巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

4 U( d' S& a. [+ D　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
- F; C# U- {- E2 H* E$ z2 H河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
, K. `3 x% d8 d" p/ j亞和伊拉克。
5 A% [% c2 W  y, D: q
　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
% B# s& o9 ?9 [/ Q, S- d/ B. k人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
4 w! m. t) Y4 j1 N' R" F( e% I一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

9 ^" ~- T1 _  o5 x3 H- Y8 l0 k% ~　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
8 h; r3 C( C" e6 ~0 X* l1 e十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

; X4 b2 F3 m2 Q) M　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
  s% h6 F" c3 X5 z) y6 f: C- j( `，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
+ q: ^& j5 j' G# j, y& t1 R，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。

6 Y3 \: G6 T5 l  g& j　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
, N0 X# V/ K: r5 u. Q' h& A: \  ]土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
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　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
3 t# n/ N$ U% e1 \5 }: p! J了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
& G; Q( q2 `; ]& [' D2 y" B板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
( J) b0 p2 P+ T% |6 l; t. m' l載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
! }  a+ \" v- R; I' L9 A  W除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
; |& V) t0 U1 V  v; k1 P4 e, r
: p; @8 J1 \; o+ w$ c. r4 r* \　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
; Q5 f3 W/ D8 D# ~" u3 l' f: N+ n; w裡就談談他們這方面的貢獻。
7 U* F! p" `, m( A+ a4 \/ D& \1 M
6 ]' o7 d+ w* t7 @　
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巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
, L# L: a- Z" q4 V2 R: }( |+ {9 O進位。

4 u, _" a' T# I, D8 Z1 }* p　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。
& a0 b. B2 ]/ [& L" m- Q" [
: J& v4 d: Q& X$ p0 \　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　
: w2 o9 u, G( G7 j/ c
7 |% F) z! r# n$ L$ g/ g9 n　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
9 A$ u. [) y$ N0 \  g. u2 ~是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
  i+ K% v! x( Q9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
0 L) O) O' n' k, i3 個小球。

1 t7 G2 M# o2 q' t  b% ?0 Z6 b　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

+ C) U% W6 [! c5 S4 ?& l　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
5 m  c( ^& I( D8 V1 `# c$ A（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
5 w7 }1 V5 ~" |# H+ T+ J; [法。

5 P5 d$ h2 |- I: o$ {. G　
8 z3 C: S6 F; O2 c' p% }2 w1 d5 Q
$ ?" I$ t5 U3 I- x. Q' N* p+ T　
& q4 C! ]0 j. ], P8 |, p0 ^& [
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
6 k2 r1 z3 M' x. Q/ O時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
; C) x- s6 c' U/ c1 b7 _9 @
9 V/ S/ V" z3 ?. C( ^　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
" C, g' @1 r9 o, U星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。

　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
" i! X2 o% Q2 U6 s# u吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　

　
. g. d- b" u& ^* y; Z7 M, o
4 _) k2 `" S" h2 z5 [; p- X6 V3 A　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　

　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
: u4 ~# F) d, }: G7 N0 [' m前五行是形如：
; ]5 y  S# M$ `* Q8 D7 u
" W$ }5 N: h* L7 F　

; F/ _0 b! d% c1 l0 x很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
5 n! d* E; D3 v! r7 I6 ?3 H
　　可是接下來的卻是這樣的符號：

　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：

　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
$ k/ L' G/ P+ j* |" u
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

4 S9 x1 Z/ U( H( R　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
+ q1 e5 V2 F3 A/ A就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
5 V( a: R0 k: {! l) X
　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
% C$ z' |# {( P1 e3 z: c他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
: e  @8 `! `9 q8 D# d
* n0 [) a: V5 D- ~9 H  i% K　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
# [1 O, d: G' o
' [% s, Q: q  z0 U" O$ ^　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
1 o/ `: l5 r6 t* _* t
5 J/ l7 m5 S0 e" F1 x" q3 i　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
5 E$ Z7 N5 v) h! ]6 x' `
　

巴比侖人怎樣進行除法運算？

' @9 l" M3 ]  F6 \% X+ ]　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
" U& q7 @* x% G( l5 i
2 ^+ d' Y3 m/ ]% n& G& }2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
  I" \, n3 p4 J9 i$ I# f4 15 20 3 50 1 ,12
$ ]  {+ e4 C3 O; F  v4 o% t5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
+ h0 o; |+ n  Z  t8 7,30 27 2,13,20
$ ^* b  J- N7 z, Q( s0 u) |. |1 C3 K9 6,40 30 2
5 `2 p: B  [# b% j3 j, ?5 K10 6 32 1,52,30
  ]$ h- M- x9 V9 m# F& s: s12 5 36 1,40
) D9 F1 \+ T; n3 @15 4 40 1,30
; k4 o% v0 k7 i4 f
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

+ b. Z) j9 W: ^4 G, S6 M! _　　　　　　　
/ R1 G3 @  i/ h3 f1 B
( o/ W6 l% k3 O! N5 w　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
0 L$ H; U, w. j
　　　　　　 　
+ l2 I/ e( i( a5 S( k% T: m8 E
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
" w6 J/ K, {! k6 O
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
8 Z* O( M$ u- n9 Y2 W: l$ n
　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
4 B+ t7 Z0 J4 J# H% R式以至無窮。
% z: E5 u% Q1 `, Y4 d+ J
- Y  ^: E5 e' C　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
: G% j) `( E9 W  C* J
, Z0 u1 Q, }+ ]6 y$ R; V6 ]- Z# i　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
, I$ g& V1 U3 za ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
  w8 b$ F3 Y$ K7 z化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
! {+ o4 Q$ V* D; c4 c8 d、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。