查看: 1076|回复: 0

Floyd算法求两点间的最短路

字体大小: 正常放大

1177 主题	4 听众	2891 积分

该用户从未签到

电梯直达

1^#

发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

复制代码

- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
* P; }. F( k- T9 k! x
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 * |4 j, W9 M0 E6 U4 N' Q5 F& X
m = 1; % 初始化步数

复制代码

- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n ' F6 x+ _; L; L7 t
for i = 1:n
' B7 j2 r4 u1 r4 L
for j = 1:n
* v1 f% m: a+ U# m8 `
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
' Q9 M1 }6 W( c; K; c
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
1 e5 h1 `! r7 x
end ; Q2 h\" K% C7 j8 z/ S
end 8 l+ n/ E1 F. V9 J, k
end & x1 W' C/ c) O* l3 c9 w+ s& J6 D! u
m = m + 1;
! @4 o! J. X9 {' Q; t: R0 ?
end

复制代码

- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

复制代码

- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
7 G, D& F! D1 G* s6 W4 \1 f
k = 1;
4 m$ ^6 N4 m( M* G1 b
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 l1 m r8 }; P) O) d
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 + K\" {/ H5 [+ C; H5 G
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

复制代码

- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 ( F: f- }2 j$ o5 a( O# {2 p
for i = 1:n 6 z\" k6 B\" ~1 t# V+ {: [( ~8 I
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); / B% i) w* ^5 b( S6 b! ~( g: `1 R' M
if V(1, i) == U(k1, i)
- @& ?# f3 v- H; M; E
P1(k + 1) = i; , e W7 S7 L% q* H% U$ }
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
4 i5 T\" F- E* s0 H6 P# F
k = k + 1;
* o+ H! y9 b. B% M+ y/ R
end & z& ^6 |& T1 F' z* B8 |. b: t
end
. {# h) r- {5 E/ r0 ]7 `! E8 ]2 }
end

复制代码

通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。$ u- O) @: |3 ]) _

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; , I m0 R' `$ Q; K2 m3 o# P l\" _* }
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 1 B% z+ `0 ?2 ~/ T1 V2 Z
for j = length(wrow):-1:1
- t$ v6 @\" e. ]. ~
P(k) = P1(wrow(j));
( T( o+ \$ G) X- _6 q F
k = k + 1;
. l( M- |: }% S e [3 Y
end & X1 A2 _0 D5 }- {* K/ |0 v
P;

复制代码

提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。+ P- P) K9 g7 Y0 F7 |

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]