中学数学建模的教学构想与实践

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中学数学建模的教学构想与实践

四川省邻水二中数学建模教学与应用课题组 冯永明、张启凡、刘凤文

    为适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。现将我们在教学中的构想和实践作一个简介，并求教于广大同行。

1、中学数学建模教学的基本理念

1.1 使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

1.2 学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。

1.3 以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

1.4 以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。

2、贯彻应用意识的课堂数学环节

    数学素质教育的主战场是课堂，如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣，以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高建模能力呢？根据我们的实践，采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标，以“问题情景----建立模型----解释、应用与拓展”的基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、交流和运用中，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化运用意识。这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体----抽象----具体”的认识规律。

    其五个基本环节是：

2.1 创设问题情景，激发求知欲

    根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。

2.2 抽象概括，建立模型，导入学习课题

    通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，概括为我们需要学习的课题，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。

2.3 研究模型，形成数学知识

    对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。

2.4 解决实际应用问题，享受成功喜悦

    用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。

2.5 归纳总结，深化目标

    根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模型的方法，深化教学目标。此外，通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题，引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识与参与意识，发挥数学的社会化功能。

3、中学数学建模教学的教学方式

    根据我们的实践，数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。

3.1 从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变

    对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。

    例1：如图，三个相同的正方形，求证：∠1＋∠2＋∠3＝90°。

　此问题多次出现在课本上（高中《代数》上册P.203的复习参考题9，下册P.206的例4，初中《几何》第二册P.67的复习参考题21），其重要性可见一斑。以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：在距电视塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和为90°，那么电视塔高为多少？只要有课本题的基础，就一定得出电视塔高为100米，否则三个仰角之和要么大于90°，要么小于90°。

    只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。在这一过程中，既培养了学生应用意识和应用能力的目的，又活跃了课堂教学活动，容易引发学生的学习兴趣。

3.2 从生活中的数学问题出发，强化应用意识

    日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识、建立初等数学模型，加以解决。

    例2：某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处（如图），其中：AP＝100米，BP＝150米，∠APB＝60°，请问怎样运土才能最省工？

    分析：“省工”的数学语言是：到P的距离最近，∴半圆中的点可分为3类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP，BP到P等距。其中第三类点集是（1）、（2）类点集的交集（分界线）。设M为分界线上的任一点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，∴|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50（定值），∴M在以A，B为焦点的双曲线右支上，易得。以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，得边界线为双曲线上弧：。故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

    只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，会增强数学应用的信心，获得必要的应用技能。

3.3 以社会热点问题出发，介绍建模方法

    国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。

    例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，间24小时内能否完成防洪堤坝工程？说明理由。

    “可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如果几个小时后才算出来，那就没用了！算错了，其后果将是灾难性的。当你断定：没问题！大家该会多么兴奋，多么感激。”几句话，让学生顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方法，无疑会收到事半功倍的效果。

    解答一个应用问题重点过好三关：

    （1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。

    （2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系。

    （3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。

    解：（1）读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）：各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量20×24（车·小时）。

    （2）建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题。设从第一辆车投入工作算起，各车的工作时间为小时，依题意，这些数组成一个公差为（小时）的等差数列，且。（1）

    （3）求解。把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。本题有两种方案：

    方案1：由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知，每辆车、每小时的工作效率为，若在24小时内能完成全工程，则（2），即

，从而，由于，可见 的工作时间满足要求（1），即工程可以在24小时内完成。

方案2：当时，应有，即，将

代入得：25×20≥480，可见25辆车陆续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量。

    （4）评价。对结果进行验证或评估，对错误加以调节（此为解题者的自我调节），最后将结果应用于现实，作出解释或预测．本例上述两种解决方案的最后一句话即为评价过程。

    本例是我们在1999年学习数列、不等式后，结合正在我县修建的广渝高速公路的瓶颈工程----华蓥山隧道工程（为全国最长的公路隧道）为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的，不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。

3.4 通过实践活动或游戏中的数学，从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力

    利用课外活动时间开展实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分。

    例4：尽可能选择较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑物的高。（本文方法从略）

    这是一道开放型的建模题，初看难度不大，但难于下手，经分析、讨论，中学生会想出许多方法，教师应注意总结，与学生一起评价各个模型是否切实可行，从而提高建模兴趣与能力。

