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如题,遗传模拟退火算法简介- 模拟退火算法简介0 A) y5 q3 B3 C! d7 o
! C# p& A6 f: O' H\" P1 f
1 G0 s4 {/ C, j2 X) P0 a- 模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
! F3 [3 G3 H( S( C4 ~ - 3.5.1 模拟退火算法的模型 ) A+ X: Z5 c- P6 _
- 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 \" R* k) A\" C* @3 m$ V/ y/ J
- 模拟退火的基本思想: 6 E0 V5 A9 L( J8 J8 Q5 D4 j
- (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
3 P( u3 S- t z( q - (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:
5 _; V8 z; z7 r' J' y1 x2 T) ? - (3) 产生新解S′
- S* D2 F6 n, `& _ - (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数
8 h# n' t1 r+ N. n: d- h - (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
. H& x; Q$ J% p u$ e7 j! A* | - (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。 + G\" Q1 M( b+ Z4 k! _$ L- V
- 终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 % M; j, L3 v8 E3 \, ]$ ~' U7 ^
- (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。 ! U# i' e$ V5 t9 ~
- 算法对应动态演示图:
; G6 D. P2 q- N: V* p8 { - 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤: ( ~) |3 }$ v$ ~4 h$ k2 U\" [; R
- 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
/ }6 P) O& G' S% E1 c& a - 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。 ! G\" d. X1 p2 d! u8 _. A
- 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
5 I; G' d1 H6 p) M - 第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
( \/ @\" m1 L- s$ B - 模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。 . `' a* w, n- S5 ~! T
- 8 }9 B; q' V4 Q8 V- X* S& U0 |
- 3.5.2 模拟退火算法的简单应用
0 u& K' C6 f\" P: E* O - 作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。 2 b& Z0 J5 U7 {$ \5 U3 N
- 求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:
% o- E, o( O& b+ o. ] - 解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)
$ N% N1 }# B1 K' F% v; L) Y - 目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: ; l0 j, t& V' A
- * u. i6 R9 C! r- t' h G8 l
- 我们要求此代价函数的最小值。 * i* `0 g k& T: V |6 i7 u/ I3 c
- 新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将
# L& T$ Q. A3 V: D4 ], D2 l2 T# ? - (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
, F& H& z2 Q3 P$ K+ m - 变为: 9 o; b1 @\" P0 P
- (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn). 3 `9 a# M0 l1 [2 ?0 R6 @8 D\" o
- 如果是k>m,则将
g# c( e9 v1 h9 M - (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
2 }& j1 w( @$ n+ ] - 变为: 8 D\" v2 D( w {3 d3 |) p
- (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk). 9 t) U) z- r+ i
- 上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
! l) ]% }, i8 |. |% S - 也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 9 [& _* i' G* n3 X# O) g0 | S# s) y
- 代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: 7 }. c3 g; D6 j8 U+ F
5 H7 V# i* G7 i- 根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:
0 `+ z6 w/ A5 k8 A% @+ b) j - Procedure TSPSA: # ]! C2 Z) e5 C) ^% D
- begin - ^/ j, x! y; z3 ~/ a
- init-of-T; { T为初始温度} ! K6 _0 j0 a) O( _: h
- S={1,……,n}; {S为初始值} , {& O8 q2 G( `1 R# e& f# c
- termination=false; 5 j9 W& f4 }9 w( K1 G+ W( E# O
- while termination=false ( k1 h; s) o! \0 O* i
- begin 5 z2 d% e; N7 y/ M4 c0 ?: K
- for i=1 to L do
) @$ O\" G) X K) A+ b# n - begin
* _3 J5 |7 V2 u% W8 A* y1 J( A\" Q - generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
/ A& a J f+ v5 R* t0 Y - Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} 7 k\" S, E+ Y; w) E6 W+ V
- IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
' \0 P) d1 i0 X& [& v3 e% q8 s - S=S′; ) {( K! X9 q5 o5 w0 H$ c J; _
- IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
- O7 ~4 B4 F0 H$ R/ f - termination=true; - K& z( n8 Y# m9 R
- End; \" J2 c+ Z4 b- s3 t. h+ o
- T_lower; 9 v( X' d& g V2 P
- End;
; l9 p' Y! }; }( ?1 Z. A U - End % ~1 a\" z9 H* S6 e, z! u
- 模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 3 i% N\" M0 {/ x
- 6 X\" D6 G4 \3 s4 y3 \% c) o
- 3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
; Q5 o4 T1 f# T z - 模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
) S% K, _6 c* {: x2 o - (1) 温度T的初始值设置问题。
2 g1 J( c\" U/ E5 J' h4 |, X1 j - 温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。 # s# C! |3 E C3 ?! ?\" s
- (2) 退火速度问题。
+ [$ C. F2 w! \ O - 模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 ; O' ~- l8 R$ g2 Q2 u
- (3) 温度管理问题。
4 p& y* W5 F2 A% K( v - 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式: 0 {% Z6 d% e' I1 X( l
- 6 P0 L, G/ @. v% r8 D) H
- T(t+1)=k×T(t)
& r5 S5 f1 b2 D - 式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数
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zan
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