如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。2 j# C8 ?3 p' M4 h `7 `) E Q
则∠BAM=∠MBN= ∠A。 9 M: x. G4 g! a+ F
- A5 Q; T F2 }7 |2 g7 ]! k7 k（图1）
" U2 N% ]% P) [+ V2 ?
证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC ! W. m( E4 x, W% m∵AC=AM7 B; b8 B1 R) \
∴AK= AM ! ]6 d9 ~$ p0 g3 L; X& L∵∠AKM=90° " O: S8 s0 r, n+ L( |∴∠AMK=30°= ∠A' g" d! P5 Q2 N( o
∵KM//AB h: H4 J0 I: D1 g5 W( m
∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A* J& }7 P6 |0 W ^! ^! \4 T
（2）在△BAM中 . `/ `0 T6 H; J% \$ f+ N1 m∠ABM=∠AMB= =75°$ ]5 K3 M6 C; N% x1 J
在△MBN中 m" ~; X8 J& q, k3 \1 ~0 M∠NMB=∠AMB=75°/ A3 Y& S7 F3 I2 L' F+ X
∠ABN= =45°# Z% Q j8 ] V
∠ANB=180°—30°—45°=105° ]# ? y( B5 r: U$ L& G7 S
∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75° ; T$ a d; D d4 H9 E∵∠NMB=∠MNB=75°0 X: u. X$ L: z7 U E2 x
∠ABM=∠AMB=75° : V* U7 N* Z# ]3 c∴△MBN是等腰△ " L0 i. T9 k5 F/ Y7 d∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A6 x3 h0 L- m" P) z; p& S
∴∠BAM=∠MBN= ∠A : W) F: _3 P! s( h通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。; |9 E' L) g2 e8 a) f+ }- `; O
直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？3 B7 ]/ @3 b I
. u( s+ Y* n4 F( e9 x! \6 T $ A! i1 h5 F; `, B
: P6 ^% y0 w5 Z) t6 d& ?: |
未完待续...... 7 ^, ` k% v. l9 s J- @- E7 E; f' _- f* u! X
/ u' R6 `- l# u" h! {- M 在处理尺规作图的内容中有：% b6 }+ o+ I2 a. I N2 T
三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。/ ^, B2 ]2 i4 k. B) R3 t
二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。1 S, u+ y4 o6 V6 X9 I
4 t( b" ]" [, s2 q 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。 % M, H( C3 Z7 E1 T7 V( l; P2 E7 v 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。 ( ?+ u. Y5 L# ]/ o' \ 8 s4 Q# \& d) T3 G. d
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发表于 2009-5-13 11:42
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