谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
+ f$ \" X( S9 O! G0 L- k+ Yr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
1 J% ?0 l+ v) i; E' l/ n# \r(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
- D/ [* g9 o! T1 ~, ~0 q, h∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
' a( T6 ^! g' O; u- ]同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
  o4 T# b2 n* h6 l4 z=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以                                                            
) E8 q: ^! S+ u; M2 Qr(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
. G1 m& r9 X: z) W+ m5 g上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
1 }$ [3 |8 |$ n  \( g" Q0 dr(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
1 x* x  N# }' d6 ?. R& F1 G0 C至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
) [$ M% R& H, V1 c8 i* m; @