]
( h6 s2 H2 l( K0 r5 r! J3.回代: 通过回代过程求解方程组。从最后一行开始,逐步计算未知数的值。! N2 A/ S4 F6 a, o

, f9 [  n" N/ E- Ry(n)=b(n)/a(n,n);) B; H7 k; @  B9 z9 d
for i=n-1:-1:16 N% o8 ]1 h; u/ v, d4 {7 k
    sum=0;) z! a* \; m/ |! R7 O7 F4 I& f
    for j=i+1:n
$ E8 t$ F% o! e! `' O% p        sum=sum+a(i,j)*y(j);4 H+ a% M  J7 b3 ?! f; x
    end& W/ b2 e& J: E; p* W
    y(i)=(b(i)-sum)/a(i,i);
4 q/ _9 v# c0 O: n. o# r/ G* a4 t5 Iend% L- U' f2 W. J. G  a9 N
; z1 n1 U7 O# F; ^

1 m8 o6 p: J; j; B) [- o- q4.输出结果: 将解存储在 x 中,并输出结果。$ K9 m# }, q) C- s( Q
. j$ v8 x$ v# G
x(L(n))=y(n);1 x# ?0 I' U8 O/ c# {$ c0 A
x(L(1:n-1))=y(1:n-1);
7 v; X( d2 L8 u: M2 ]jie=x'
/ m4 g( P! B( Z; t* g- ?4 M
4 f5 L( I  `* S  p: G最后,解向量 jie 包含了线性方程组的解。请注意,这段代码在求解之前进行了列主元素的行交换,以提高数值稳定性。
1 Z  G7 O7 B' Q+ V2 c; Q0 m: {9 S4 ]% {8 ~6 O4 |. I/ c
% ~* P; w, f" \' ^6 W
zan
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