巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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$ j+ U4 {  D  ^- D6 C* u& V　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
9 J+ f: Q( I+ F1 K  k4 w/ Q) T* a河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
$ G) Z- T; ]: ^2 U! ]( j亞和伊拉克。

　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
' ~( J% y4 ~/ v  P! I: e一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
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5 i' G  y$ w% Q3 e) W, T　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。
# O6 C  q7 p. j2 x$ e$ Q3 [! g
2 w$ Z% c, P8 I. c. U　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
( ~# d) U! w5 {: |4 k; p0 H磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。
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　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
1 ]( @2 ]; B$ o7 ~  a! Y: |，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。
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　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
' s( ~- t. x) Z) U  y; _5 I土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
& c& j, l  M2 w土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
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3 s0 `  H0 U, {- D2 n　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
7 p; D/ U4 e' [: ~: L2 O及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
1 e1 P6 F% Z; C; d了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
" J: ^. `; Z0 J1 ?) D% a5 o; H板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
. m2 {! b; z4 n" P4 W# V比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
. m8 i4 w$ R: `& y! ?載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
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　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。
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巴比侖人的記數法
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, P. w4 T, Q1 r+ B2 u3 Q　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
% X) @  m* S& }; }: z5 f( a進位。

+ w6 ~) e' d. }2 N, }　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
) D% p% b. c! D5 {8 r" g/ |「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
5 z! e6 U% Q' ]+ k+ l# J: i糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
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　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
; g- R8 P8 s9 U5 N2 E5 K了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
' U. W1 f( i' p+ Z6 N+ d9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
; o" m( O$ `6 u) a, h* _( R* i上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
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& ]1 a: [  c  T! u- _4 c( n　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
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: r5 p4 w+ w! }& c　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
! Q  Z) q9 x* Q* j+ n& l$ P$ F9 X2 l法。
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6 J& j: y4 z% @( I; i4 p
) }# h, O9 ^( g( f* i　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
4 \9 f+ f; @/ \0 J* G時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
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5 f8 `( t. r2 H　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
; ~' R* l. _+ S+ s星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。

　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
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　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
+ Z2 _, p6 ?1 u4 }7 g出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　

　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
$ Q1 A: U! |* u6 j前五行是形如：

　

! j- a& F' D2 b! p. l' M$ Q- y. I很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
) z9 J; j$ X0 {
1 X( j0 f( ]# ]. w  `; \　　可是接下來的卻是這樣的符號：

　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
' g6 g, a7 U4 `
8 ?% R% L2 k% @/ G& @2 D　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
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! M$ n! _' C6 l: ~　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
( {4 ~& F  W; c- I4 b* M/ }# D　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
! X9 B2 S' f8 g8 a" K) N' m就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
/ b0 [# ~" B1 ?6 T2 }將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

0 J# A# s3 L3 X8 q/ P: r　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
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　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
* K; u; p" Y6 z0 s看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

$ O' G$ o$ F7 N! `+ S5 I; |　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
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( k# M4 F, e& m　

' n5 n; P  ~; c2 ^巴比侖人怎樣進行除法運算？
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: M5 e( J6 n% Q2 R7 R! T$ X　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
& T, V# n0 N" d, y+ \% l1 Q4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
  U, B; t/ z5 e( G  u# y8 7,30 27 2,13,20
9 h0 @, M8 }& h. C9 6,40 30 2
2 w" n8 [4 F% r: n9 L' ~. H  D, L1 C10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30

　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

　　　　　　　
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　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
% X9 B. F3 J2 g9 R
　　　　　　 　

　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
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　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
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　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
  U. `& \% a3 I. E6 a& i8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
8 f& G' E# |  H" B式以至無窮。
  K6 S, |: H/ h( ?, N
　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
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) A3 v9 o7 x* g' N3 N5 a　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
% K+ a% u, N  n2 b4 i# p) la ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
  P" D6 G% N9 v5 \! P2 z: j化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。