数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

; W1 ?* L3 @" I# d# p# q

裸狗问题：

$ B1 \" O+ A+ H2 w1 W

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

+ z1 b H' k& Y/ l' f$ Y7 A9 N

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

j8 H, c A Y( M! p1 Z+ P

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

4 L# X ]2 Z- b# h t0 Z

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

- }) p8 P" P4 R' p3 G& Z; u

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

& L2 t, F/ u. c5 P2 l9 {- Q3 a

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

- I+ A2 E0 ^6 G. v6 J

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

8 P( o) R% i: _% }0 C; s$ G: P

考虑下面这个无穷级数：

/ b4 ^# K' ?( L: u

　　1-1+1-1+1-1+……

0 E5 L8 g- O$ \2 s! L. X/ }

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

) l4 ]* r: K/ G: f. t6 u

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

2 A/ q. c$ \6 I

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

y! d7 B7 v. q' s% x

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

3 J: ]8 C4 T2 p& @8 ?

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

7 s# j3 ~ J$ x- p& }) d: @

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

6 w! q/ o- k7 T

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

: L$ l3 m2 R0 r3 M

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

- v {+ L( q, _9 w! N9 B - ~3 _, C3 t8 n

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