    喜爱游戏是青少年的天性，数学游戏有丰富的素材，如幻方、九连环、称球、抢38、速算骰子等，还可结合教材内容适时提出游戏规则，让学生在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想，从中引导学生探寻数学模型，对数学学习的潜在影响很大。

3.5 从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力

    现代科学技术的发展，使数学敞开了一个又一个沉睡于定性分析的科学大门，促进了各学科的数学化趋势。中学数学教学中，应注重适时选取其它学科的应用题，通过构建模型，利用数学工具，解决其它学科的难题。

　

    例5：重量为G牛顿的重物挂在杠杆上距支点O为米处。杠杆质量分布均匀，单位长度上的重量为q牛顿，问：杠杆应当多长，才能使加在另一端用来平衡且与杠杆垂直的力F为最小（如图）。

    分析：杠杆在三个力作用下平衡，即重物G 的力矩、外力F的力矩、杠杆自重的力矩。设杆长为L，则杆的重量G'＝qL，其重心在处，力矩平衡方程为：

，即（定值），当且仅当即时，F为最小。

    由此例知，很多物理题目看上去很难做，但变成数学问题后就显得简洁了。其实何止是物理，中学阶段的化学、生物等都离不开数学。

3.6 探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素质

    针对3＋X高考新模式，进行“综合科目”考试，数学建模教学无疑将起重要作用。综合能力测试题知识交叉、渗透较广，但命题时往往以某一学科为背景、交叉渗透其它学科的知识，具有多样性、复杂性、综合性。利用建模的思想方法，在解题过程中，根据客观条件的发展和变化，往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法和新途径，有利于创新思维的培养。

    例6：如图，一辆小车在轨道AB上行驶速度＝50km/h，在轨道以外的平地上行驶的速度＝40km/h，在离轨道垂直距离为PM＝30km处有一仓库P，有一辆小车从距离M点100km的A处行驶到仓库P至少要用多少时间？

分析：逆向思维。将运动方向倒过来，则问题变成小车从P点怎样行驶到A点用时最省。联系物理中的光学模型，光总是选择用时最短的路径传播。所以本题可转化为光的全反射的临界状态，作该图的光传播图，由光的折射定律得：，这样问题迎刃而解。在Rt△PMO中，PM＝30km，∴＝40km，PO＝50km，OA＝100－40＝60km。因此，花费时间h。由此，将一个比较复杂的数学行程问题转化为物理中的光学模型，使问题迎刃而解。

    例7：用质量为的铁锤沿水平方向将质量为、长为的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的倍（＞1）。

    （1）若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中所受到的平均阻力。

    （2）若第一次敲击使钉进入木板深度为，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，必须满足的条件。

    分析：将物理语言翻译成数学语言，列出六个方程：

；；；

；；。

解方程组：，，

。用等比数列求和建立一个指数方程：，

，解这个指数方程，

。找出一层制约关系，讨论出要将钉全部敲入木板，钉第一次被敲入木板深度必须满足的条件。∵对数的真数必须大于0，∴（8）式中应满足，∴。

    从上看出，此题的难度不在于物理知识，而是在数学应用上要“过五关，斩六将”。

    以上仅是我们几年来开展中学数学建模教学的一些做法，远未达到完善的程度，希广大同行不吝赐教。

中学数学建模的教学构想与实践

四川省邻水二中数学建模教学与应用课题组 冯永明、张启凡、刘凤文

    为适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。现将我们在教学中的构想和实践作一个简介，并求教于广大同行。

1、中学数学建模教学的基本理念

1.1 使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

1.2 学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。

1.3 以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

1.4 以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。

2、贯彻应用意识的课堂数学环节

    数学素质教育的主战场是课堂，如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣，以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高建模能力呢？根据我们的实践，采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标，以“问题情景----建立模型----解释、应用与拓展”的基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、交流和运用中，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化运用意识。这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体----抽象----具体”的认识规律。

    其五个基本环节是：

2.1 创设问题情景，激发求知欲

    根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。

2.2 抽象概括，建立模型，导入学习课题

    通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，概括为我们需要学习的课题，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。

2.3 研究模型，形成数学知识

    对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。

2.4 解决实际应用问题，享受成功喜悦

    用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。

2.5 归纳总结，深化目标

    根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模型的方法，深化教学目标。此外，通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题，引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识与参与意识，发挥数学的社会化功能。

