数学建模社区-数学中国
标题:
尺规三等分任意角的证明(轨迹)
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作者:
数学1+1
时间:
2011-2-23 00:58
标题:
尺规三等分任意角的证明(轨迹)
尺规三等分任意角的证明(轨迹)
1 m! ^+ D3 Z4 P/ [/ |% ?
苏小光
$ C6 C5 f0 I, E0 R
2011年2月22日
& \' V! q0 u% L2 Z8 a+ \0 u3 L- u
我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
' p% L& `7 ^4 E0 S
公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
. T9 S a- H5 A
l_{1}=(NR\pi )/180 .
; q3 |% M3 I. _/ E+ p# i- M9 V1 D
公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
, D& j" Y# U. i$ j: v
l_{2}=2r\pi .
. k# g7 L: m2 g! D0 k
定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
# |6 l) a9 r8 e' A" C$ ]
∠BAG=1/3 ∠BAC
6 X5 C, A7 V' u+ s! f
证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
' V/ D O& q+ Y8 i1 @8 P5 I
根据公式1 有
1 z' _/ ?" Z3 `6 ]+ q! J: L- J
l_{1}=(NAB\pi )/180
G+ k* d6 o" M6 T
设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
# N! Y( ^+ X( L- v
2r\pi=(NAB\pi )/180
e" _: i1 ]7 e' }& o
所以圆半径
/ O& R) s' P* F5 I* r8 D3 j3 C
r=NAB/360,
9 F7 J. `6 e$ I
在AB的延长线上取点D,使
, S/ ]. x2 |3 S( x" g" {5 P# Z" y
r=BD,
# C2 K% E% } t4 x5 C3 L4 x0 Y# k
以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
; [4 P7 \, Z: {
∠BAG=1/3 ∠BAC
; c+ W7 Z3 w1 O# ?: A4 H
证毕.
2 R$ c: Z2 e- V# ?8 c ]7 f
例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
( g8 ?* @- m1 U& p
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
1 J! |0 M/ y4 x7 G. n
根据公式1 有
, U0 M0 l: J! [) R9 [
l_{1}=(60AB\pi )/180
6 Q) n. p) Z9 {
设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
3 g6 e# n6 _# Y5 m7 p
2r\pi=(60AB\pi )/180
3 z. S' V, Y3 c9 k% L% H5 g1 {; ^
所以圆半径
/ E9 U; G+ J; {/ J* ~5 Z
r=AB/6,
* N9 B0 z# m6 B
在AB的延长线上取点D,使
* j7 @' A( \/ G$ \4 s
BD=AB/6
# a9 B" n3 T# E
以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
' w& }3 `3 C. [0 g: o+ X5 y" n
∠BAG=20(度).
' Z P3 f" a( C2 _$ C1 E
(附图)
作者:
数学1+1
时间:
2011-2-23 01:50
尺规三等分任意角的证明
未命名123e.jpg
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2011-2-23 01:45 上传
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作者:
数学1+1
时间:
2011-2-23 09:39
已知
AB=a,
求作
x=(1/6)a.
! ^" X6 }. i! J8 N* T
作图: 作
AB=a
,在
AB
的延长线上作
BC=6a
,作
AC
的垂线
CD
=a
,连接
DB
,延长
DB
交
CA
的垂线于点
E,AE=x,
显然
1 h4 |0 ?4 S# f/ y/ [! ]% j
AE/AB=CD/BC
1 G" l) `7 R1 U' n
x=(a/6a)a=(1/6)a
! S {5 ^1 g3 i4 T( q F# ~; a
尺规三等分任意角.
