请教王树禾教授

张彧典

+ W& L1 d9 j+ \, G) q) F& q* Z     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
& }  E4 f- u0 y  Z6 K定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
& T- c, n6 I: i# c5 w: g: d* D    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                                         k
: h" {; K" G/ u# g9 r. _, D    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
0 R4 [5 a4 B# _$ j( r: Z! D    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
' F+ D! e$ C  M& K                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
/ U/ g/ i. G2 e! l于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]

1 k6 `3 d( E+ O2 k4 z# Q    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是

                  
    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
) Q  U* c* s9 p& O, |9 `  K# y      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。

      如果确定是k/6,那么（1）式为
     
      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
  x" ~; f" l$ z) L1 _1 q    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

2 q, d, G/ B6 ?5 c. @    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
2 X$ k$ |4 ]6 T  L# y$ h或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
& z2 N# u9 F8 M$ {( t- Y' Z/ k% A    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
+ V% o, J6 |6 r    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
; L" @# j3 \! _" @        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
  w/ O( C, }/ I# ^1 S4 A于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
" K5 r2 P0 {- o  y   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
+ t, _3 w3 _1 _. q8 V。
+ M" j0 Y. n. s* K$ a" v: h7 v% ]    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
/ t) C. Z" Y* J) i    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09

9 Q. p* }  t6 x4 s5 K
) F7 V1 G8 S; y8 t

  H1 f4 g6 W" K- L, S

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张彧典

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张彧典

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