3、中学数学建模教学的教学方式

    根据我们的实践，数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。

3.1 从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变

    对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。

    例1：如图，三个相同的正方形，求证：∠1＋∠2＋∠3＝90°。

　此问题多次出现在课本上（高中《代数》上册P.203的复习参考题9，下册P.206的例4，初中《几何》第二册P.67的复习参考题21），其重要性可见一斑。以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：在距电视塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和为90°，那么电视塔高为多少？只要有课本题的基础，就一定得出电视塔高为100米，否则三个仰角之和要么大于90°，要么小于90°。

    只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。在这一过程中，既培养了学生应用意识和应用能力的目的，又活跃了课堂教学活动，容易引发学生的学习兴趣。

3.2 从生活中的数学问题出发，强化应用意识

    日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识、建立初等数学模型，加以解决。

    例2：某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处（如图），其中：AP＝100米，BP＝150米，∠APB＝60°，请问怎样运土才能最省工？

    分析：“省工”的数学语言是：到P的距离最近，∴半圆中的点可分为3类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP，BP到P等距。其中第三类点集是（1）、（2）类点集的交集（分界线）。设M为分界线上的任一点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，∴|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50（定值），∴M在以A，B为焦点的双曲线右支上，易得。以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，得边界线为双曲线上弧：。故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

    只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，会增强数学应用的信心，获得必要的应用技能。

3.3 以社会热点问题出发，介绍建模方法

    国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。

    例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，间24小时内能否完成防洪堤坝工程？说明理由。

    “可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如果几个小时后才算出来，那就没用了！算错了，其后果将是灾难性的。当你断定：没问题！大家该会多么兴奋，多么感激。”几句话，让学生顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方法，无疑会收到事半功倍的效果。

    解答一个应用问题重点过好三关：

    （1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。

    （2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系。

    （3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。

    解：（1）读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）：各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量20×24（车·小时）。

    （2）建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题。设从第一辆车投入工作算起，各车的工作时间为小时，依题意，这些数组成一个公差为（小时）的等差数列，且。（1）

    （3）求解。把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。本题有两种方案：

    方案1：由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知，每辆车、每小时的工作效率为，若在24小时内能完成全工程，则（2），即

，从而，由于，可见 的工作时间满足要求（1），即工程可以在24小时内完成。

方案2：当时，应有，即，将

代入得：25×20≥480，可见25辆车陆续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量。

    （4）评价。对结果进行验证或评估，对错误加以调节（此为解题者的自我调节），最后将结果应用于现实，作出解释或预测．本例上述两种解决方案的最后一句话即为评价过程。

    本例是我们在1999年学习数列、不等式后，结合正在我县修建的广渝高速公路的瓶颈工程----华蓥山隧道工程（为全国最长的公路隧道）为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的，不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。

3.4 通过实践活动或游戏中的数学，从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力

    利用课外活动时间开展实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分。

    例4：尽可能选择较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑物的高。（本文方法从略）

    这是一道开放型的建模题，初看难度不大，但难于下手，经分析、讨论，中学生会想出许多方法，教师应注意总结，与学生一起评价各个模型是否切实可行，从而提高建模兴趣与能力。

    喜爱游戏是青少年的天性，数学游戏有丰富的素材，如幻方、九连环、称球、抢38、速算骰子等，还可结合教材内容适时提出游戏规则，让学生在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想，从中引导学生探寻数学模型，对数学学习的潜在影响很大。

3.5 从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力

    现代科学技术的发展，使数学敞开了一个又一个沉睡于定性分析的科学大门，促进了各学科的数学化趋势。中学数学教学中，应注重适时选取其它学科的应用题，通过构建模型，利用数学工具，解决其它学科的难题。

　

    例5：重量为G牛顿的重物挂在杠杆上距支点O为米处。杠杆质量分布均匀，单位长度上的重量为q牛顿，问：杠杆应当多长，才能使加在另一端用来平衡且与杠杆垂直的力F为最小（如图）。

