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- 从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。
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本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑 , u _! u/ U8 u
/ g8 B7 y# t) n9 C+ B) o: C8 t! }
王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:
) w( _; V8 w) Q% C0 w定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
( O3 U" O8 c4 d; H 证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.# S2 C& {1 z1 j6 a9 r8 f, ^
k
5 j: h; I0 x. e 把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。/ Y C7 G4 b0 ~, q% H* o8 {; P* k
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.# T/ |+ B1 c, l, z5 w# @
考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
: @% W2 G" |) P J' r* Q# y% |3 f (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0, 【我把这个算式记为(1)】( e+ A T4 p7 _0 C6 M; s% j' { [ ?
于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]9 j( a- I N$ l$ @( d5 w
5 z' ]5 Y! U- ?) u
其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是
3 n, `( v. O( [8 s* O
& R# e1 {* a$ j' `. f' p. {* A
+ S6 }, C& O3 w& ], I! W 我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是 @7 {1 k2 L- z- o4 h5 ~4 p! E- k
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。/ ^3 v) x1 v9 ?7 L$ r" ]
7 a" V; d" W! \! @6 r @5 W" L0 C! w 如果确定是k/6,那么(1)式为
& C; E. K( J# e: Y
# Y- P, U" N# Z; f' I% U1 e (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中; |# u' n% x5 W# Q" T: h
把k=7带入(36-5K)/6时,得8 ]+ ]+ G" X/ |/ G/ x, e" m
( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
5 \/ n% r4 f2 T: T
/ @1 k: |6 F% P1 b5 B. L# h+ R 那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
1 x6 v" O, s9 M. u% H4 G) \ (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 (1-1)* w9 J9 ]. u! D2 S6 v
或者
% s( u# \9 _2 s$ P/ V (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
t' j* L! s. s l" [因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。
5 [ x {( p2 v# Q, J) n" t E 如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:
4 r- y3 x0 X. s$ ^ 考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
$ ]7 g: E( h! ~/ H- @ (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2 或者 (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,6 ?' {4 @/ F/ ^# q0 Y
于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
* z! {9 v, i7 e4 A# I8 A0 F 比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
) b" G: _- W+ n( M。
& @, Q) Q- E1 m) i8 M' n$ M. H3 u, u 如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。
+ C- U. k8 Y% H" d8 M# w$ G 我的认识对不对,请王教授指导.
! C3 X1 j6 u6 W' }& e9 T 2014.04。09
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