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a^X+b^Y=1994^Z

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1^#

发表于 2009-6-28 21:32 |只看该作者 |倒序浏览

下面是网易博客圈里一道精华题，大家做做：
已知不等于一的自然数a,b满足:a^X=b^Y=1994^Z. 且实数X,Y,Z满足1/X+1/Y=1/Z.
求2a+b的所有可能值.
源自：http://q.163.com/mathsci/poster/3413390/

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2^#

发表于 2009-6-29 10:37 |只看该作者

没有多大的挑战性，只是一些小技巧，很容易做的。
解法一：对一式两边取对数，得
xlga=ylgb=zlg1994
即，1/x+1/y=(lga+lgb)/(zlg1994)=lg(ab)/(zlg1994)=1/z
故，ab=1994=2*977
2a+b=1001或1996
解法二：由一式，得
a=1994^(z/x);b=1994^(z/y)
所以，ab=1994^(z/x+z/y)=1994=2*997
故而，2a+b=1001或1996