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楼主: helloyupp

[请教]一道数学分析习题

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Galois.L

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发表于 2010-2-6 11:17 |只看该作者

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(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数

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sxhqjfl

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	无聊 2011-8-26 20:46

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发表于 2010-2-11 22:39 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

回复 1# helloyupp

题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x 和y=-x 。
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1. 但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
已经有例子,反比例函数。

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sxhqjfl

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	无聊 2011-8-26 20:46

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发表于 2010-2-12 10:06 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

6 F- B( B6 ^2 A" G, i6 e- [9 ]

( S7 _, m: i' P& L& V% P" J

; l/ M! @1 c; l+ f) ^0 _' M

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发表于 2010-8-31 19:04 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

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发表于 2010-12-14 19:28 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

第一题显然有无穷多个
第二题只有唯一一个f(x)=x
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
若f(x0)<x0,同理可得矛盾
因此对于任意的x都有f(x)=x
另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。