证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
4 o3 {$ ?6 \2 A# T1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
9 H7 N4 F# L  m) F4 O6 \/ i7 U3 _2） x ≡ 0
(mod q1)
7 j* y" D( N$ e0 x0 Sx ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
* j& B% [! d1 F  R) }7 r$ H( _2 r令方程组1）与2）的解分别为：
0 H( m9 N: A) n: Gx1=a1q1=b1q2+ r2
. u% s# M# _( L' ?, C9 ^* w# T+ Kx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
) j3 d1 c& [5 i6 X5 j* i即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
∴
; R- C& l4 f# k0 sa1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
4 J9 H$ e7 t. Z. h& V0 A% k* I; G∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
1 A% M3 |+ [8 }x1=a1q1=b1q2+ r2
5 b0 s" w9 W9 t1 I! Xx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
7 G- ], V- `' X0 B; }) ^也只能一个为奇数，一个为偶数。
, k0 G5 c7 ^& n0 K2 d定理得证。

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