Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

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该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：

6 {1 J4 c  t6 P: _* Z### Dijkstra 算法的基本思想
5 b% ^0 i- t, P8 l. {
Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。

0 @# N. Y4 k3 U代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)

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- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
5 P, H3 h1 _, _; _5 P- `d` 为最短路径权重的数组。
' Q$ d7 Z0 _$ h- `index1` 表示节点访问顺序。
4 B* h7 i2 h! V7 t) B) c- `index2` 表示节点的索引顺序。

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. M = max(max(a));  
   ! n, Z: M( A* S\" @\" t1 H& W) k6 `
2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  
   % @! u' M. f1 e
3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问  ) a6 v( r* f- c! {+ F4 \9 V
   
4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  % D2 b, e9 u; Z3 N; P9 K1 M* t
   
5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  
   4 k0 `/ v/ |6 e8 D
6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  5 h/ h( H( u, ^, u& }1 C# \
   
7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  * x& K) z4 \  m6 N- W\" u
   
8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点

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- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
; W" J0 X9 j- z3 }- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

1. while sum(pb) < length(a)  
   - x' }8 A2 l! _  d
2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  
   , |, d% I\" }, C& Q' u3 j4 O
3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  
   2 }% K& ^2 u/ z- R
4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  # v0 }) n. t; M/ Q+ z, z' Y
   
5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  
   9 d$ b5 W7 _7 O2 [- W3 L# S
6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  
     L5 N* @8 a; ]( G! Q! h
7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

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- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
5 ]- {1 j. x* p- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
6 v1 I& ^& i9 h- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。
$ w. L2 K5 f; Z. ]3 U) n
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   % Y$ ~. `1 e3 p, d2 _( N9 c
   
2. if length(index) >= 2  9 c* G- g! Y  l
   
3.     index = index(1);  & C0 u, A  e2 w; R' f\" `/ _
   
4. end  
   : j: M. N0 N' B5 v6 ]; K: t0 r3 Y
5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2

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- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。

总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：
4 T9 X& c4 N2 Z
1. 初始化距离和访问标记。
  g0 f/ R" t  R  Z* h; N2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。
9 v1 y, j5 M8 B% A# G# v; z5 j# k
最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。