割平面法

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## 割平面法
: U7 n+ Q! X, F# t* Y
, J' Q0 f8 |1 p  Q3 A8 [$ e9 [割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
( c5 k+ ?  c4 _. F; @6 a5 M
8 n/ H$ {8 P6 v) d9 ]**步骤:**

: e' B: m2 ^2 }' w1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
+ K( p2 E( f" Y4 M; f; U; D9 y2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
* _- A- h9 L* r6 y& ?. c; V0 ^0 R5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

**割平面的构造:**
: @0 v* V/ b! N- X, B% d1 p, j
1 {* k/ S! j9 ^割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：

- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
6 Z1 x* S0 N/ Q5 I, ]- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。

: q5 L9 Q) P. Q# l: W6 r7 Z  U**示例:**

**问题:**

```
- i+ Y7 i9 K; J最大化 Z = 3x1 + 2x2
( K" |2 e8 Q: R! v1 X: W/ e2 s9 s7 M约束条件:
x1 + x2 <= 4
# J& e  r# p& t6 O: Z6 L1 `2x1 + x2 <= 6
0 y1 h5 i6 C+ X, x" ]! s7 K/ bx1, x2 >= 0
x1, x2 为整数
  N! w4 H/ C' T$ O5 |```

**步骤:**

  |7 T" w% e( T: C7 A" \1. **求解线性松弛问题:**
7 G  g) P6 v0 f5 z: ]( w: z* H    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。

2. **判断整数解:**
    - 最优解不是整数解。
- W9 w0 ?: {7 w. P
3. **添加割平面:**
    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。

4. **更新线性松弛问题:**
1 M. f8 J2 T% [% O8 ]6 R6 j    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
4 W$ B  [/ d0 o
0 |; k7 k4 \; D% \" Y5. **重复步骤 2-4:**
    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

  ~& J! o" V4 d9 c  u# M% l( k**总结:**
& m4 ^+ h% V2 X# |) p& z& l
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。

& n. X; e* K7 G& F( W7 I* R0 ~
# u; U0 F6 Z- u! N! f/ o' A
% F( ?, t$ \: Z: s, ~, r* j/ z
" V/ G: e/ {( k) t; H