Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
5 a: T9 P. N! l( P) [! e
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
: k2 E! ~4 m  r6 D- Y( v2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   . A# f7 {7 }6 T! \( Q0 [! Z! ^+ E
2. 
   3 }& D. s! E, t0 y0 D: t2 ]2 o
3.    for i = 2:n$ q0 R- e( M5 f7 t. z# ?
   
4. 6 o* h9 {0 c5 s# u: e- n
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   1 l$ u3 p  ^; m1 n
6. 
   8 A5 h( e0 h, i. E3 P* }: L0 B4 h
7.    end+ l* ]8 T( a* N, O) Z5 y+ T# ^& ^
   
8. 
   2 h4 Z1 W$ T6 ]/ q% v
9. ! h8 Y% m% Y( [3 G. w
   
10. % z7 j; a+ d2 |- `4 ~/ d4 E
    
11.    for j = 2:n1 [4 `4 m\" H  o
    
12. 
    ) H- |' n1 k: ~4 I  J* `
13.        sum1 = 0;- q; o) E$ {% c2 K) q% R8 ]- V% T
    
14.   d, W/ Z8 Q+ h# q1 e
    
15.        for k = 1:j-1
    3 e$ F9 ?1 l1 K; [; Q
16. 2 R3 j% I1 O. v4 k7 @
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);4 L( t* i' L; o' g; P# ]- q4 B
    
18. 
    - `  ]; v; P; w
19.        end# i4 h8 U$ Y* X4 D  B
    
20. 
    7 t. N: b5 p0 K) t$ m' N! \, q
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);* e7 T\" C8 _& H' F/ s1 p6 D
    
22. 6 B  ~6 Q1 j9 d5 V
    
23. 
    # G/ h5 T. [  x7 C\" Z9 d
24. 
    ) W; A\" j, R( [0 K1 R. F* r% I
25.        for i = j+1:n
    / C$ M2 r7 E  }1 }. p5 t\" q
26. 4 W# `# J2 m0 N1 _6 e7 c# u
    
27.            sum2 = 0;. A& f: I) s- Y' P. v, {
    
28. 9 H' }$ C; a. x8 I4 X\" b# J\" l& Y
    
29.            for k = 1:j-1
    2 Y# V* r4 o4 ~- A! d
30. 
    ' {) u. L: s. P0 M. K2 ?
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    ! u8 I& s( z2 ]3 s/ b6 T7 U1 h
32. 2 w( a2 Y9 Q; T' P5 d2 t7 V: a2 ^\" \; B
    
33.            end7 s# ]! D( x2 ?! X8 K
    
34. / P' a) U8 h2 Z) _
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);7 q7 K8 Y5 u\" J# z% c
    
36. 
      W( B# i: z3 S) z
37.        end
    5 v0 p; X* b3 A1 g% ~+ u
38. ! c& U7 U# j; c, W3 [1 f6 T8 Z
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   ' e% y) R& U! q2 U! H6 K  X
2. 
   7 [& O9 \) j$ H) Y2 J3 Y- h
3.    for i = 2:n
   4 v* D1 y# {* ?3 ]
4. ! B+ y8 ?: N# o
   
5.        sum3 = 0;: F, K7 d4 g2 x5 J0 L+ J( B5 k
   
6. 
   2 g; r' _8 o7 ~8 O+ `9 P
7.        for k = 1:i-1
   $ N: T3 B* Z. J2 N% H
8. & i. }+ r/ O$ b0 P9 }- M; |, v
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   , T$ o# D  f- q2 }; J* _
10. 
    $ q2 W/ _8 o+ W
11.        end
    2 s\" @- z- ]' {3 A( `% ]# j
12. . ~8 [9 u- E* R/ i3 c, }/ X
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    6 A3 w& V- a0 T' ~4 Y- \
14. 
    8 ~9 u2 U& n$ m# g& P; ?
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);& ]9 a# y0 U: x' H% c
   
2. 
   * K5 S* ?  [* B
3.    for i = n-1:-1:1( L; c' {9 y5 @% r2 j8 n& M$ z
   
4. 6 ~% \0 v! }1 ~* d
   
5.        sum4 = 0;. L6 x* ^& S+ D  `5 s
   
6. 
   , V) x6 P- z8 t7 t$ R
7.        for k = i+1:n
   * S- ?. U$ B/ H3 _' Y' z# Z
8. & e* O( U6 w: g2 [
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   ' ?1 @) G- J$ q$ A
10. 8 f9 e% g4 }; t* U' N
    
11.        end) b* n! v3 H* _8 F
    
12. 2 i! u0 s8 l8 L) S
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    : Y) |: o4 b3 z, @
14. 
    : b% @/ i* L. G
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

. K* h: K" {! G7 Z  |! U, N/ e5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   & }5 N  l& u. z$ p\" O  j
2. ' [4 W* ^( q+ r7 U\" _8 X
   
