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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 6 ~, Y+ \/ L! P) ]( X6 ] e
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
9 y, d3 H9 v. _ @& D) d1 X& s% \ 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
- N* x0 {( h5 s1 a 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 0 M- B5 j3 V' m
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 4 u& |% e+ g1 s& N6 k y
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
: d Q1 ^, X) @: t3 E(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：
8 x% L+ B2 }9 a8 v* q---------------------------------------------------------------------------------------------------3 O3 d/ c1 D# w$ x$ O. r& W
function val = ballvol(n, m): c S( E) w0 D: C2 B. F# D) n
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n/ n; a( b5 G) b4 V# g, g) A: I! g
%
) ?& d$ ?9 e- }5 Z7 n% Computes the volume of the n-dimensional unit ball * f7 R% E$ s$ T; S } H+ a" b7 ?
% using monte-carlo method.
! N$ d: i: r/ \5 g% usage: val = BallVol(n, m)
! q0 e& f. S. B0 G% where: n = dimension A, h0 @6 Y. Y x( t! H4 U0 [, }
% m = number of realisations
' C9 I! s, I+ V" E. Z% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.5 Y# u) ^1 \" J S" u
# X. r1 v# ]3 o; P* t% f% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de* Z# H( _% a$ q. [
' E; f: d; L# G& ] U6 Z0 @7 E8 d
M = 1e4;! ]( {6 t8 K# e2 {# [
error = 0;
& l: A$ q8 Q0 mif(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end/ V4 h0 n0 F3 F8 B* J8 i2 V
if nargin == 2, M = m; end 9 r5 E5 `# {* f: q, z. W
6 S# Y) Y/ k% F lR = rand(n, M);. a* w( P2 W; A) e% V
in = 0;$ Q9 ]; Q1 y! G- l. U
for i=1:M9 |4 o( `) V0 J1 k& d0 T
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end
6 \+ H' E2 L( Mend* q, k1 U! N+ y0 M( G v
! m9 k$ |" Y' T( P, P- y; }& O
val = 2^n*in/M;
& ]# g, [1 S) }. W9 f--------------------------------------------------------------------------------------------------+ k9 w" g" _- x' F3 Y: Y. S. A
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发表于 2005-3-31 22:22
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