Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

2744557306

该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：

2 [, n' d( ?+ T+ n### Dijkstra 算法的基本思想

Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。
- g7 |4 C( W* [/ E
代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)

复制代码

- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
- `d` 为最短路径权重的数组。
! C0 A, S$ _, v! F" u! a, T# |- `index1` 表示节点访问顺序。
1 W/ @; G0 F( v- `index2` 表示节点的索引顺序。
, ^& A$ `& D* \, Z
3 c  f9 r, ~6 U* ^6 G& e[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. M = max(max(a));  ! R( U) L; L! N- P7 b2 R
   
2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  % A2 f5 n' g, h, Z
   
3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问  , |& ~+ i8 b\" K. I+ D8 N7 `
   
4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  
   - W: `' R. b. K4 K
5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  
     w2 v1 Q: F! f5 X/ b
6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  
   7 j9 Y$ w% R4 u2 I. z; F3 l  l
7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  ( c  T- ^1 B$ I. }
   
8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点

复制代码

- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
- Y+ v8 j% h" L* K2 S6 c/ Q. W# q- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
2 d6 d7 O4 H7 e* J. z+ G) i- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

1. while sum(pb) < length(a)  4 D. O6 |/ O/ d0 O+ W! `; h
   
2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  
   . C$ R/ L1 ?4 w, e. P
3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  $ S; O( N( y! e8 P$ z3 B9 Y& X
   
4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  $ p0 @& s- `9 u
   
5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  : H, ~; X3 m9 M4 B
   
6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  ' t. R+ G$ G7 i  p- t
   
7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

复制代码

- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
5 U6 X0 A4 P- H" o2 u- a0 k9 n% x! S- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。
1 r1 l3 H1 j4 L: d! i8 e  `  {
7 @0 \& a) M3 t' |6 I[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   + c2 k! l7 i& `
   
2. if length(index) >= 2  
   ) b' l! ?# K, q- G5 Q8 J9 ]& R
3.     index = index(1);  
     w2 d  }9 x' |7 T
4. end    H9 \+ u& C9 U2 D* o
   
5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2

复制代码

- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。
  K6 a) j" c. c5 u& N; s& w. z
总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：
* x* l" E! f( G+ p
. P! d3 E0 w' S2 s1. 初始化距离和访问标记。
$ G2 f" u( [% o, d' b3 O2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
) h$ u/ n! V) u6 `$ w3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。

最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。

' Q! l# {3 B4 d" n  ^& H

6 S$ d( e  R$ m7 m' f; C  ]; ~# x