    分析：杠杆在三个力作用下平衡，即重物G 的力矩、外力F的力矩、杠杆自重的力矩。设杆长为L，则杆的重量G'＝qL，其重心在处，力矩平衡方程为：

，即（定值），当且仅当即时，F为最小。

    由此例知，很多物理题目看上去很难做，但变成数学问题后就显得简洁了。其实何止是物理，中学阶段的化学、生物等都离不开数学。

3.6 探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素质

    针对3＋X高考新模式，进行“综合科目”考试，数学建模教学无疑将起重要作用。综合能力测试题知识交叉、渗透较广，但命题时往往以某一学科为背景、交叉渗透其它学科的知识，具有多样性、复杂性、综合性。利用建模的思想方法，在解题过程中，根据客观条件的发展和变化，往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法和新途径，有利于创新思维的培养。

    例6：如图，一辆小车在轨道AB上行驶速度＝50km/h，在轨道以外的平地上行驶的速度＝40km/h，在离轨道垂直距离为PM＝30km处有一仓库P，有一辆小车从距离M点100km的A处行驶到仓库P至少要用多少时间？

分析：逆向思维。将运动方向倒过来，则问题变成小车从P点怎样行驶到A点用时最省。联系物理中的光学模型，光总是选择用时最短的路径传播。所以本题可转化为光的全反射的临界状态，作该图的光传播图，由光的折射定律得：，这样问题迎刃而解。在Rt△PMO中，PM＝30km，∴＝40km，PO＝50km，OA＝100－40＝60km。因此，花费时间h。由此，将一个比较复杂的数学行程问题转化为物理中的光学模型，使问题迎刃而解。

    例7：用质量为的铁锤沿水平方向将质量为、长为的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的倍（＞1）。

    （1）若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中所受到的平均阻力。

    （2）若第一次敲击使钉进入木板深度为，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，必须满足的条件。

    分析：将物理语言翻译成数学语言，列出六个方程：

；；；

；；。

解方程组：，，

。用等比数列求和建立一个指数方程：，

，解这个指数方程，

。找出一层制约关系，讨论出要将钉全部敲入木板，钉第一次被敲入木板深度必须满足的条件。∵对数的真数必须大于0，∴（8）式中应满足，∴。

    从上看出，此题的难度不在于物理知识，而是在数学应用上要“过五关，斩六将”。

    以上仅是我们几年来开展中学数学建模教学的一些做法，远未达到完善的程度，希广大同行不吝赐教。

四川省邻水二中数学建模教学与应用课题组 冯永明、张启凡、刘凤文

    为适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。现将我们在教学中的构想和实践作一个简介，并求教于广大同行。

1、中学数学建模教学的基本理念

1.1 使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

1.2 学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。

1.3 以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

1.4 以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。

2、贯彻应用意识的课堂数学环节

    数学素质教育的主战场是课堂，如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣，以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高建模能力呢？根据我们的实践，采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标，以“问题情景----建立模型----解释、应用与拓展”的基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、交流和运用中，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化运用意识。这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体----抽象----具体”的认识规律。

    其五个基本环节是：

2.1 创设问题情景，激发求知欲

    根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。

2.2 抽象概括，建立模型，导入学习课题

    通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，概括为我们需要学习的课题，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。

2.3 研究模型，形成数学知识

    对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。

2.4 解决实际应用问题，享受成功喜悦

    用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。

2.5 归纳总结，深化目标

    根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模型的方法，深化教学目标。此外，通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题，引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识与参与意识，发挥数学的社会化功能。

3、中学数学建模教学的教学方式

    根据我们的实践，数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。

3.1 从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变

    对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。

    例1：如图，三个相同的正方形，求证：∠1＋∠2＋∠3＝90°。

　此问题多次出现在课本上（高中《代数》上册P.203的复习参考题9，下册P.206的例4，初中《几何》第二册P.67的复习参考题21），其重要性可见一斑。以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：在距电视塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和为90°，那么电视塔高为多少？只要有课本题的基础，就一定得出电视塔高为100米，否则三个仰角之和要么大于90°，要么小于90°。

    只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。在这一过程中，既培养了学生应用意识和应用能力的目的，又活跃了课堂教学活动，容易引发学生的学习兴趣。

3.2 从生活中的数学问题出发，强化应用意识

    日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识、建立初等数学模型，加以解决。

    例2：某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处（如图），其中：AP＝100米，BP＝150米，∠APB＝60°，请问怎样运土才能最省工？

