选择排序

韩冰

<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。
% }0 \3 J: A; D* E, ?( k& }. a
选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。
, U. R( R. a/ d+ z
/ J* I& D9 q8 Z! l( o$ \5 c选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。

可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
6 c, k( b+ X- {5 ^% p
0 U& y2 d4 `9 A程序14-7 寻找第k 个元素

1 G* M* }/ |% _! a6 T# Ctemplate<CLASS T>

T Select(T a[], int n, int k)

{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素
( D, G/ T1 j- o9 b
* B: v1 p" ]0 S$ s5 r; d3 I// 假定a[n] 是一个伪最大元素
) `: N7 w* y) Q: C+ y% y
if (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();

2 g9 a9 K# ~% `return select(a, 0, n-1, k);

}

4 t7 p6 L. K) m: {5 n( {4 M( vtemplate<CLASS T>

T select(T a[], int l, int r, int k)

5 T) _1 r9 b* l) V& m% u% v{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素
0 M1 h5 R# U  j" Y
if (l &gt;= r) return a[l];
: u7 j. K8 q" p2 l* {
% \0 t0 q1 @# w. vint i = l, // 从左至右的游标
) [3 O0 t6 M4 [3 S' Q
j = r + 1; // 从右到左的游标

T pivot = a[l];
! \" t0 z3 R! t3 ]* d1 ^. V) Y5 T
// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换
. x1 y2 a' J" v+ H* R& H$ O
while (true) {

do {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素
- t( U" C# G. ~) i$ o, N
i = i + 1;

0 I  q3 k! B( r$ m( ^+ o# F8 J} while (a &lt; pivot);
$ N/ F! g' R4 B  b# h1 x( y
! A, L2 m" ^) I0 b1 B0 n$ A) ^3 ?$ N/ u# zdo {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素

& N) S/ z/ a. f& N5 @3 Wj = j - 1;
7 B; N$ O' A; W+ M; I/ b
} while (a[j] &gt; pivot);
( u9 ~8 ^, @/ P# _0 [
" @" F6 ]8 w5 E+ s2 P5 T! k9 L0 cif (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象
1 G$ I+ s* m7 L0 |4 W
Swap(a, a[j]);
/ d9 A. m) p6 g0 B6 u8 v- A
" H3 m) Z( i7 M8 f! g}
7 `# k1 M7 j9 k9 [6 a, q% e8 H
2 z0 W/ n" x: u3 f3 gif (j - l + 1 == k) return pivot;

2 F1 C' |, t/ N. R" y9 c2 f// 设置p i v o t

a[l] = a[j];

% X* q; L  a3 c$ O2 d2 ya[j] = pivot;

// 对一个段进行递归调用
  H& u* m5 M5 |# j. O
if (j - l + 1 &lt; k)

return select(a, j+1, r, k-j+l-1);

2 ^3 O% y! J2 {- Belse return select(a, l, j-1, k);

* `( L) O+ E& m; R}
' w4 |& ~  y" O; @# H! O% h
  j. n0 w. n: i4 @  q程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。
, D% m  t: t; s8 {3 r
; w7 K- }" t4 c- t1 r5 X例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。
% |  W# U2 f! Z7 J' i# j; S* X
" ^! |* `, e; ?6 J如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。

0 Z. Q% F% k& W- t定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：

2 ^5 w" ~! `  _; J- s" A6 S1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。

/ L7 l# Z! z' J- u! j2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。

证明这个定理的证明留作练习2 3。
1 \0 B- ]4 `: j* i. v! s$ H1 X( `% f
. j6 s; N( \' H& }根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：
& l5 {, \) ], D9 ^
在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。

! r% t: v5 G% I( I当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>