证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
$ A2 l! j" g" y: g* [1） x ≡ 0
2 b7 _4 {$ p. z9 p; {(mod q1)
/ o& R/ V, }8 ]" M% X0 Jx ≡ r2
(mod q2)
8 o( I7 Z! ~5 R( p/ _2） x ≡ 0
(mod q1)
  l8 l" q6 M+ u( ~2 V" O1 Vx ≡q2-r2
' l& j  ?8 @; F5 Y1 k/ M(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
" P9 @( b9 A4 {6 J: Z$ \4 N根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
; |5 A+ O& u+ Z0 Vx1=a1q1=b1q2+ r2
! Q  O" I* i: }1 A/ lx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
! n1 N' ?7 i' S( t/ L/ Y$ ~即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
* v8 O! h6 t7 q, o* d7 z∵
6 m8 i& w' L5 F! X- K0 jq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
3 u* I* X$ A0 B  v4 I' }∴
2 @- z, G% A6 i' m3 Z- ga1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
7 B7 r) J4 @1 t0 R) y% ]∵ q2为奇素数，
: Z1 r, z5 h+ J∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
9 t) b9 {  i3 k: i8 V∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
0 k3 {: o$ }: E: D" R( x( c2 L∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
" H% B( x5 x, [9 ^也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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