证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
' ?5 `1 ^4 `) q; ]" F- c; W; O1） x ≡ 0
; {  q) k' Y3 _! N- P1 s(mod q1)
x ≡ r2
2 O: U4 f& A* }' j(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡q2-r2
* ~% {0 O0 v& Y' I, a, ](mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
$ J( i' V0 o3 {  r0 S证明：
+ G0 D* G% K4 u+ C6 x根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
! n* e2 h) f* h. ~8 |令方程组1）与2）的解分别为：
% p) g& `7 l5 V6 q2 H4 Bx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
8 K+ Q4 h. v8 Q: R) z; W9 m2 cq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
∴
' g; n8 M/ j$ [8 _' Q( n' ua1+ a2 =q2
  B$ ]+ ^* q# G1 A8 `( v. H! x: ]' _，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
2 e% c2 ~  ]6 y∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
! E5 m5 [6 F4 C8 S. C8 h# Y$ Ex1=a1q1=b1q2+ r2
- |+ L7 M/ c8 u( H2 z' s5 O; Qx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
- l* R9 k9 A$ l定理得证。

azqw

看看看看。

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