    分析：“省工”的数学语言是：到P的距离最近，∴半圆中的点可分为3类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP，BP到P等距。其中第三类点集是（1）、（2）类点集的交集（分界线）。设M为分界线上的任一点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，∴|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50（定值），∴M在以A，B为焦点的双曲线右支上，易得。以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，得边界线为双曲线上弧：。故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

    只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，会增强数学应用的信心，获得必要的应用技能。

3.3 以社会热点问题出发，介绍建模方法

    国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。

    例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，间24小时内能否完成防洪堤坝工程？说明理由。

    “可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如果几个小时后才算出来，那就没用了！算错了，其后果将是灾难性的。当你断定：没问题！大家该会多么兴奋，多么感激。”几句话，让学生顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方法，无疑会收到事半功倍的效果。

    解答一个应用问题重点过好三关：

    （1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。

    （2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系。

    （3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。

    解：（1）读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）：各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量20×24（车·小时）。

    （2）建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题。设从第一辆车投入工作算起，各车的工作时间为小时，依题意，这些数组成一个公差为（小时）的等差数列，且。（1）

    （3）求解。把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。本题有两种方案：

    方案1：由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知，每辆车、每小时的工作效率为，若在24小时内能完成全工程，则（2），即

，从而，由于，可见 的工作时间满足要求（1），即工程可以在24小时内完成。

方案2：当时，应有，即，将

代入得：25×20≥480，可见25辆车陆续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量。

    （4）评价。对结果进行验证或评估，对错误加以调节（此为解题者的自我调节），最后将结果应用于现实，作出解释或预测．本例上述两种解决方案的最后一句话即为评价过程。

    本例是我们在1999年学习数列、不等式后，结合正在我县修建的广渝高速公路的瓶颈工程----华蓥山隧道工程（为全国最长的公路隧道）为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的，不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。

3.4 通过实践活动或游戏中的数学，从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力

    利用课外活动时间开展实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分。

    例4：尽可能选择较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑物的高。（本文方法从略）

    这是一道开放型的建模题，初看难度不大，但难于下手，经分析、讨论，中学生会想出许多方法，教师应注意总结，与学生一起评价各个模型是否切实可行，从而提高建模兴趣与能力。

    喜爱游戏是青少年的天性，数学游戏有丰富的素材，如幻方、九连环、称球、抢38、速算骰子等，还可结合教材内容适时提出游戏规则，让学生在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想，从中引导学生探寻数学模型，对数学学习的潜在影响很大。

3.5 从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力

    现代科学技术的发展，使数学敞开了一个又一个沉睡于定性分析的科学大门，促进了各学科的数学化趋势。中学数学教学中，应注重适时选取其它学科的应用题，通过构建模型，利用数学工具，解决其它学科的难题。

　

    例5：重量为G牛顿的重物挂在杠杆上距支点O为米处。杠杆质量分布均匀，单位长度上的重量为q牛顿，问：杠杆应当多长，才能使加在另一端用来平衡且与杠杆垂直的力F为最小（如图）。

    分析：杠杆在三个力作用下平衡，即重物G 的力矩、外力F的力矩、杠杆自重的力矩。设杆长为L，则杆的重量G'＝qL，其重心在处，力矩平衡方程为：

，即（定值），当且仅当即时，F为最小。

    由此例知，很多物理题目看上去很难做，但变成数学问题后就显得简洁了。其实何止是物理，中学阶段的化学、生物等都离不开数学。

3.6 探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素质

    针对3＋X高考新模式，进行“综合科目”考试，数学建模教学无疑将起重要作用。综合能力测试题知识交叉、渗透较广，但命题时往往以某一学科为背景、交叉渗透其它学科的知识，具有多样性、复杂性、综合性。利用建模的思想方法，在解题过程中，根据客观条件的发展和变化，往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法和新途径，有利于创新思维的培养。

    例6：如图，一辆小车在轨道AB上行驶速度＝50km/h，在轨道以外的平地上行驶的速度＝40km/h，在离轨道垂直距离为PM＝30km处有一仓库P，有一辆小车从距离M点100km的A处行驶到仓库P至少要用多少时间？

