割平面法

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## 割平面法
- X1 p4 p- z4 w( W. u
割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
5 j) W' |( L1 \5 b( k
**步骤:**
$ `6 _- T6 `$ x
+ a6 b, b, x3 |1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
4 q+ @; b$ s$ F- ^4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
( C9 w- _! A6 l" O% @5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。

& [7 L' X1 }+ D! B  |+ i1 {**割平面的构造:**

割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：
; a$ }1 x. o2 u+ `7 q: q8 S
9 ?/ o4 Q3 z( ]7 C- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。
! R& T* l+ P7 ?9 H* F; W- Z
) Q! I. Y0 J7 \* w$ s/ t  A; Q1 V**示例:**

! t. I1 ?" q! J  t% X7 V**问题:**

0 a1 o. |3 C0 I$ i  S```
最大化 Z = 3x1 + 2x2
% ^/ A  Q3 d& Z) c& ]" b+ a约束条件:
x1 + x2 <= 4
# N, Q( d' m, a5 ?0 b& T2x1 + x2 <= 6
x1, x2 >= 0
- e- V4 l, w/ s8 v% Y$ cx1, x2 为整数
```
& ^  d5 M7 \) P; f2 Q
! S0 N" i* j/ V# E9 [/ r, d**步骤:**

1. **求解线性松弛问题:**
    - 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。
; Z: c+ e, I/ @( ~+ ~. B* a; q4 d
2 M3 q, z& r. d5 K  L2. **判断整数解:**
    - 最优解不是整数解。

0 h* s5 J7 {* M, i8 y" Y3. **添加割平面:**
    - 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。

4. **更新线性松弛问题:**
    - 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
/ G, \2 z0 Z2 _; q, P' T" Z/ v4 Q    - 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

5. **重复步骤 2-4:**
' Y0 m1 r; E5 W' v; o- A% F+ R# `    - 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
    - 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。

**总结:**
  I: M" g4 R, s$ ~9 \
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。


. L4 S. G/ {( {: b: c* q
  l7 E; n7 G4 b6 s1 I! R0 O6 G/ Y
# k$ }: A( V+ }3 _( S) r  c