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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 - I7 {; k# m' i\" N& f, [
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
1 F3 u6 |0 Q- D
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
! q O, Y' D+ o6 ]
for i = 1:n
8 X5 Y$ |' l9 n' Y/ n
for j = 1:n # a4 I% o& X! @! y7 P% Z
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) 4 @% Y9 p\" J; i- ~) g% E; C6 N P/ F
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); , }1 j2 M& ^% N& S2 C
end
! _9 f' a* p) X5 D) D1 G
end
5 t1 S, V8 t1 U\" \. h; x( H7 O, \
end 7 n$ k q/ i# }% e' L. @
m = m + 1; ( k, m9 b+ ^0 c! k
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); 9 m2 [5 T Z) ` F. G
k = 1; . S7 s& L# [1 j0 u, P& X
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 ' a c- a* f9 A) i
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 \" a- r' X) w3 [8 ` [8 d
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
% U% O4 \6 U4 B! U' A/ y
for i = 1:n
* i0 c/ |8 Q O5 Y9 C( J
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); 4 s$ e8 F! y1 A) `3 X
if V(1, i) == U(k1, i)
3 t0 o# _, X8 t+ b: i9 X, |! G
P1(k + 1) = i;
/ I; \: h0 ^- z9 O2 P1 K* R
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 8 | _! F8 c0 f- D
k = k + 1; 3 Q8 [3 [7 g5 |( o7 }
end ! e9 w) l% W4 W4 C0 K+ f/ D7 t/ u
end 8 x9 ], B, `0 j; o
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
, M) P* p+ H/ g0 v5 D3 Q

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
$ g; n: T, p( m, r7 P
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
u1 a4 j3 ?$ P& x! F: J
for j = length(wrow):-1:1
' ?2 C& Q& X5 m8 Q7 R% ]$ }
P(k) = P1(wrow(j)); / o# H. J, g8 k& U) c( m
k = k + 1;
+ S+ g' D/ M1 H0 ?4 R& G
end ' D* k, A\" y8 J9 V4 R% H
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
1 ~: | V# V3 S- z9 `9 S: e6 z5 F

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]