分析：逆向思维。将运动方向倒过来，则问题变成小车从P点怎样行驶到A点用时最省。联系物理中的光学模型，光总是选择用时最短的路径传播。所以本题可转化为光的全反射的临界状态，作该图的光传播图，由光的折射定律得：，这样问题迎刃而解。在Rt△PMO中，PM＝30km，∴＝40km，PO＝50km，OA＝100－40＝60km。因此，花费时间h。由此，将一个比较复杂的数学行程问题转化为物理中的光学模型，使问题迎刃而解。

    例7：用质量为的铁锤沿水平方向将质量为、长为的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的倍（＞1）。

    （1）若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中所受到的平均阻力。

    （2）若第一次敲击使钉进入木板深度为，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，必须满足的条件。

    分析：将物理语言翻译成数学语言，列出六个方程：

；；；

；；。

解方程组：，，

。用等比数列求和建立一个指数方程：，

，解这个指数方程，

。找出一层制约关系，讨论出要将钉全部敲入木板，钉第一次被敲入木板深度必须满足的条件。∵对数的真数必须大于0，∴（8）式中应满足，∴。

    从上看出，此题的难度不在于物理知识，而是在数学应用上要“过五关，斩六将”。

    以上仅是我们几年来开展中学数学建模教学的一些做法，远未达到完善的程度，希广大同行不吝赐教。

    为适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。现将我们在教学中的构想和实践作一个简介，并求教于广大同行。

1、中学数学建模教学的基本理念

1.1 使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

1.2 学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。

1.3 以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

1.4 以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。

2、贯彻应用意识的课堂数学环节

    数学素质教育的主战场是课堂，如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣，以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高建模能力呢？根据我们的实践，采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标，以“问题情景----建立模型----解释、应用与拓展”的基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、交流和运用中，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化运用意识。这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体----抽象----具体”的认识规律。

    其五个基本环节是：

2.1 创设问题情景，激发求知欲

    根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。

2.2 抽象概括，建立模型，导入学习课题

    通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，概括为我们需要学习的课题，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。

2.3 研究模型，形成数学知识

    对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。

2.4 解决实际应用问题，享受成功喜悦

    用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。

2.5 归纳总结，深化目标

    根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模型的方法，深化教学目标。此外，通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题，引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识与参与意识，发挥数学的社会化功能。

3、中学数学建模教学的教学方式

    根据我们的实践，数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。

3.1 从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变

    对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。

    例1：如图，三个相同的正方形，求证：∠1＋∠2＋∠3＝90°。

　此问题多次出现在课本上（高中《代数》上册P.203的复习参考题9，下册P.206的例4，初中《几何》第二册P.67的复习参考题21），其重要性可见一斑。以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：在距电视塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和为90°，那么电视塔高为多少？只要有课本题的基础，就一定得出电视塔高为100米，否则三个仰角之和要么大于90°，要么小于90°。

    只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。在这一过程中，既培养了学生应用意识和应用能力的目的，又活跃了课堂教学活动，容易引发学生的学习兴趣。

3.2 从生活中的数学问题出发，强化应用意识

    日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识、建立初等数学模型，加以解决。

    例2：某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处（如图），其中：AP＝100米，BP＝150米，∠APB＝60°，请问怎样运土才能最省工？

    分析：“省工”的数学语言是：到P的距离最近，∴半圆中的点可分为3类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP，BP到P等距。其中第三类点集是（1）、（2）类点集的交集（分界线）。设M为分界线上的任一点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，∴|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50（定值），∴M在以A，B为焦点的双曲线右支上，易得。以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，得边界线为双曲线上弧：。故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

    只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，会增强数学应用的信心，获得必要的应用技能。

3.3 以社会热点问题出发，介绍建模方法

    国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。

    例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，间24小时内能否完成防洪堤坝工程？说明理由。

    “可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如果几个小时后才算出来，那就没用了！算错了，其后果将是灾难性的。当你断定：没问题！大家该会多么兴奋，多么感激。”几句话，让学生顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方法，无疑会收到事半功倍的效果。

    解答一个应用问题重点过好三关：

    （1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。

    （2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系。

    （3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。

    解：（1）读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）：各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量20×24（车·小时）。

    （2）建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题。设从第一辆车投入工作算起，各车的工作时间为小时，依题意，这些数组成一个公差为（小时）的等差数列，且。（1）

    （3）求解。把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。本题有两种方案：

    方案1：由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知，每辆车、每小时的工作效率为，若在24小时内能完成全工程，则（2），即

