二维波动方程的差分解法

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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
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clear all;
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
ITMAX = 100;
3 |& w" b. l/ }9 pf = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
h = (b - a) / n;
k = (d - c) / m;
x = linspace(a, b, n + 1);
x = x(2:n);
y = linspace(c, d, m + 1);
y = y(2:m);
% o. F! r6 }! w0 |& L) Ru = zeros(n - 1, m - 1);
lmd = h^2 / k^2;
5 x8 O8 \2 W6 I% K7 Qmu = 2 * (1 + lmd);
- ?6 g3 w) V) G% i% z4 o9 I/ Y
8 U. q$ q, u) q' \4 ]; Vfor k = 1:ITMAX
' j, z8 l4 E  f' n    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
5 Z" M$ a3 M# W1 g    u(1, m - 1) = z;
& I7 e9 B9 d) `( `* M2 t
2 r) C+ n) X# Q5 i1 e0 i, E    for i = 2:n - 2
5 r/ _' W% S, W        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
) E0 k3 {* W0 ?2 x# c( W        u(i, m - 1) = z;
    end
, |  J: Q3 ^* C1 c) h  s
: h( v; |% R9 P% U' p    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
    u(n - 1, m - 1) = z;
) o# s! a5 h. w6 O
    for j = m - 2:-1:2
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
        u(1, j) = z;

0 F0 R: N  G0 a  h        for i = 2:n - 2
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
& v, p4 N* D# h9 A+ @" W' e                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
            u(i, j) = z;
        end

, k/ Z8 n% E/ F0 m6 n; ?        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
6 a0 w8 k9 G8 D% w            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
        u(n - 1, j) = z;
    end
! w* c8 |6 B  q1 |/ _4 S
    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
# z7 X2 l' b# g1 }        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
. M9 ^5 S+ L/ n6 v2 X  ]    u(1, 1) = z;

4 x; x5 N5 M/ S, w/ p& B) ^    for i = 2:n - 2
  n% D$ E5 t* }7 F        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
( j, a- |4 v* [. K            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
        u(i, 1) = z;
    end
- L1 T5 h) ^* ^* C
2 N& I- K; z$ D  l    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
    u(n - 1, 1) = z;
1 G1 g8 x5 s' F4 F
    x';
3 t' g: x& E% q; n& S2 u# E. z    y';
3 t& q! f/ ]0 I' c9 G* o) h# |  ?    u';
end

该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。

1 w0 T6 v' o! b5 Y% I. k+ Z