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标题: 尺规三等分任意角的证明(轨迹) [打印本页]

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作者: 数学1+1    时间: 2011-2-23 00:58
标题: 尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
: h3 w1 \& {+ W  G6 j                             苏小光
) D2 V4 ~5 X3 [* L; K8 @3 m$ {/ r                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
% p+ E4 T& {$ S8 m; w           l_{1}=(NR\pi )/180 .
- e0 P5 T$ x) ^) ?8 E    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
# b! F6 T; F# v/ K$ ]( ]+ x    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
1 i2 h0 B! q$ z( C& R/ ]           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
- C9 i( U0 K6 M( j           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
7 x- H9 U- n& C" v8 g( B  D   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
  u) E% P/ I& c& W! ?7 _    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
8 Z# O7 ]; f' V0 u0 S- Z" G解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
* s- B0 v0 T; g根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
) h) p9 k. o3 |! u/ G$ a* r( U          2r\pi=(60AB\pi )/180
6 ]. v+ J& w0 E8 q& S     所以圆半径
         r=AB/6,
" W1 J- c( Z' I( p! O/ g' X    在AB的延长线上取点D,使
# h& [# U; j. {        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

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作者: 数学1+1    时间: 2011-2-23 01:50
尺规三等分任意角的证明

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2011-2-23 01:45 上传

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作者: 数学1+1    时间: 2011-2-23 09:39
已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
1 b) B. E* @5 Z3 c! ~. S             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
& D, X# O- l9 z  B4 |

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作者: gaoshanliu水    时间: 2011-2-23 15:35
强悍。。。。

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作者: 六棵槐树    时间: 2011-2-23 19:10
没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

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作者: inRm    时间: 2011-2-25 17:24
做梦都想一鸣惊人，可以理解

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作者: 羅雲琦    时间: 2011-10-2 15:15
楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

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作者: yinbaoli    时间: 2012-1-1 00:45
楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
# `# `3 j' H, C/ c" `# W尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
2 o) @1 G& G2 i7 S5 H1 w( A' }我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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作者: xxgzftj    时间: 2012-1-1 19:22

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作者: 数学1+1    时间: 2012-1-3 12:30
答8楼yinbaoli
: r/ q  u0 z) ?+ K, c            关于怎样作出 BD=r   
2 @7 |6 k: a- y9 ^        由一楼有
              r／AB=N／360
2 H& T5 B6 V& Y1 h( `        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
; n  d& |: P+ D; B* t) I        易证
( G5 ~# W2 x/ R; E& \1 n7 l        △ACE∽△ABD，
       所以
6 U2 I" D" w+ _+ J       EC／AC＝BD／AB，
  v, F/ I+ i. C0 `9 l4 j     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
" z9 r$ @& D9 s       BD=r
     即为所取.

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作者: 南国破晓    时间: 2012-1-10 22:08
lz想法是好的，可惜“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”这个本事圆规可没有啊

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作者: 数学1+1    时间: 2012-1-15 16:42

3 J5 a9 h- U3 n' Y: M
& W5 f, ^4 R) [1 h& Z11楼南国破晓:
       为了实现“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”体现圆规与直尺的本能,如下作图，便实现了这种旋转.   
! q$ Z8 n$ U# N9 o; ]       作⊙A，在⊙A上任取点B，点C，当∠BAC≤90°，作∠BAC的平分线AD交⊙A于点D，连接BD，DC。分别作∠BAD，∠DAC的平分线交⊙A于点E，点F，连接EF交AD于点H，以H为圆心，EH为半径作⊙H，交AD的延长线于点J，以点J为圆心，JD为半径作⊙J，⊙H与⊙J分别交于点K，点L，连接AK交⊙A于M，连接AL⊙A于点N，则
: R6 Q3 F0 ]& {( ]' m% W      ∠BAM＝∠MAN＝∠NAC。
2 J) n" N3 ]! X   
! X: h  x4 A0 T" O% d3 P     当∠BAC＞90°时，先三等分它的补角。

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作者: schnee    时间: 2012-1-29 10:26
必须顶啊！！！

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作者: 数学1+1    时间: 2014-6-23 21:50
规尺作图:圆周上点D的轨迹，作OP垂直BC且交BC于点O，BO=OC=OP,以OP为直径作圆，点D为圆上一动点，以BC为直径作半圆，显然，以OP为直径的圆周长等于以BC为直径的圆周长的一半，所以点D的轨迹能够尺规作图。读者可以参阅几何研究相关书籍，在<<初等几何研究>>上能够找到关于圆的轨迹作图研究。

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作者: 【徒步登月】    时间: 2015-9-29 11:39
运用

运用代数方法，进而解决【尺规作图】问题

' [3 k9 k* H' |+ H2 V) c
其最大地效益就是【隔靴挠痒】————【不着边际】！！！！！！！
: Z8 u, p( t0 `- j' S6 h4 y8 d1 G& d
其最佳地结果就是【胡闹胡扯】————【离题万里】！！！！！！！
% f3 k% K! }; ?. }$ @

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