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竟然还有在数学中国网找不到解的微分方程

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renqing_zhao

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发表于 2010-1-23 09:08 |只看该作者 |倒序浏览

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这么大的网站没有人会做这个微分方程吗？还是没有爱心的高手肯付出一点时间？
有点想不通,竟然还有在数学中国网找不到解的微分方程。(方程：dx/dt=a-b*x^2/(k+x)关于t为自变量求x的解)
http://www.madio.net/mcm/viewthread.php?tid=93271&extra=

zan

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发表于 2010-1-23 09:21 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

回复 1# renqing_zhao

我再看看，呵呵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

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发表于 2010-1-23 09:30 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

回复 1# renqing_zhao

是这个式子吧

分离变量得：

再积分，就可以了，左边是个有理分式积分，对楼主来说应该很简单吧，就是有点复杂，呵呵

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starbinbin

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发表于 2010-1-23 10:11 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

楼主话说的很有意思，哈哈~~~~~~~~

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renqing_zhao

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发表于 2010-1-23 22:10 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

这种分离变量的我也做到这一步，就不知道如何准确地积分了。
但是有人提出另外一种做法更难理解，我很茫然。见下面：
这种题目做起来比较麻烦，我就只说下思路，具体计算就不赘述了~~
   dx/dt=a-b*x^2/(k+x)
即 dx * (x+k)/(ak+ax-b*x^2)=dt



对于形如 dy=dx * (Mx+N)/(x^2+Px+Q) 微分方程可以按如下思路求解：
      因为x^2+Px+Q=（x+P/2）^2+Q-P^2/4,则可令x+p/2=t,
                                          记x^2+Px+Q=t^2+a^2
      因为Mx+N=M(x+P/2)+N-MP/2，则可记Mx+N=Mt+b
   原式可化为dy=(Mt+b)/(t^2+a^2) * dt
               =Mt/(t^2+a^2) * dt + b/(t^2+a^2) * dt
               =M/2 * d(t^2)/(t^2+a^2) + b/(t^2+a^2) * dt
   积分可得 y+C=M/2 * ln(t^2+a^2) + b/a * arctan(t/a)  (C为常数)
   后面再用M，N，P，Q，x代换掉a,b,t,即可得出所求微分方程的解~~