证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
' }. z1 c5 S# a* O若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
9 D3 H# p' a1 a3 o0 d0 V: i
(mod q1)
+ m4 p* z/ [9 Q' Sx ≡ r2
(mod q2)
2 ~1 i  ^! f( F' d2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
. M! y+ H7 G# x# y6 v. z  S(mod q2)
2 P0 @$ K; b$ ^. r& W  A4 d5 S3） x ≡q1-r1

(mod q1)
" v+ e+ J; E4 X/ X  W7 t7 Cx ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
, x7 {3 _1 D/ V- B& Ox ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
+ b. W$ q# w8 D8 U7 Q6 o. a根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
, @  e. A' D2 v& w令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
# ~+ f. J. U7 K9 fx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
1 H* V* f0 K: r: A0 qx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
& n  N$ h  F6 Q: n则
4 S' f7 q# k) R/ {x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
( h- W- o9 Z) q7 a% \0 G! F. j即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
( k+ Z8 }+ }' I; _( C  a/ va1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
+ X# @8 e' H4 }# B# Y" x, ?同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。