巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

; }  E# `/ z1 D" q　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
5 z8 P) \0 `* m" B亞和伊拉克。

4 S2 N" {7 K8 t4 ]6 V/ L　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
- c0 p3 Z: N6 R現在的禮拜日。
3 [8 L: C# T  `( I1 c
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
, K4 x" U  K) x8 W& m秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
+ _! F& Y6 h" a  M十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。
: Y6 s! M% d0 g
1 L0 y- h2 Q  Z' z　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
+ B. \0 D& E7 `, [; A1 l的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
3 A0 Q# Y% Q, J- X板書。
6 u4 L( Y! u: d8 \
　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
/ _" O/ p1 l/ t/ S6 v9 {，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
4 A. h2 A, s( q% {$ b) L，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。

　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
; w  V* [, T" L& N+ m土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
; J1 P+ Z! N1 |+ ]" E及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
1 O, W/ K3 ^. _5 T5 `了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
) n8 R$ R, s0 u2 s- P$ V& o# B8 x$ C微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
, n# e) p7 z0 t' I! g板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
# [' r6 X" ^7 H" X+ u4 ~% u高。
! o; K9 M2 z- {# Z1 Q
　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
; S& X4 \) J4 w) L6 T& s* ~+ z裡就談談他們這方面的貢獻。

　
0 \& Y" N3 r& V* V# a( a) U
9 \% h, [- r. ~+ N4 P巴比侖人的記數法
3 f' Y3 `) M, O" L2 N
3 a) |1 |% @9 G8 Y) A　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。
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　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
( e/ T+ ~) B) J/ X糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
9 Y) p1 N2 p( _7 d$ O
　　　　　　

0 q2 m9 @$ A5 |1 w2 S2 ]4 B* F　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
; n3 H& Y2 j' L  O' j" x稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
7 P; z. O2 m+ {. ^. r  i& O* D% x8 R是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
, b$ @( W" S& V) G5 G% g5 q+ U+ \9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
8 J8 w" m/ h/ e! [& G上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
% }3 z  w* _5 ~: ~' y! @$ |/ o- `
) E. {# `3 m9 A　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
; M# Y4 v* \0 m8 l. e! V/ P8 B個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
, m. r. q' p* p
1 P3 ?' m" C  S) g4 m: x) q: D* I　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
7 A6 d: E; y. r0 {法。
( s( z8 V9 z9 ]5 S5 m
　

　

　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

. v7 r- c0 t5 F3 M( Z) d' [　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
, Y% V! e/ e% i# }1 `3 u( J五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。
6 b: M; N* B$ y7 l, r) ?( L
! E& `  K& s  u4 D0 [; m% _9 q　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

% V) Y: p  n$ R8 V4 N% A　
! H8 `5 {. O# N$ S( L! d) n
　
6 M1 z( r# G( ^" Y* K& l
　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
# r% s: c4 |2 X' i出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

0 d( n/ \2 I4 X& _  A9 y9 j) R　

, Z9 l( c5 q/ x* `3 f　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
* F, B/ c' d0 f6 X2 z9 s& H) N
- R3 j0 d  W2 R6 M　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
9 F: q9 t. ]7 Z. r0 D4 `" H
& `- `9 y/ @$ @: I$ r& Q; u　　可是接下來的卻是這樣的符號：
8 D( @, X" d3 Z) f* D
　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：

3 p# X) j! m1 D　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
* W3 W! U' ?( e7 G# m& T
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
" S8 h4 w5 e( b/ s就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
1 G0 t. J1 p8 j將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
# d1 A8 s' U7 b* t  Q1 D
　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
' m& i! e' J5 h) k他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
! ?( h- d7 M+ F0 ?# n" A. S0 g
　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
6 ^% I. N; k6 Z' U, D7 t8 C看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

8 M  m4 d/ D8 F　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
' y8 D7 c' @; n. c4 B
　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
3 {6 Z- S: ^! L" N/ e: {9 k2 W
3 s# w6 |+ l( i9 M　
3 T8 N$ d& R: _9 ?3 `2 J3 S% d
巴比侖人怎樣進行除法運算？

　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
& i4 l% }$ Z# i3 p
2 30 16 3,45 45 1 ,20
% t: q; K9 K. d+ ~3 20 18 3,20 48 1 ,15
# D* O+ d, S9 _/ e4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
1 `+ \9 }) c1 D9 u9 n3 K/ e) i3 |' N6 10 25 2,24
% \4 k1 u2 R7 r4 \; N$ d8 7,30 27 2,13,20
8 n% X+ X2 W8 U8 e7 R. b6 d& v! d9 6,40 30 2
1 s& L; _" E2 x+ a: t1 {* _3 c10 6 32 1,52,30
* P" C5 X, r8 h! p# j12 5 36 1,40
" F2 i  h( }1 ]' u9 x15 4 40 1,30
6 n3 ?) K% u) ?$ \' t7 G% b  [
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：
) h* q0 Z( N4 b
　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
- j9 V" \  L2 X# U對應 2,13,20意思就是：

$ n/ n5 v) l. J9 D, c2 i! f* k　　　　　　 　
* l' a  @: B0 p
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
/ O& |, n. `* \( W- W( @3 ?4 r這是什麼原因呢？

5 Y: s( q, `7 k1 Z　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

; x* [6 b5 X/ H4 b　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
8 n' @& w; X" e式以至無窮。

2 p* C" p4 `. w( ?6 N　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
+ ]/ y8 Z. _7 K& H化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
. Q& T* i' F. u/ S
/ ^9 N1 s- P2 t　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。