证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
- v( j; |. p& B( k. `! N1 }% ux ≡q2-r2
(mod q2)
( c' ?) Q; \3 Y$ _( V( [小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
$ |4 J! M) w- r# ~: m% u- {/ f, w证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
$ N4 R" M. o; dq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
- M) J8 R1 y7 Z, h" R  J7 W/ ^∴
2 h8 M1 i. L* Q0 T* ix1+x2< 2q1q2,
∴
9 @/ E+ \3 ]9 w) pa1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
& b* R; A# ?4 L( ]. [/ H0 b5 X∵ q2为奇素数，
# r/ T2 a3 Y+ Q2 b8 d∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
1 l/ W" x9 P; x% n; i1 b也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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