，从而，由于，可见 的工作时间满足要求（1），即工程可以在24小时内完成。

方案2：当时，应有，即，将

代入得：25×20≥480，可见25辆车陆续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量。

    （4）评价。对结果进行验证或评估，对错误加以调节（此为解题者的自我调节），最后将结果应用于现实，作出解释或预测．本例上述两种解决方案的最后一句话即为评价过程。

    本例是我们在1999年学习数列、不等式后，结合正在我县修建的广渝高速公路的瓶颈工程----华蓥山隧道工程（为全国最长的公路隧道）为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的，不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。

3.4 通过实践活动或游戏中的数学，从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力

    利用课外活动时间开展实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分。

    例4：尽可能选择较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑物的高。（本文方法从略）

    这是一道开放型的建模题，初看难度不大，但难于下手，经分析、讨论，中学生会想出许多方法，教师应注意总结，与学生一起评价各个模型是否切实可行，从而提高建模兴趣与能力。

    喜爱游戏是青少年的天性，数学游戏有丰富的素材，如幻方、九连环、称球、抢38、速算骰子等，还可结合教材内容适时提出游戏规则，让学生在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想，从中引导学生探寻数学模型，对数学学习的潜在影响很大。

3.5 从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力

    现代科学技术的发展，使数学敞开了一个又一个沉睡于定性分析的科学大门，促进了各学科的数学化趋势。中学数学教学中，应注重适时选取其它学科的应用题，通过构建模型，利用数学工具，解决其它学科的难题。

　

    例5：重量为G牛顿的重物挂在杠杆上距支点O为米处。杠杆质量分布均匀，单位长度上的重量为q牛顿，问：杠杆应当多长，才能使加在另一端用来平衡且与杠杆垂直的力F为最小（如图）。

    分析：杠杆在三个力作用下平衡，即重物G 的力矩、外力F的力矩、杠杆自重的力矩。设杆长为L，则杆的重量G'＝qL，其重心在处，力矩平衡方程为：

，即（定值），当且仅当即时，F为最小。

    由此例知，很多物理题目看上去很难做，但变成数学问题后就显得简洁了。其实何止是物理，中学阶段的化学、生物等都离不开数学。

3.6 探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素质

    针对3＋X高考新模式，进行“综合科目”考试，数学建模教学无疑将起重要作用。综合能力测试题知识交叉、渗透较广，但命题时往往以某一学科为背景、交叉渗透其它学科的知识，具有多样性、复杂性、综合性。利用建模的思想方法，在解题过程中，根据客观条件的发展和变化，往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法和新途径，有利于创新思维的培养。

    例6：如图，一辆小车在轨道AB上行驶速度＝50km/h，在轨道以外的平地上行驶的速度＝40km/h，在离轨道垂直距离为PM＝30km处有一仓库P，有一辆小车从距离M点100km的A处行驶到仓库P至少要用多少时间？

分析：逆向思维。将运动方向倒过来，则问题变成小车从P点怎样行驶到A点用时最省。联系物理中的光学模型，光总是选择用时最短的路径传播。所以本题可转化为光的全反射的临界状态，作该图的光传播图，由光的折射定律得：，这样问题迎刃而解。在Rt△PMO中，PM＝30km，∴＝40km，PO＝50km，OA＝100－40＝60km。因此，花费时间h。由此，将一个比较复杂的数学行程问题转化为物理中的光学模型，使问题迎刃而解。

    例7：用质量为的铁锤沿水平方向将质量为、长为的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的倍（＞1）。

    （1）若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中所受到的平均阻力。

    （2）若第一次敲击使钉进入木板深度为，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，必须满足的条件。

    分析：将物理语言翻译成数学语言，列出六个方程：

；；；

；；。

解方程组：，，

。用等比数列求和建立一个指数方程：，

，解这个指数方程，

。找出一层制约关系，讨论出要将钉全部敲入木板，钉第一次被敲入木板深度必须满足的条件。∵对数的真数必须大于0，∴（8）式中应满足，∴。

    从上看出，此题的难度不在于物理知识，而是在数学应用上要“过五关，斩六将”。

    以上仅是我们几年来开展中学数学建模教学的一些做法，远未达到完善的程度，希广大同行不吝赐教。

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