证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
- k5 _: s! v% b9 C1 R若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
2 I* q* Z5 x& E* A$ B1） x ≡r1
' A3 h' i, a9 ~& z  u- w# T' b: _
& [) Q2 Z4 h& I9 P/ ~  W7 X(mod q1)
8 _2 J' ~! N  a& d  Gx ≡ r2
(mod q2)
2 U0 b5 j" Q. a3 T5 f2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1

(mod q1)
x ≡ r2
+ N, ^1 l: t+ W6 W! O(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
( F4 |  R9 y) G" C(mod q2)
) ]7 g! n, Z7 C0 i小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
3 B+ `7 U1 l( r  O令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
- f$ |+ G: o; J) s则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
$ Q$ |& [7 t% o/ b- I! c  `* |a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
' e3 Q* |3 Q( D& |; ia1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
) E' ^2 ~- p$ T9 j即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
2 z, j- [; l) r1 A% D3 H2 u& K定理得证。