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签到天数: 849 天 [LV.10]以坛为家III
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尺规三等分任意角的证明(轨迹)4 p- R2 q+ @1 w& s& E
苏小光+ |" Y# O; q, P+ B* ~8 R
2011年2月22日) s2 h& ]9 R- S
我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
S" T9 L! q9 W6 e0 C, V6 u8 f 公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有' K! n& @0 ^( j9 ~
l_{1}=(NR\pi )/180 .7 z. d) P' ~4 Q" v/ a9 X# U# ^
公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
% P% j# ?( i# l. ~+ L* D' n- i l_{2}=2r\pi .
4 z. {0 K. x, g5 F0 v 定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得0 R8 n4 P6 C, h0 V u
∠BAG=1/3 ∠BAC. [7 v l. A6 {
证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则* }2 R3 t6 ^+ N* T, A* v
根据公式1 有
; r! B3 M% Q; E9 k3 ]# p( Z l_{1}=(NAB\pi )/180
0 n; `1 K& L, E' C" x) o) T 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有1 \% Y3 T% e. i H8 v7 r
2r\pi=(NAB\pi )/180, ~1 y0 N, m7 _2 D3 I
所以圆半径
/ D5 S# l A. n) F- ]4 v& \ r=NAB/360,& j: V- {7 L, f1 A& ~. T& M& C
在AB的延长线上取点D,使
- H5 \! G' \* t- Z r=BD,
0 w* k c, ]' t5 B 以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
; ^' b/ C+ g/ I3 c ∠BAG=1/3 ∠BAC
3 l: d: t6 c a' Q* u. J1 s' @证毕.
9 ]+ [" V4 O( }2 g% S# d1 l/ u 例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
, H: [2 V7 q+ t解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),0 E, K: X; L7 a: \) Z: o
根据公式1 有; D9 V: r6 n! R8 S) d
l_{1}=(60AB\pi )/180- c. P) q% t+ x7 T" z p: v% h
设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有, w6 ]) I) f: `
2r\pi=(60AB\pi )/180
: ^1 I5 d* D7 z. F" [ 所以圆半径- Z/ W9 r2 }. d2 t
r=AB/6,
; w, q( t2 h3 c 在AB的延长线上取点D,使
' A! B9 ~9 M, t$ y' r0 @ BD=AB/6
. L5 S7 F* ]& H 以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以6 j" }, S) S0 Y
∠BAG=20(度).: P! i! x) W2 Z k9 |
(附图) |
zan
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