数学悖论一览表

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发表于 2010-12-20 14:51 |只看该作者

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集合论悖论的解决V6.0
李均宇(李林星) 2008.1.19 email:myvbvc@tom.com QQ:165442523
虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的.
让我们首先讨论无限集合的势开始.
定义1:自然数集,整数集,有理数集的势叫X0.
定义2:实数集,直线中点集,平面中点集,立体空间中点集的势叫X1.
广义连续统假设:无限集合的势必是X0,X1,...Xn...之一.
其中的X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了.
李均宇定理:如果一个无限集合又包含自身的所有子集或幂集,则这个集合的势是limXn(n→∞),或者说,一个无限集合不可以再包含自身的所有子集或幂集.
证明:设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的势是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成X(n+1),这与原先假设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的势是limXn(n→∞).
推论一:所有集合的集合的势是limXn(n→∞).
证明:假设所有集合的集合为集合A,集合A的所有子集或幂集也是集合,所以也应包含在其中,所以集合A就是包含自身所有子集或幂集的集合,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
定理1:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系下都是良序集.
定理1是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明.
李均宇第二定理:任何序数的集合的幂集也是序数.
证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理1知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理1知此幂集也是良序集,所以此幂集也是一个序数.
推论二:所有序数的集合的势也是limXn(n→∞).
证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第二定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇定理知此集合的势是limXn(n→∞).
李均宇第三定理:任何一个不包含自身的集合的集合的任一子集或幂集也是不包含自身的集合.
证明:用反证法.假设任何一个不包含自身的集合的集合为集合A,假设集合A的任一子集B是包含自身的集合,则子集B中有元素B,元素B是包含自身的集合,而元素B又是集合A的元素,集合A的元素都是不包含自身的集合的,所以元素B是不包含自身的集合,矛盾.所子集素B是不包含自身的集合.幂集一样可用反证法证明.假设集合A的幂集是集合C,假设集合C是包含自身的集合,则集合C有一个元素C,元素C是包含自身的集合,但元素C又是集合A的子集,根据上面已用反证法证明的过程知集合A的子集也是不包含自身的集合,则元素C是不包含自身的集合,矛盾,所以幂集也是不包含自身的集合.
推论三:所有不包含自身的集合的集合的势也是limXn(n→∞).
证明:假设所有不包含自身的集合的集合是A,则由李均宇第三定理知集合A的所有子集或幂集也是不包含自身的集合.所以,集合A也应包括自身的所有子集或幂集,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
无意义公理:一个无限集的势是limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的.
基数悖论的问题在于"所有集合的集合",序数悖论的问题在于"所有序数的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明的推论一二三,这三个集合的势都是limXn(n→∞).则这三个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础.
作者认为公理集合论引进了类的概念,是把简单的问题复杂化,作者把集合论悖论的解决用最简单的语言讲明白出来,抛弃了公理集合论这个科学上的怪胎,意义是十分重大的,所以作者是伟大的.