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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 5 z+ y! g& q* D V
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
4 c$ Y9 j( p) p2 B4 x# [6 o6 T 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
( ?2 J) X$ g8 u 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
& w6 d! T' O2 f& _ 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 0 E- k6 v' O* |, G/ C
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
4 ]1 C$ _( o% z1 p, [7 p' |, f(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：- E2 D: S( Z, p9 c. c
---------------------------------------------------------------------------------------------------; w) w3 N2 {" z2 {! z
function val = ballvol(n, m)
! h5 E5 q* m+ q% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n
9 e7 y# U2 j) ]$ ]%
. B+ W/ U+ B6 |& ^( ?* x* D2 d0 r& R7 C% Computes the volume of the n-dimensional unit ball
# S+ u3 T& | D$ ? v+ u% N% using monte-carlo method.
- W- g6 v- W: h2 H% usage: val = BallVol(n, m)8 M) B9 S/ p$ A) V2 c
% where: n = dimension n5 Q% W. x+ D' E2 |- M
% m = number of realisations
8 Y" z& a6 m2 I( V$ E7 J" F7 G% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.
1 p8 k' `! P9 H" u
- B- S A$ y7 }+ u* W5 m: Q8 {% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de
9 c" ^6 e: C( x& x; I9 i& a! B: ?6 c0 D; C* y/ M; ~6 I
M = 1e4;# m& E2 K" v. X- ^
error = 0;6 u8 [+ |/ {/ f' X- x5 u
if(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end0 |2 Y5 T+ X, L4 N- {0 g
if nargin == 2, M = m; end # j, G9 z! A4 t2 i) @" r
; K$ Q7 F9 Z0 v% v% tR = rand(n, M);
( l+ G/ v" \6 B9 `in = 0;; k" O/ f$ {9 D6 q1 G
for i=1:M* i% K7 M u" h0 A
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end
* i/ L# ?% C* ]6 {; }$ q$ fend
. ^' n* _: v" S2 G, G B
( w6 x: N# o: Q7 oval = 2^n*in/M;
8 f7 u. l0 j2 y( F9 j( u X1 w9 \0 i--------------------------------------------------------------------------------------------------
9 J6 v3 c6 V9 f( i | 
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发表于 2005-3-31 22:22
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