Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
1 q5 F; M! v- l6 B) d2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   0 B) y6 j7 o9 Q# A' G. T0 w0 M
2. 0 X0 _0 |) O7 x/ K' n
   
3.    for i = 2:n5 R! o7 u- u  W. A$ h
   
4. 
   4 o( B& s. U; M/ B  K+ T$ g
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
     a4 |- Z$ T: c. \\" S8 F
6. , I: _2 \! S. [\" _  d6 \* l. y0 X
   
7.    end7 k; X1 q5 d4 F; Y' g9 f9 {2 Y1 |
   
8. 6 C* f2 g# C7 T$ B5 C  A- t2 P- t1 c
   
9. 1 R, C: B+ ?! W0 y2 ?, z
   
10. 
    , v) W1 K4 M6 ^! ^, N: q
11.    for j = 2:n# [: O8 n* i8 z' ?
    
12. 
    # O, w. z& j) {* f/ G  N3 i, F
13.        sum1 = 0;
    6 V$ M! Y) N4 Z' Y; i$ r: Q% u, p% b
14. 8 i) {( n  T# V' O  O( ^$ U
    
15.        for k = 1:j-1
    ' w5 ]0 Y8 k# a
16. 
    ' g3 M# ~4 M! b: d5 i
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    ! c7 E: g/ p) s  Z
18. 
    9 _. n! F& }+ a$ n; o+ ?6 d0 f+ |2 u$ J
19.        end
    % t/ G# ~% s\" N  _& a1 P
20. 
    6 D$ o2 k+ j/ b, ^% Y/ Y
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    7 O' C% d# F, T
22. $ Q0 x0 c+ [. ~\" ?, _3 C# C2 }$ m
    
23. ) ^$ M$ Q6 g+ P9 E* y4 B, Y
    
24. 
      M% w\" U8 u# K. a
25.        for i = j+1:n
    : g' x% v3 k- }( A+ c# ^; `4 H6 D
26. 
    # _: [* _3 `/ f1 T8 X; q5 ~
27.            sum2 = 0;$ f0 ^: r: u; T
    
28. 
    $ Q# |# r; X6 t
29.            for k = 1:j-1: O8 C( @% J; _( q6 k
    
30. ( a8 y4 L5 i( f3 w& q( S, r, M1 L$ R
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);3 w0 f2 U6 Y; U- o- t' ]
    
32. 
    6 J% D; g3 U% S! q# U( L' N6 |
33.            end' K, N2 g0 P  Y: j' t! P! B/ W
    
34. 
    & j$ n: y* B\" U: P9 A
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);3 d. z' N% c& F/ y
    
36. 
    7 b3 \1 ^0 s- n: ^  I7 N\" L
37.        end( s$ r* \( e! X+ m# T3 L! _) |
    
38. 6 l3 N( Y. {7 V' s3 o
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
9 k; c: I! s5 y& k- l+ n
5 F& A  J, e. ]) _, U, A3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);: k: r: g% w( C* Z1 K$ J
   
2. 8 w; Q+ ], Q. ?6 K: N( Y' f8 t
   
3.    for i = 2:n9 S; O8 p8 V( @5 E' o\" Q
   
4. 7 }8 ]! m2 v\" Z1 h+ }- m\" b* Q
   
5.        sum3 = 0;
   - y$ g* N! J( G* W. d- C5 D\" J
6. 
   / h: c# m3 P7 A
7.        for k = 1:i-1
   + G  J& ^$ p$ R\" |' e6 n
8. 
   : G: I, X1 p5 D% M
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ) p( r; ?, @5 W\" `0 w
10. 4 m$ X2 U$ A) I4 z: [& E
    
11.        end$ K4 J% g3 m/ a% V+ `
    
12. * F( m1 T  A0 k7 I# v0 Q
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ( _1 h( ], a4 b4 D0 H5 d
14. 1 v( ~9 M1 _. I8 s6 u+ \) D
    
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   : S0 F. x: [% @5 j/ j. ^# M8 E
2. 
   & C  x0 [9 ?+ d  j
3.    for i = n-1:-1:15 _$ Q. K6 V+ S- E
   
4. 9 Z. Z2 [1 I% F! }% V
   
5.        sum4 = 0;7 q; A1 \( U: C9 P
   
6. 1 g, P, q4 _0 G3 s% Z  G
   
7.        for k = i+1:n& Z7 m! e4 x% i+ \' y\" u7 n; c$ T8 ?
   
