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【讨论】一个老师也说不清楚的实变函数问题

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    发表于 2009-11-30 10:44 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    本帖最后由 厚积薄发 于 2010-1-26 21:14 编辑
    % T3 f$ F, H9 ^& z  D( p% N  O
    " N' J* w- Y# C7 q在实变函数中,在讲勒贝哥积分时,L积分有一个性质是:设f(x)在E上L可积,则mE[|f|=无穷大]=0,即f(x)在E上a.e有界;
    0 j6 o" o% n7 F8 J
    - ?+ B  M, X1 @' B* w( T- J这里有个实例,自己觉得它和该性质矛盾,所以上课也问了老师,但老师也没咋说就过去了,所以只能放在网上,和大家讨论一下
    6 V( p5 U+ z& E+ m* L! f6 P
    5 Z, o+ y- w' ]5 w( r& p实例:设f(x)=x  x属于整个实数轴,对于该函数来说就要满足这个条件  mE[|f|=无穷大]=0,就没有什么依据了
    0 c! n( A! Z7 z& Y* E4 P所以我觉得该性质有问题,希望能解决的这个问题的老师或者同学给点建议。
    8 V+ t  A( m5 z* ?! p, P" q  G9 Q- x" o  q5 {, [, z0 e) v9 D
    (如果真的有问题,绝对禁止将该问题私自提升成自己的一个课题,希望大家理解)
    zan
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    那个是无穷区间积分,在L意义下不可积···在数学分析意义下 是反常积分~L积分首先是定义在有限集再推广的,我记得在一个反常积分在L意义下可积当且仅当该积分绝对收敛~
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    你给出的例子不满足定理条件。f在整个实数轴上不是l可积。呵呵,你看看l可积的定义就知道了。。。
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    是奥                 对于f=x在R上的积分显然是0,由奇函数的性质可知0& q0 e. I5 Y# e7 }# N  W
    但是它既然在通常意义下积分,那为什么在L积分的意义下没有意义. v& Y7 q# C, G1 f4 R5 P4 {
    这与L积分是R积分的推广有点矛盾啊
    3 m* ^9 F2 C1 n- O' z+ {: |希望能做出进一步解释!
    0 I% T2 T1 n! j& y7 h谢谢
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    大多数数学分析书上都有介绍。* ~! S: U; a0 o% ^8 Q  r
    我用的是高等教育出版社,陈纪修等人的那本,封面为蓝色。
    8 S* k* q; Q/ a' k在网上我不会输符号,你看附件吧。 反常积分.pdf (223.59 KB, 下载次数: 10)
    为你奋斗!为你奋斗!
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    反常积分与L积分的区别与联系要看实变函数。我写的是反常积分与R积分的区别。。。不好意思看错题了。
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    f(x)=x,x属于实数,显然不是r可积,狭义r可积前提是有限区间的有界函数;显然也不是广义r可积(即不是无穷积分或是瑕积分)。不是瑕积分就不用说了。无穷积分显然不满足定义,就是说从0到u的f(x)积分令u趋向正无穷大,显然不收敛。因此不是广义r可积。最后,显然不是L可积。可以使用上述必要性得到。或者有广义R可积与L可积的关系:L可积当且仅当广义R绝对可积。立刻可以得到。  o3 d% L  C& n' b7 Q
    实变函数是相当成熟的,相信不会有大问题。
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    本帖最后由 funintears 于 2009-12-2 21:25 编辑
    ' c4 ?# K1 T2 {; \, k" T& C" m- ~  v
    请仔细阅读上贴的内容,上贴已经证明:该函数在该定义域不是R可积,不是广义R可积,也不是L可积(在证明不是L可积的时候可能不是上面写的不很清楚,就是说已经证明了函数在该定义域中已经不是广义R可积(或者说收敛),自然不是广义R绝对可积(或者说绝对收敛),根据定理(f(x)在a' {3 f( b1 u- x
    到正无穷上L可积当且仅当f(x)在a到正无穷上广义R绝对可积),得到f(x)在该定义域上不是L可积)。
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