选择排序

韩冰

<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。
6 y3 W* t0 B. g. p8 |# y/ X: c2 I) \
* P  W9 {9 }7 e# q# i% J" C选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。
5 {4 p0 ^4 b: v
5 E( z3 l: F( P选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。

2 Z! b# N. a4 O1 q1 |  c可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
( L& J& L) s5 T( @
) \4 e1 E( L# o+ u" A% S程序14-7 寻找第k 个元素

template<CLASS T>
* u) I6 D% l( v/ X, n
, Z7 h$ I; f' t' d6 d  AT Select(T a[], int n, int k)

{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素

" Q6 X) s* `. _$ X// 假定a[n] 是一个伪最大元素
3 s6 c$ P3 W3 }3 |. H, I0 h' a1 {
4 B+ y' L, ~0 g5 H4 Oif (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();
0 q* C6 B, q" C3 j2 E. t$ [7 F
8 q8 }' q; Q! D( d+ s. u5 \; Mreturn select(a, 0, n-1, k);
' F4 p7 ~* V. D4 J# f
8 ?1 T& c- r: c' y3 x4 K}

% l" A  _: O3 Stemplate<CLASS T>
. v1 g; V  s) U& Z- z4 s
9 J- o- M& f* R/ T( G# bT select(T a[], int l, int r, int k)

{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素

3 }# Z- T& P2 a' jif (l &gt;= r) return a[l];

int i = l, // 从左至右的游标

" J0 d4 {' w3 ~$ kj = r + 1; // 从右到左的游标

T pivot = a[l];

6 Y+ [8 y& L4 P4 L6 p// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换

while (true) {
& t$ b9 g- b# i6 w/ {6 G* `
0 L) |& z6 N! N, @. L6 X! w& @- a4 Xdo {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素

i = i + 1;

- Z. D" a! u( Y  t} while (a &lt; pivot);

do {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素

j = j - 1;

} while (a[j] &gt; pivot);

  d% `6 I0 L) mif (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象
# L3 s9 C! o6 G) Y
Swap(a, a[j]);

' @. f, C4 V1 B# N! F' C2 g}

if (j - l + 1 == k) return pivot;
' n0 D, i. ^% C; A- J
// 设置p i v o t

+ J: x" j) V) ]1 D9 S. j! o! xa[l] = a[j];

- s1 W' n& p: ~3 ?" J! {a[j] = pivot;

) f8 m" ^- a" ]3 k// 对一个段进行递归调用
* t/ a, J; C# x
( G4 `% C8 P! M6 }if (j - l + 1 &lt; k)

return select(a, j+1, r, k-j+l-1);

else return select(a, l, j-1, k);

}
5 ?' E: l0 t  a, a
程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。
5 O+ G1 G: E( v% M5 m/ D* q0 v
例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。

: j  N) \4 z9 h7 _0 F如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。
6 |3 F- a. K5 c9 _
定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：
- x, J& K4 w) K0 v& u' n* r
: l7 t8 ~7 E( b& F8 \; V! m1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。

2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。
3 ^( U2 M4 i6 a+ D) Y2 t) e% j
证明这个定理的证明留作练习2 3。
0 J1 d& N- C6 \3 n2 X8 r2 Y
根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：

在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。

当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>