200911网友求助《带约束条件的多元函数求偏导》

数学者

已知多元函数F(x,y,z)=xyz，并且有x^2+y^2+z^2=1，求偏导dF/dx。

      注：由于约束条件的存在，x,y,z三者应该是相互制约的，但是它们三者的关系该如何确定呢？在下将y和z均看成是x的隐函数来进行求解，但是未遂 。在下也曾想过是否能用几何、代数、概率论或者运筹学等方法来加以解决，奈何学术浅薄，亦不能如愿。
      于是在下便来到这个数学的大平台向各位高手发出求助信号，万望各位大侠不吝指点，感激不尽！


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dreamofyou

x^2+y^2+z^2=1是球面方程，任选一个过球心的大圆平面为xoy平面，z轴过圆心垂直于xoy平面。把它写成参数形式x=cos(t)*cos（h）,y=sin(t)*cos（h）,z=sin(h)，其中h是原点到点（x，y，z）矢径与xoy平面的夹角，dF/dx=(df/dx)*(dx/dt)。

leo12ok

x^2+y^2+z^2=1是球面方程，任选一个过球心的大圆平面为xoy平面，z轴过圆心垂直于xoy平面。把它写成参数形式 ...
dreamofyou 发表于 2009-11-26 10:44

    楼上解得漂亮。通过坐标变换，就能去掉约束条件，或者认为将约束条件转化到函数中。

   但是有一点：就是参数t和参数h。这两个参数的意义应该分别是：向量（x,y,z）在xoy平面的投影与x轴的夹角、向量与z轴的夹角。
或者参考球面坐标系，该坐标系涉及到三个变量：半径（1），两个夹角

数学者

感谢楼上两位高手的鼎力相助，首先赞扬一下2楼的妙解和3楼的强调！但在下仍有一事不明：为何对x求偏导时，结果是dF/dx=(df/dx)*(dx/dt)？(df/dx)*(dx/dt)不是F对t求偏导的结果吗？
    在下认为dF/dx=(df/dx)*(dx/dt)这个结论好像不太正确，各位高手如何看呢？

leo12ok

那将这个公式变下形：dF/dt=(df/dx)*(dx/dt)==> df/dx = (df/dt)/(dx/dt )怎么样呢？

数学者

按楼上这样变形后可以求出来，应该就是这样子了，多谢指点！

数学者

如果把问题再扩展一下，变成如下形式：
Y=a1*P1+a2*P2+a3*P3+...+a12*P12; 其中a1+a2+a3+....+a12=1，求dY/da1。
又该如何下手呢？

leo12ok

回复 7# 数学者

引用二楼的思路：将约束条件转化到原函数中。

约束条件是a1+a2+...+a12 = 1，那么将除a1以外的其他任意变量ai用其他变量表示：

ai = 1-a1-a2-...-a[i-1]-a[i+1]-...-a12，带入到原函数中，直接a1求偏导，不知道可不可以。

数学者

回复 8# leo12ok


    这样的思路曾经尝试过，但处理后好像对不同ai=1-a1-...a[i-1]-a[i+1]-...a12,会有不同的结果~

数学者

Y=a1*P1+a2*P2+a3*P3+...+a12*P12; 其中a1+a2+a3+....+a12=1，求dY/da1。
以上这个问题在下已经解决，等有空就放上来让大家评判评判~