证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
# x; r& H  Y% x: s9 [0 F若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1

- t3 l8 {0 l0 P(mod q1)
x ≡ r2
( k& c3 j7 u" a9 P; f(mod q2)
6 M0 O$ R% W' A+ {" q: H2 k) `2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
; ]* ~, k0 J' l; [3 V8 \3） x ≡q1-r1
" c0 w$ X. h; N5 A) r- \1 q
& P* D2 }, z  K+ ^2 o! d(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
% o: w; b1 Q# g(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
" ?$ a2 ?9 w) o0 Z证明：
4 F  X3 V0 c2 i% r根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
/ ?5 g8 }- G/ C; V& zx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
! v& j( D$ T# ~) H3 Ux2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
4 w; u/ C2 J. S" C0 v' X即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
$ T; w& x6 w/ a& x: Wa1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
9 g$ y( P5 q  Q) k+ T; Y定理得证。