证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
% q; S( P$ t6 w: C% l4 x若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
4 J- h  [/ _8 R) Z" B0 ^
; t, m, F% g! h3 _" t; \5 u* \. q+ E(mod q1)
x ≡ r2
3 A- r* r3 ^( r$ o6 d  }! W(mod q2)
3 i' J" e3 l. |* T4 I2） x ≡ r1
( x" t6 {- _* C  ?( F0 ](mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1
5 g" Q+ @8 _0 W; u
6 O% P/ N* w3 s& c(mod q1)
: O& w: N& z; O) f; Rx ≡ r2
; f: q& n3 \7 I8 k(mod q2)
: L$ x4 I" t- v( _, @  a8 i4） x ≡q1-r1
# [+ Z" ^7 c. e5 s6 A. b. A# j(mod q1)
* X5 R' ]- X) v: b* ux ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
4 N, a+ x% A7 a: J根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
: O0 I1 }5 n: G令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
. G9 w( d4 C- s4 _1 o. Y. i. Rx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
& S4 h5 y& O; C1 O即
3 U- k5 ~& R1 T6 f! Oa1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
. }, n0 M' r# g∴
- f0 i+ ^2 T. H8 P* j* B  va1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
, p/ U$ z% }7 D& s2 U定理得证。