3.    for i = 2:n3 {* g  u) r/ N  `+ c8 w4 N
   
4. 
   6 l+ w' U3 G2 J2 K# q& q9 e9 X
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);& L' O+ B/ i! P) m. _
   
6. ' _/ @' d9 m' ]% H
   
7.    end0 T; r4 o4 J9 b6 B! z9 ]& X; H8 Q  @4 a: z
   
8. , W; K! y1 H: I, F* l
   
9. & M% G& p6 p9 r6 x8 z2 ]# P9 Q  `
   
10. 
    4 T0 C* S  R  D# h$ t\" s
11.    for j = 2:n) z. n3 k+ o8 \! r: @
    
12. 
    $ g& d; T' w1 _
13.        sum1 = 0;
    \" i. w/ z3 a3 y' W# \, @
14. 
    1 ?+ \/ G\" J; Z& s! C& W) H5 g
15.        for k = 1:j-1
    4 h, O\" H4 }9 X, M/ ]2 A
16. 
    & x1 T, f+ r3 V, r
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    5 j, m0 `7 o\" G4 T5 g6 d2 B
18. ; Q8 q$ P  n4 L  X9 G
    
19.        end6 ^- k4 i' \5 m
    
20. 
    . b. g1 t/ Y. e9 e, ~- u
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);4 ~% A- n4 [; W! ^  ?
    
22. 
    8 j  g' @% d4 t% Y# I, E+ V
23. 
    , B, G+ V, S4 Q# c
24. , N) K7 ^% r3 C, ~! {/ s8 u
    
25.        for i = j+1:n
    3 e- w2 H5 G\" E! Y, u
26. 
    0 e- V4 |4 x\" M5 A  A; u0 O& s
27.            sum2 = 0;
    $ {7 L( b( X: v3 T( c; E! p
28. : h\" b4 h5 P& |/ X
    
29.            for k = 1:j-1; W* q\" t\" T& z. X1 ]  A
    
30. ) A3 F9 t% ^' A% H
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    - b) Z8 [\" Q  \% F/ G
32. 
    ) D  @' T\" n3 @3 C' I( {9 V
33.            end
    1 N\" g& {\" d; e: [
34. 
    9 ?' h* N, w. ?5 h
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);& Q) J\" d/ ?1 v4 @* M1 a
    
36. 
    # z5 I! c4 b4 H8 b( w8 u- A0 H
37.        end
    $ T& p( z- f; O0 v: w\" x
38. 
    $ P2 v& p\" y. _
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
) Y1 d8 {& g* l; L! }3 b, p2 _
& l& D2 p3 N3 H4 ]# S, Q6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);& E) @- c, @1 W- h$ G
   
2. 
   / g2 O. V. l/ A3 I\" Y2 i
3.    for i = 2:n2 x. W% z' A2 _' W
   
4. 
   : O9 a6 d\" A\" u# O. v\" H  w
5.        sum3 = 0;
     q3 k1 I+ h/ l% q( X) L
6. ) G2 W! H1 p' h
   
7.        for k = 1:i-1: i6 K0 _( V3 V2 k7 O( w9 Y
   
8. ! Z& Z& {0 ^% B6 b4 g. t+ @
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   3 N\" T& _# l& s* t2 j
10. 
    4 `, ^  C( x5 w* n6 l; b\" _
11.        end4 m/ y1 B/ P# S+ y* A. c5 `4 u
    
12. 
    + G, h4 C; D$ R* H6 y
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    3 M) ?1 o+ t% U+ k6 M5 h  S
14. 
    1 K0 r' M2 N/ i5 H, C% w2 F. t: }
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   2 @, m) R2 \5 V\" B& O
2. 4 ]5 \  j% h, m# v* D
   
3.    for i = n-1:-1:1
   / @& i: R7 _& N' D
4. 
   # O2 k- y- F$ [5 Y6 B# H2 ?
5.        sum4 = 0;
   . l& L# Y- h0 ~3 ?% p+ [. X. [
6. $ |9 i; {2 v3 c7 ^' t% z2 D; M
   
7.        for k = i+1:n
   0 Q4 \$ C5 k$ r0 ~
8. 
   3 z\" a# \& o, o6 i# }
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   * E2 Q- `9 H7 n* r$ k0 D
10. 
    3 t* [/ O8 U3 W' m+ _# R# W
11.        end. \% L4 p3 O' o/ j; a& h' V3 R
    
12. ( X. l$ g5 R( I+ S) W: p* q
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);/ j% ~, |' Q% ]3 @- m
    
14. * H6 J  f: B' M7 @% h
    
15.    end2 d\" }* {  }# z; O* C9 t
    
16. 
      S6 n( q1 A) Y9 V

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
8 m, q# G  b8 J
5 \* L0 z4 [5 S7 S4 C
2 ?1 T  f/ L0 w& \! L9 u  B& U
7 Q( C6 L1 k% e: w  k