尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
  S" T9 L! q9 W6 e0 C, V6 u8 f    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
% P% j# ?( i# l. ~+ L* D' n- i           l_{2}=2r\pi .
4 z. {0 K. x, g5 F0 v    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
; r! B3 M% Q; E9 k3 ]# p( Z           l_{1}=(NAB\pi )/180
0 n; `1 K& L, E' C" x) o) T   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
/ D5 S# l  A. n) F- ]4 v& \          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
- H5 \! G' \* t- Z         r=BD,
0 w* k  c, ]' t5 B   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
; ^' b/ C+ g/ I3 c           ∠BAG=1/3 ∠BAC
3 l: d: t6 c  a' Q* u. J1 s' @证毕.
9 ]+ [" V4 O( }2 g% S# d1 l/ u    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
, H: [2 V7 q+ t解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
: ^1 I5 d* D7 z. F" [     所以圆半径
         r=AB/6,
; w, q( t2 h3 c    在AB的延长线上取点D,使
' A! B9 ~9 M, t$ y' r0 @        BD=AB/6
. L5 S7 F* ]& H    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
; A+ Y# e# I$ e. j$ k/ G. H作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
0 G7 h5 s3 H) K9 q               AE/AB=CD/BC
$ R, {8 q% F* {) `3 l3 h' t             x=(a/6a)a=(1/6)a
& [! {5 j8 G, ]# ~: g尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
0 G0 y+ u7 g# q9 B* G尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
, M7 d/ O/ p/ z另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
$ a% r3 J$ R9 m' p- ?$ t我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
8 i$ ?& s) F8 s  S* N3 F- s            关于怎样作出 BD=r   
/ I6 f' F$ T& l# u$ w        由一楼有
              r／AB=N／360
( o4 V6 M! ?) {3 G3 D        显然有
5 V& \2 J1 r9 d6 n' R% u" T              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
# ^5 j. X! v" C         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
5 c& C5 d2 ?0 T9 a        △ACE∽△ABD，
       所以
8 [7 E3 u$ b" h% A8 B/ A       EC／AC＝BD／AB，
     即
9 L3 U3 B; I, m0 f( y! P       BD＝(a／b)AB.
$ a) ?7 I- }3 o1 n0 X     令
) V8 C2 e' N: C& B) u       BD=r
     即为所取.