Kuhn Munkras 算法求最大匹配

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发表于 2024-11-20 18:07 |只看该作者 |倒序浏览

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Kuhn-Munkres算法，也称为匈牙利算法的改进版或匈牙利算法的赋权形式，是一种用于解决带权二分图最大权匹配问题的算法。它与原始的匈牙利算法类似，但是适用于每条边都有权重的二分图。在这种图中，目标是最大程度地增加匹配的总权重，而不是简单地增加匹配中的边数。
Kuhn-Munkres算法的基本步骤如下：
初始化：为每个节点分配一个标签（称为顶标），对于左集合（L）的每个节点，其顶标等于与其相连的边中的最大权重；对于右集合（R）的每个节点，其顶标初始化为0。
构建交替路径：使用BFS或DFS在图中寻找增广路径，即一条从未匹配节点到未匹配节点的路径，路径上的边交替出现在匹配边和非匹配边。
修改顶标：如果找到的路径不是增广路径，则需要修改顶标，使得新的顶标仍然满足顶标限制，同时增加一个足够大的数（称为标记值），以确保下一次搜索能够找到增广路径。
更新匹配：一旦找到增广路径，就可以通过翻转路径上的匹配边和非匹配边来更新匹配，从而增加匹配的权重。
重复：重复步骤2到4，直到无法找到增广路径，此时算法结束，当前的匹配即为最大权匹配。
Kuhn-Munkres算法在数学建模中的应用非常广泛，尤其是在需要考虑边权重的情况下。例如：
优化分配问题：在资源分配或任务分配中，每个任务或资源的权重可能不同，Kuhn-Munkres算法可以帮助找到最优的分配方案，使得总权重最大。
生物信息学：在基因组序列比对中，不同的碱基对可能具有不同的匹配得分，Kuhn-Munkres算法可以用来找到两个序列之间的最佳匹配。
图像处理：在图像分割中，每个像素可能具有不同的特征权重，Kuhn-Munkres算法可以帮助找到最佳的分割方案。
网络流问题：在最大权匹配问题中，每条边的容量可能不同，Kuhn-Munkres算法可以用来找到最大权重的匹配。
Kuhn-Munkres算法的时间复杂度通常是O(V^3)，其中V是二分图中的节点数。这使得它适用于中等规模的问题，而对于大规模问题，可能需要更高效的算法或近似算法。