Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

2744557306

该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：
$ T( R3 P+ Q; }! X5 y8 o5 }
### Dijkstra 算法的基本思想
5 w# I7 b& ]1 o6 h6 F
Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。

  c- g0 q+ r$ }0 n代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)

复制代码

- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
- `d` 为最短路径权重的数组。
0 f) W( H% U3 }$ L9 a- `index1` 表示节点访问顺序。
! |3 {* {1 u$ r5 t' l9 o- `index2` 表示节点的索引顺序。
+ c: L1 P' s) ?0 L6 Z- p
  `6 y5 ~4 Y" J) F; C  o[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. M = max(max(a));  
   % X# M. s- C0 p6 S
2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  
   ; I2 U% w, @: z# ^+ x4 |2 J
3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问  % f' O\" H\" m; a7 p
   
4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  
   1 Y! ~' i2 b1 g$ A7 @' C5 I
5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  3 Z, z- M; B8 m9 d. Z1 d+ Q\" [
   
6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  
   ! u$ N+ s9 s; A0 [. j1 p  k
7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  
   * @1 |% ^: K( u1 |2 k6 v) l, ]2 @
8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点

复制代码

- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
& y& T# q# f9 H6 a" Y- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。
$ J8 c8 g5 _0 y& q0 n
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

1. while sum(pb) < length(a)  
   * }3 p! k4 k1 ^, x2 |0 f
2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  & `% |. p# ^/ ]: q
   
3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  
   \" [/ l6 F/ l+ g, f+ l
4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  
   1 h! s; z% H  @' \' l. ]* ]
5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  
   3 [' N/ s- U4 u  z% A
6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  8 V( ~( Y. f2 f* f
   
7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

复制代码

- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
6 |# [% w+ c  ^! P- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
- }9 q* v$ N, \% x$ o5 f- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
3 _3 v1 X9 C1 \% G! R8 b! P- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。
0 r# E4 o; g9 y; w6 z! ]% J
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   ( h$ f/ t% Z% h+ s$ D( S
   
2. if length(index) >= 2  
   0 o9 f- [% Y: r! J& @# g' \
3.     index = index(1);  + z6 r' F+ B# ]- S
   
4. end  
     [# m$ t  N) V: y
5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2

复制代码

- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。

总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：

, `0 w- J1 |. u1 E$ ~7 b+ V6 o1. 初始化距离和访问标记。
2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
' C, B, K, X* M* i( h3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。

最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。
- V- N! n8 i' W1 N1 V; }

" Y' P  p5 ^5 j& o5 e* t
8 @: R- j( J; |