【讨论】一个老师也说不清楚的实变函数问题

厚积薄发

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在实变函数中，在讲勒贝哥积分时，L积分有一个性质是：设f（x）在E上L可积，则mE[|f|=无穷大]=0，即f（x）在E上a.e有界；
' p% g. e' E. b3 |; O( I
% Q" l# z/ S/ [9 R2 O1 b- U% j这里有个实例，自己觉得它和该性质矛盾，所以上课也问了老师，但老师也没咋说就过去了，所以只能放在网上，和大家讨论一下

实例：设f(x)=x  x属于整个实数轴，对于该函数来说就要满足这个条件  mE[|f|=无穷大]=0，就没有什么依据了
8 W; F1 f* }  g: O! \所以我觉得该性质有问题，希望能解决的这个问题的老师或者同学给点建议。

; ^  H( J9 K* P+ ^6 ^( A6 V（如果真的有问题，绝对禁止将该问题私自提升成自己的一个课题，希望大家理解）

zcilly

呵呵，以前学数分的时候搞清楚了的

聆潸

那个是无穷区间积分，在L意义下不可积···在数学分析意义下 是反常积分~L积分首先是定义在有限集再推广的，我记得在一个反常积分在L意义下可积当且仅当该积分绝对收敛~

为你奋斗

你给出的例子不满足定理条件。f在整个实数轴上不是l可积。呵呵，你看看l可积的定义就知道了。。。

厚积薄发

是奥                 对于f=x在R上的积分显然是0，由奇函数的性质可知0
* V; h1 s4 H6 h' W: `+ O2 W% F但是它既然在通常意义下积分，那为什么在L积分的意义下没有意义
" W- s. I1 r; U. K2 @这与L积分是R积分的推广有点矛盾啊
3 C. a* [6 k3 e8 ~2 {, R7 O希望能做出进一步解释！
谢谢

为你奋斗

表面上是可积。但是这个应该是反常积分，不叫R可积吧。

为你奋斗

大多数数学分析书上都有介绍。
我用的是高等教育出版社，陈纪修等人的那本，封面为蓝色。
在网上我不会输符号，你看附件吧。 反常积分.pdf (223.59 KB, 下载次数: 10)

2009-11-30 19:38 上传

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为你奋斗

反常积分与L积分的区别与联系要看实变函数。我写的是反常积分与R积分的区别。。。不好意思看错题了。

funintears

f(x)=x，x属于实数，显然不是r可积，狭义r可积前提是有限区间的有界函数；显然也不是广义r可积（即不是无穷积分或是瑕积分）。不是瑕积分就不用说了。无穷积分显然不满足定义，就是说从0到u的f(x)积分令u趋向正无穷大，显然不收敛。因此不是广义r可积。最后，显然不是L可积。可以使用上述必要性得到。或者有广义R可积与L可积的关系：L可积当且仅当广义R绝对可积。立刻可以得到。
实变函数是相当成熟的，相信不会有大问题。

funintears

7 _. s/ V: j2 G
' n+ u5 b7 ]! r请仔细阅读上贴的内容，上贴已经证明：该函数在该定义域不是R可积，不是广义R可积，也不是L可积（在证明不是L可积的时候可能不是上面写的不很清楚，就是说已经证明了函数在该定义域中已经不是广义R可积（或者说收敛），自然不是广义R绝对可积（或者说绝对收敛），根据定理（f(x)在a
到正无穷上L可积当且仅当f(x)在a到正无穷上广义R绝对可积），得到f(x)在该定义域上不是L可积）。