Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

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该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：
$ B3 f: r- `9 ~( X) a
### Dijkstra 算法的基本思想
* `. T; t' v1 q4 W1 P+ k
Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。
0 i1 \; e* E# P( p
代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)

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- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
7 q0 `6 R  m4 c: T+ c- `d` 为最短路径权重的数组。
1 z  O' H( y! F7 U; B6 \# b7 C- `index1` 表示节点访问顺序。
- `index2` 表示节点的索引顺序。
6 v* F/ m* ~! i3 T0 _: L2 P
7 g! {: _- A- ~) A* ^5 J[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. M = max(max(a));  
   4 m  H, K0 r7 i; p2 b8 z$ ?
2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  . r: ?$ e\" e  ^# i6 N
   
3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问    f/ l( G- C' S9 b  S
   
4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  # Z1 r$ P1 X3 r7 ?2 B# v$ \5 S
   
5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  % H& K+ _\" j( }: ?! x2 ~& {\" m
   
6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  
   3 C& L* r) \; ~: Y$ t* I. e+ b/ }) F3 T
7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  
   ! L9 |+ f- Y% p& l\" M/ g
8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点

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- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。

7 Q! R+ ~. n) i; B) E. ^[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

1. while sum(pb) < length(a)  
   1 c5 U3 N2 |\" L0 n$ Y
2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  7 N$ X$ Q: o% ], W! o4 ?
   
3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  ' o0 s* E0 F6 l3 ^
   
4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  
   , ?8 I3 y; l0 Q% |9 {\" G2 r* g& K) L
5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  % h6 g- s( _) L6 K7 Z; A
   
6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  
   : u\" T* R' @7 `4 ^# y6 Y
7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

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- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
, R1 _) y+ H4 @$ l) R# R- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。
6 `  |. t2 {8 l; g6 D
" B2 b; ?$ o) U$ |) M/ }/ |[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   
   - K, d0 S( C* C9 j$ S2 ~) G( ?
2. if length(index) >= 2  
   2 @& U3 N\" f2 W! ]; [5 z\" M
3.     index = index(1);  ! m; w1 s# v2 _2 c. z
   
4. end  , s. D' J+ ~1 [5 x
   
5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2

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- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。

4 i# P7 F) N- a/ Q  w$ C7 W' ^总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：
0 s/ A; e9 _5 h
1. 初始化距离和访问标记。
  u4 r; w5 i& U' k( `4 D2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
6 [9 ?( D  u: X  z! U9 a3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。

最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。