matlab 比较两种不同顺序的积分结果

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1. syms x y z; f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+.... r- C4 P3 G\" b% a5 p4 O( n
   
2.     4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y));  a$ G7 f: k\" y  b8 ~* L
   
3. f1=int(f0,z); f1=int(f1,y); f1=int(f1,x); f1=simple(int(f1,x))
   # f2 g  ~! z, d$ T, Y* i
4. 
   : ]+ G# @' e% b( \\" _
5. f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y))6 n: L* ~7 H( ]/ C% L\" D. J1 ~
   
6. 3 C7 h: b/ }8 O/ ^
   
7. simple(f1-f2)

复制代码

这段 MATLAB 代码涉及到符号积分的计算，并比较两种不同顺序的积分结果。以下是每一步的详细解释：

( F; f& u1 y' {$ l5 p/ ?) k### 代码解释

1. **定义符号变量**：
+ V. e. F% J; i2 A# h   ```matlab
   syms x y z;
   ```
   - 使用 `syms` 命令定义符号变量 `x`、`y` 和 `z`，以便于进行符号计算和建立数学表达式。
# c7 s$ v" w! t- R* Z9 H0 ]$ h6 y
, J' B* Z8 }0 m" M2. **定义函数 f0**：
, X4 _# T$ G, D; O; r   ```matlab
   f0 = -4*z*exp(-x^2*y - z^2) * (cos(x^2*y) - 10*cos(x^2*y)*y*x^2 + ...
6 i& `* ^) n: y* I       4*sin(x^2*y)*x^4*y^2 + 4*cos(x^2*y)*x^4*y^2 - sin(x^2*y));
   ```
   - 这里定义了一个复杂的函数 \( f_0 \)，它是以 `x`、`y` 和 `z` 为变量的复合函数。这个函数包含了指数函数、三角函数以及多项式的组合。

0 `& d+ Z& e; B: e5 r# n3. **计算积分 f1**：
   ```matlab
   f1 = int(f0, z);  % 对 f0 进行 z 积分
6 v" T6 d( |9 b/ Q( c   f1 = int(f1, y);  % 对 f1 进行 y 积分
   f1 = int(f1, x);  % 对 f1 进行 x 积分
   f1 = simple(int(f1, x));  % 对 f1 进行一次 x 积分并简化
   ```
   - 第一行计算 \( f_0 \) 关于 `z` 的不定积分，得到 \( f_1 \)。
( O) n9 n: U+ u3 ^3 e9 d5 N; _   - 第二行计算 \( f_1 \) 关于 `y` 的不定积分，又得到一个新的表达式。
2 p4 ?1 u2 Q7 U6 a9 ~* \   - 第三行将该表达式关于 `x` 积分，再次得到一个新的表达式。
   - 最后，进行第二次关于 `x` 的积分，并使用 `simple` 函数简化表达式。

# @. ]) G  T' Y, j4. **计算积分 f2**：
   ```matlab
   f2 = int(f0, z);  % 对 f0 进行 z 积分
   f2 = int(f2, x);  % 对 f2 进行 x 积分
# u' C. I! g8 d   f2 = int(f2, x);  % 再次对 f2 进行 x 积分
7 Q: U  l; @/ X: i0 d   f2 = simple(int(f2, y));  % 对 f2 进行 y 积分并简化
   ```
   - 类似于之前的过程，这里对 \( f_0 \) 先进行 `z` 积分，然后是 `x` 的两次积分，最后对 `y` 的积分，并简化结果。
3 x7 [! o7 W$ |+ M* o; ^
5. **比较两个积分结果**：
   ```matlab
   simple(f1 - f2);
, ~" I9 J  U7 |4 r" i/ B) T; @0 R   ```
% B$ o3 W6 O- z4 Z/ n   - 这行代码计算 \( f_1 \) 和 \( f_2 \) 的差，并使用 `simple` 函数来简化结果。
   - 目的是验证两种积分顺序下的结果是否相同。若结果为零，则两种积分结果相等。

### 知识点总结
  h- k, B4 a3 D' d) q  B9 h


2. **不定积分**：
   - 这里使用 `int` 函数计算不定积分，非常适合处理多变数和复杂函数。
& k2 P+ b1 T0 Y* \3 h0 m1 m
  w: ^) }: b- N6 }3 l" @3. **数学中瑞士顺序定理**：
8 r) K3 p/ `. P   - 计算多重积分时，通常可以改变积分的顺序而得到相同的结果（在某些条件下）。在这种情况下，检查 \( f_1 \) 和 \( f_2 \) 是否相等，可以理解为在积分过程中应用了这个理论。
% d" U7 L8 j/ B8 s
4. **函数简化**：
( {* r, A# c. `* o5 O% C9 L! I   - `simple` 函数用于简化复杂的数学表达式，使输出更加可读。这在结果比较和进一步分析中非常有用。
& Y% C# r0 q5 i) L, J0 w. Y
### 结论

8 ~/ }; O3 y% B' @/ {& j7 x整段代码展示了如何在 MATLAB 中进行多重积分的计算和比较，分析了积分顺序对于最终结果的影响。通过使用符号计算和多重积分，取得的结果能够帮助我们深入理解多变量函数的行为特征，这在数学、物理和工程等领域是非常重要的。

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# u" z# f" H2 E  B# ~5 p! i5 _! u