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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 ' ^0 J; K+ P3 G, a/ n- b* T
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 9 H0 i' G- R) d4 }2 X) D' @/ ?
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
2 Z9 [$ i9 F0 n9 D
for i = 1:n # D/ X+ x7 ~0 o
for j = 1:n 2 t& v! h& k+ H6 y
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) ! \# Q: {6 @\" F+ N# v
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); + }4 _# R/ X* l* z$ t$ D, [
end ; M {* w& m6 H9 T
end 3 R3 ~& s5 R\" t7 b+ N
end
N, a9 u: H; V\" V( L, G
m = m + 1; , f9 x, E' X# a0 y( v5 b
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
E! }7 P. K/ \6 d* I2 N
k = 1;
6 Z# s9 K$ P( s
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
& z% }+ a! [1 ?* ^
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 6 c( V7 m0 e. h- h: V, J
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
/ S6 s$ U e\" F- i$ M
for i = 1:n ) O% y' C8 ?$ ~+ F3 Z
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); : E) j3 j5 @# _: _3 n* Z% R2 ?
if V(1, i) == U(k1, i) , A3 ?0 ?( o \$ `5 [3 p/ o6 X
P1(k + 1) = i;
' ^: }! |% {# c( c3 G9 ?* L
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
) `$ a( t2 r9 R
k = k + 1; 3 k! q. ?6 O% n
end # J9 h; r$ Z. }7 V& x# l3 J9 Y
end 7 v8 ?2 U\" ]9 G( ?% d6 {. K: c
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
& p, W0 A0 r- [" R' `0 M

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; * m5 ?& G2 P$ y, H9 z) b
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 9 U) w/ X W5 X# |
for j = length(wrow):-1:1
: @# u. \ e( q8 Y5 C: K
P(k) = P1(wrow(j));
) _7 o/ U: C4 Q4 f# x+ m0 h4 E
k = k + 1;
- b7 k9 y+ C: g8 U9 w- |
end $ t6 ?- }# L$ `8 h% m% M5 ^4 i
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
* N- o, J4 V, v# g' a

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]