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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 8 u* Y+ \9 P: y
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
. F4 W* c8 I( m2 Y, `0 Y( @9 x 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。 ! J& C/ M8 F" [+ y% L
可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
2 E/ n5 z) f' P$ C0 c T 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 5 X! Y- }5 g$ f* k0 ]* A
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法” + A" ?; t$ A( {" D4 U _* V W" y
(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：
1 V4 c' `9 V! T7 z( d$ E+ Q---------------------------------------------------------------------------------------------------' U, A) b) e# \/ L- Z, o
function val = ballvol(n, m)! t; x1 N- `+ }0 m2 t
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n
$ X I$ p7 x) \ x%
: C" h5 C3 B5 E9 b) {/ H% Computes the volume of the n-dimensional unit ball 0 T7 R. J0 e3 g S
% using monte-carlo method.- F# \( c/ N: F" \# K) ^5 _4 P
% usage: val = BallVol(n, m)3 Q5 c" w1 t% O* C) R
% where: n = dimension 1 g+ q. D) W8 n
% m = number of realisations
1 N5 {- {# [8 [# _# Q4 N% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.
5 T4 ^7 r, `2 w- h7 s9 l) [4 @, ~! R7 D, Q4 o
% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de8 Z+ q: v: f' e9 y3 a( J
4 Y4 O2 X7 y' D
M = 1e4;1 w" X& R% e9 B0 t5 _+ t+ A! M# Q
error = 0;
! B& q& K9 _; p( }if(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end
! X0 e+ m* j/ Q9 p3 E0 bif nargin == 2, M = m; end
_$ F- C$ I5 p& g0 e% ^' y' P, S( d* X
R = rand(n, M);: d6 f; c/ y- ~, t4 `
in = 0;
# B/ M/ a0 D' V5 r0 k$ s# Zfor i=1:M. V. s5 e+ W, V2 ]$ [7 O
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end. ?2 |7 O% n$ ~6 r U) J) C/ ^
end0 T- G, o y+ [1 d
7 e |( l! s3 \) H8 Ival = 2^n*in/M;4 Q4 V4 q" b. l3 n, k( C
--------------------------------------------------------------------------------------------------
& `( g2 \ ^2 { q. ? | 
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发表于 2005-3-31 22:22
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