6 k3 t* y% g$ M# G9 w. O
作者:
gaoshanliu水
时间:
2011-2-23 15:35
强悍。。。。
作者:
六棵槐树
时间:
2011-2-23 19:10
没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～
作者:
inRm
时间:
2011-2-25 17:24
做梦都想一鸣惊人，可以理解
作者:
羅雲琦
时间:
2011-10-2 15:15
楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题
作者:
yinbaoli
时间:
2012-1-1 00:45
楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
, r" h1 s( L+ v8 [+ v) i0 @
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
# @3 f1 H3 X* a* L+ L' F& V5 U
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
0 c* e- S; \" K9 K0 B5 b
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……
作者:
xxgzftj
时间:
2012-1-1 19:22
作者:
数学1+1
时间:
2012-1-3 12:30
答8楼yinbaoli
: D0 Q8 Q/ i3 I. _: a' M1 j
关于怎样作出 BD=r
b" B E0 z6 a& {$ w
由一楼有
7 W7 G* J8 m) v2 _4 ^
r／AB=N／360
6 X; d$ V# Q- ?6 z* B% k7 V9 f3 w, E
显然有
. ^! E+ K2 m6 E$ O( k
r／AB=a／b,
$ N# U4 V7 a ], V) j& B) L
a,b为正整数。
/ Q7 [! O& \, k$ {$ J% q3 A
在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
1 P- o8 Q) \) _9 _& H r3 Y0 J
易证
# W/ I$ T! |8 U& a- ?
△ACE∽△ABD，
; `9 @7 x- W8 B6 ]& o0 F, @; Z
所以
/ R+ J" \! i0 B e8 a, Z
EC／AC＝BD／AB，
# I* c/ y9 N9 m0 V6 c
即
# H- Y8 M* b# u6 o4 f3 ?
BD＝(a／b)AB.
! n5 U% h) q) w e( L( q
令
, b& I; D$ u% g7 ?6 l9 M
BD=r
$ z- ~- H) K% X% N
即为所取.
) F1 }( p8 B# |2 Q+ q1 H7 W' ]. ~
作者:
南国破晓
时间:
2012-1-10 22:08
lz想法是好的，可惜“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”这个本事圆规可没有啊
作者:
数学1+1
时间:
2012-1-15 16:42
本帖最后由 数学1+1 于 2012-1-18 10:31 编辑
2 o9 D$ E5 T# h* G8 y0 l7 ]& G
+ u/ ]7 U7 z, e) Q3 X
11楼南国破晓:
9 \9 ^. M. @7 X0 d
为了实现“圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,”体现圆规与直尺的本能,如下作图，便实现了这种旋转.
4 D5 R1 S! b+ Y; d, E5 d
作⊙A，在⊙A上任取点B，点C，当∠BAC≤90°，作∠BAC的平分线AD交⊙A于点D，连接BD，DC。分别作∠BAD，∠DAC的平分线交⊙A于点E，点F，连接EF交AD于点H，以H为圆心，EH为半径作⊙H，交AD的延长线于点J，以点J为圆心，JD为半径作⊙J，⊙H与⊙J分别交于点K，点L，连接AK交⊙A于M，连接AL⊙A于点N，则
9 Q( _7 P; G( m- z* I# r: R5 H
∠BAM＝∠MAN＝∠NAC。
\ l$ Y1 J4 U* F: S) J
, h ~4 D7 O- V- x0 s
当∠BAC＞90°时，先三等分它的补角。
作者:
schnee
时间:
2012-1-29 10:26
必须顶啊！！！
作者:
数学1+1
时间:
2014-6-23 21:50
规尺作图:圆周上点D的轨迹，作OP垂直BC且交BC于点O，BO=OC=OP,以OP为直径作圆，点D为圆上一动点，以BC为直径作半圆，显然，以OP为直径的圆周长等于以BC为直径的圆周长的一半，所以点D的轨迹能够尺规作图。读者可以参阅几何研究相关书籍，在<<初等几何研究>>上能够找到关于圆的轨迹作图研究。
作者:
【徒步登月】
时间:
2015-9-29 11:39
运用
运用代数方法，进而解决【尺规作图】问题
' Y- c( i& ?3 Q6 Q8 @: I
2 N% k# |1 x f
其最大地效益就是【隔靴挠痒】————【不着边际】！！！！！！！
/ ]' h. n& R0 Z+ G& F4 b5 o
* @4 m5 z: x% y6 S+ Y6 p& q1 ]
其最佳地结果就是【胡闹胡扯】————【离题万里】！！！！！！！
+ n) J1 b/ Z E, v
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