8. 
   8 x: R; U1 |3 a1 K5 @
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);# i$ r8 x\" W) P- o$ O+ ^
   
10. \" |4 u1 W! F3 c\" J
    
11.        end( l2 A7 P' p! D$ e\" F3 R/ H( ]
    
12. 
    + f* d% l* v# E7 _) _8 h( I- v
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    3 R1 m) ?# D! [1 c! k& b, [\" U
14. + E, @: h( {) [5 x; b
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
8 {2 p/ v' ?/ n( j: u* M) j0 k
8 \. R8 l4 ~9 }0 w4 J3 Q5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));$ U9 Z! p3 H- B5 V5 p
   
2. 
   5 C& B! K* G\" `7 l0 P\" j
3.    for i = 2:n
   ; t5 C6 |4 t, S1 Q& j
4. & E+ y, V; i3 q; [
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   5 K3 h4 Y* X/ H$ S7 ^  I6 t
6. 
   5 P! h0 k, G) I
7.    end
     f: R  U1 R4 \0 R- ~! E+ z
8. 
   ; z& O, h( R5 f4 ~9 u
9. ( ?2 a9 v3 H) J\" ~
   
10. 
    ' D' t$ c2 B8 t
11.    for j = 2:n# s6 O3 }2 D0 S7 x9 U' l5 g
    
12.   q' Q1 m4 @/ H# m
    
13.        sum1 = 0;+ ]\" a& @# S7 {) c/ ?6 c% Z, y% [( G, Z
    
14. 
    % \# L: ]2 V' o, ^, l
15.        for k = 1:j-1
    4 b; k1 A7 }4 h
16. 
    ! @. O) v3 h7 h% M; Z5 g) d) U8 t
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);9 e5 N) S. U; @' k+ s4 l
    
18. 
    4 o! U, H$ v. `/ C
19.        end
    * T6 h& O8 S2 p
20. 
    9 N. }  P6 o, l: A2 {
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    1 Y/ n) z% }+ O
22. 7 H; d\" b* F3 o, Z* f: O0 Y$ g& E
    
23. 0 k  u2 F5 q4 r
    
24. 
    1 }. U5 U* K, ?7 t/ j, M) z
25.        for i = j+1:n7 s6 {; X. r- G9 \
    
26. 3 o4 J  \9 h+ c% ^$ X3 P7 R
    
27.            sum2 = 0;& |: m7 V3 l  L+ I) U
    
28. 
    ' e; n( n- f1 `  D# U4 ~' g  b$ `
29.            for k = 1:j-1* U# d( t\" {\" k  i$ l! D3 ~# T9 K$ _
    
30. % c4 ~) ^; _/ ^6 \\" P8 f
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    - H) J# O) H\" F' z7 R+ h
32. 
    ( Z; Y) _\" w6 q$ y0 o2 G
33.            end
    - M- m2 B% w& F
34. - W- s. L; ?  `# j3 A
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    + }\" r; v# m/ o, b, x4 k
36. 
    8 ^, Z% s: g6 |% F
37.        end
    - R' w' I6 C4 ~4 j3 f) d8 H- w/ Y
38. 
    0 m: W7 y3 `) Q( R
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

8 P: M" M% Y% z! b( S& Q! _6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
   ' Z& t6 x  R; J9 ]$ @
2. 
   4 u7 |8 R1 h7 S+ M3 |8 r+ x6 |
3.    for i = 2:n' H3 W5 |, e7 ?1 l
   
4. ) I. |0 |2 w9 j+ _4 V& g5 A
   
5.        sum3 = 0;+ @' v+ E3 e; ~' Q
   
6.   }) e$ }/ l+ U4 H& H6 L
   
7.        for k = 1:i-1' j# ?# o1 T% Y
   
8. 
   8 Y' \9 v2 p* X
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);5 G, ^0 f. M9 d' T# v
   
10. - `- D9 W( ~; y% s: @
    
11.        end& {1 H& w: A; E0 _
    
12. \" ~& r5 h5 o1 ?. e5 k
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    , l5 \\" H- a  F* A; V2 G
14. + J% W* V; q8 F
    
15.    end

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在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   , g# H& _  l0 Q
2. 
   & W. @2 d7 e0 ~7 A
3.    for i = n-1:-1:1
   - j$ M& }4 V: `7 z( e! G) g! x
4. 
   . \8 D$ `1 W. R& Q
5.        sum4 = 0;
   ) j+ d2 J) I  J7 q2 f, t! ]6 P- E: }
6. - j7 v5 W4 {6 A% s
   
7.        for k = i+1:n2 [( @7 c/ D/ s. a3 t; ?
   
8. 1 R! T$ O\" N4 m8 K\" x0 N
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);' y; t# A. f, A\" o. S
   
10. . n4 M4 ?4 \- ], r1 p
    
11.        end
    / o5 B' l0 U: C
12. . x. F6 t! C6 d! ^3 |& I\" o! p
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);! n9 Y8 B) }9 z) U
    
14. 9 @' E% s7 d\" P5 t
    
15.    end0 f: x1 }5 z/ \3 _
    
16. - j6 Z2 k, ]5 e0 M
    

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
+ j3 j* k# i! e4 U% i1 n) d总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。

2 w9 A: D) Y- a. Z. p
4 F) Y7 o" V: T& W: Q2 i