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请教王树禾教授

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张彧典        

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    从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。

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    发表于 2014-4-9 10:33 |只看该作者 |倒序浏览
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    本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
    & X, C! J/ s! Z& J; a; \1 o& O2 O" f% g7 M7 i* [
         王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:
    " N* G+ i; A5 x( ^9 P3 T定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    : _  H2 I, d, z% [    证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
    ! \" `0 x; r+ B  N$ }                                                                         k
    " H; q6 S; x' w1 Y& [    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。3 K* C8 \* ^4 ^9 I
        如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.
    0 N) S6 n9 ~- L- n    考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为& A" J  y. f* Q7 M  ~6 a8 h+ p
                      (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,     【我把这个算式记为(1)】6 ?3 m8 n5 X) s" E
    于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
    ! E, ~5 Q, ?. q' t& F) y9 _4 u  e; ?/ L8 L9 Z- j
        其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是0 R6 I5 ~# r/ I$ L0 {/ q
    % ^0 ~4 a' A, ^% d% c1 C# i
                      & e$ s$ j; R; x9 ]0 g- y8 X
        我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是# j- e7 o  V5 H# x4 P0 F" S
          (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。: b' y! I0 s# n, ]
    8 P& W! U4 {  }  F- O) x" ~( K
          如果确定是k/6,那么(1)式为
    + ~3 G* S5 @; H6 G; j" _' Z     5 L1 ?' _# J* F+ E
          (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
    5 b4 t1 n- D& d    把k=7带入(36-5K)/6时,得
    / p6 L% {/ i& _5 U, C    ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
    # w; v9 B2 V0 w' S
    1 F0 F% q7 H1 o/ }4 w) O    那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
    2 m) r$ A1 A! P* w  z     (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  (1-1)- r' I" u* {# C; ]3 {& [6 p% `' I
    或者
    7 R+ N4 t" `" Z9 N& l7 l! Y, N    (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
    - e& i* }' `5 ]/ g$ h因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。 ' v* `$ u3 f: p% |% v
        如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:. a# n; U- O) X
        考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
    0 @( d- u9 E& S) S
            (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
    - b5 O. k% f2 K5 J& h' i, {* w于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。& Z7 Z9 l/ f- q5 K4 m" P
       比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。* V6 G( h" P, f* q9 K
    9 q& X% p) U1 \/ \$ Q3 I
        如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。
    % q. k- A* B9 t. P5 `    我的认识对不对,请王教授指导.
    - R' l! e1 Z: y% T1 w                                                                     2014.04。09
    9 S% ~* ^6 J/ V2 P& g
    4 |% b; S5 U3 o% I8 @; I$ _. `, w8 {" I8 }" L, s1 m0 M

    . k2 T6 H7 B2 ^$ g6 G' [
      s$ H1 O; i& y7 c0 {

    # s1 T( f9 [$ j' B( d7 J6 k
    zan
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