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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
' {\" ~& R% E8 R
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 ; S3 r# G6 z2 T% d7 L0 t
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 8 ^: l\" v' ^8 u/ ?; u/ O
for i = 1:n
( D o8 b5 d/ D0 L( S8 I. h# t; j
for j = 1:n ) W/ @/ x3 u. |
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
$ ?) O5 F9 x! z+ c3 G5 b; A! } s4 A
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
1 q, L i( k\" S. t; |8 `
end 8 Y) }9 p' a$ E
end
2 ?& h\" k& ` ]! ~/ ]
end
+ O4 D o7 I3 j8 W) j
m = m + 1;
' }1 j: o6 f4 U9 v3 M
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
5 T: I- K1 o# z6 z2 b# m) W
k = 1; 3 E6 r2 ^9 w8 X* B
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
# a( K+ F) q. M) e! S# M
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
) W. I4 [2 D4 ?# ^! A
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 0 ]* \+ p9 L5 Y1 Q! Y
for i = 1:n ' z6 f. K# w7 V X
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
* F$ Q3 d2 V' J( h1 m# y\" Q
if V(1, i) == U(k1, i) 0 S, r+ n: Q! P+ }2 e* S2 F
P1(k + 1) = i; $ [\" K3 `: @6 j
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
k = k + 1;
. k3 o, Y+ m\" _% C; U5 \; i
end 9 }! q) f- r4 P) e
end
- z/ l+ f$ B( Y, _1 ^# n
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
9 [- r$ t; C/ P8 j4 ? c

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; : U3 y* O' z% N
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
% g% a. a) {4 K
for j = length(wrow):-1:1
: p; I! ~' Q& p8 j
P(k) = P1(wrow(j)); ! }5 M% C2 X: Q! o9 G
k = k + 1; ! V% x, C! {& q ^4 z, n
end 6 H$ e. t& k `* T
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。2 b8 f& `0 u$ k/ M% w4 a v/ t

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]