巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
- c* l$ Y! j3 H# y& Q7 W
) Y: d; K/ X/ c3 i. M　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
4 j! f* I9 r* {3 A" t) a) o亞和伊拉克。

　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
3 J; z* p# J+ D, H$ K6 O6 B人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
: }/ ]. I! J- H4 o+ `2 L$ o; N一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
! {! e9 R) B. g現在的禮拜日。
- u$ [' R: t# I$ `5 ]: J
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
0 D4 [9 j' w. L" i/ y6 E: n- `* J( q秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
5 B, H) e) V4 [6 h( X十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
3 b# A0 l9 {) J% g; t' ^+ A( W的貢獻。

$ o' x! S2 m5 N* m; k　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
( Q& h; m7 q. b. n$ ^5 s9 g磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
/ o) l  k, j5 _* v0 B板書。
% U& {+ N% R9 ^0 _
　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
$ Y9 {3 P4 p( R) x，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
: d/ W- T' y9 X2 O+ ~工程的研究，這是當時其他國家少有的。
% H+ m% P6 J- F/ i* r  }1 `
　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
: r" V% g2 o! @! v; B, ]土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
, X  D) L  m; w$ \土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

% P. h: A8 n6 N　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
; G$ H% k! b9 r/ j* N. Q  ^* ]" }2 P板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
4 G/ d. g9 Z' d載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
1 B4 k' B' W1 E高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

　

' ?% Q/ w. O, N% w6 u0 b4 x( f巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
  i7 j. I, b$ D6 T進位。

; Q7 C, z1 X& J0 m" s　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。
$ G! o+ U! W, u9 S; J4 ~
　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
8 N$ K+ s/ ?6 S, W2 G0 A助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
0 }6 b3 \8 t1 k. s  e/ V( u8 Q5 Z% U4 ?糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　

9 m& V& Z" d! D7 `" z; d. \6 A8 o　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
4 f; ?! o8 F# W. k/ S了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
: H- n* ~; q/ R3 I6 F- f是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
3 e1 m: J8 r# E5 b% z9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
7 v/ p1 [7 _/ Q4 V2 k( a3 個小球。
6 ^' x% P+ A8 m& d
+ P% Q' m3 i$ M# M　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
; M! e. \7 r8 ?* |& n
" I2 F$ V5 T1 r9 X/ t' {) S　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
; q0 R; T$ X; n* ?$ S1 ?9 V（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。
; R$ F; ?9 a: d5 A
　
  e: A) D+ x. P/ I
　

　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
0 }4 n0 e) L( v2 s, s, R. W3 _8 m時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
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* \( f7 E8 M% y& A, {　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
7 C$ U- s) G. Z1 z- r五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
- X  J6 n+ y! ]星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
. l5 w2 M( P2 p- k" @等等，我們現代還是繼續採用。
8 c, G+ Z; D+ t: f" J! G
. q+ ~$ H: T0 ]% I　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
, `% q% a/ A8 h) b6 h吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
1 T7 q; ~! }: M/ I# U5 q( a9 g
9 m5 r/ q4 q6 W6 R7 J7 \　
5 Y; w2 `! O8 T2 U
( F" ~! Z$ }9 t" ?　

　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
" R9 M9 U3 k! J- C出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
; P8 z4 M6 d7 Q/ i+ S/ G
/ @: @% v) ^& y1 U! ?# N: F　
8 w% ]1 n& p' F- c( h* Y" F# m
  }, Z) [  J1 j6 S　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

　
7 M' k) D& U/ U; s$ {
" y2 [' ?- E+ b很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

# t6 ~/ Z3 s1 @+ ^1 b/ S　　可是接下來的卻是這樣的符號：

　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
, G! T0 b% ]7 i, Z7 a
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
! ~" a. ~' T4 g
0 z6 m: R0 y0 _9 }0 e4 u　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
' p' J# Z' {' T5 C6 ?6 x
/ Q1 r+ W4 ~2 k  k　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

; F+ b: e5 h5 ]5 J& v　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
! i- ^, \1 n, E# C8 s9 T# S看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
- l" b+ \4 ^. R- g8 X
0 e  E, u  s. A5 l& J　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

1 [* ~8 f5 j  v& ?; s# }　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
3 Q* O" o+ g9 v( ~$ m; O, e5 B
9 G3 i. ^+ ~( B　

巴比侖人怎樣進行除法運算？
) ~* }6 V+ l0 X7 x
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 `0 d5 ~7 W; C2 30 16 3,45 45 1 ,20
: d! l' g# Y! P. H3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 g+ L+ x4 n2 J  J( Q4 15 20 3 50 1 ,12
3 d4 N& s/ b. g& ^& L$ w5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
# @$ A: o  z* U6 10 25 2,24
& f, q6 E5 c9 h: O4 X: G8 H8 7,30 27 2,13,20
2 U2 S. U$ v" }8 E0 C9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30

　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：
! s7 q" q( \- z- w
  c2 H; K$ O3 o: k　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
  z( {( L; {' S/ I, L  b對應 2,13,20意思就是：

4 v5 Q) z( [: f# f　　　　　　 　
5 w  A( v; V) E) G5 t+ g9 X
4 p8 c! p( ?  y! E3 ?( f, I　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
7 }; a9 k- w' I9 ^% {' L
6 k7 {8 c6 C) F  c3 H% C* a! c　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
. m1 C, \1 W! E6 r( D: t
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
& z" B0 p3 z: [8 J2 h) x( d化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
; e$ w% N8 q( d# F2 b& V1 G% ]
　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。