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- 从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。
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本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑 7 m9 r2 r m6 g$ P& ^: ] g
% e& \+ S a6 \![]() 王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:! F; O) d7 [ q0 M" x/ P1 e
定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。' F$ K, d* O3 @1 c" F+ {
证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.: o7 I5 E, p _$ k
k . J0 s# E8 k3 d
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
/ V* E7 m- d9 S+ m& c3 O# H i 如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.' `) b# a' c; O' P/ p& \9 v3 N& ~
考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
+ a! e+ Y# {% P! o& M5 R (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0, 【我把这个算式记为(1)】" _$ N/ e: J, p- _
于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
6 o8 z: A. Q/ }% F+ f; [0 x1 C& ^+ d* y+ e( q+ S. R4 V/ \( V% K
其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是
8 r( f" y" @0 F
$ j$ n5 p! f2 e" s# E- F
# _' M0 h8 m3 Z$ a6 K1 {2 z4 Z 我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是
/ Q5 e+ a* V, L+ |4 G H (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。
6 f- Y2 J+ t$ h3 R' ^% I6 v$ H8 k5 ^# H$ ]3 D
如果确定是k/6,那么(1)式为
# k* r' [5 l9 p9 x6 Q" N2 S . Y) Y; ~% I5 O+ D+ f
(6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
_$ v3 p9 [4 _2 a. i, b* j$ Q8 { 把k=7带入(36-5K)/6时,得
8 [* P+ ~" ^2 R ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
; y6 A$ @( I7 k/ q5 C! @3 O6 W/ }$ b! o; P" w8 o2 \# |
那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
- n* K0 _. z2 L9 y (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 (1-1), T1 P0 J! M9 ?- \7 X" U; z
或者
D' c4 M! P7 ^; I( F6 C (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
9 G3 K! b/ K) F0 P0 w% v* n Y因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。
O2 Z" v* O$ K: y% F" I: m$ Q5 y 如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:
0 F5 k' u9 X+ F) F% @6 b1 ]" F 考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为1 B. u/ L5 O6 s4 e4 m( w; s% U
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2 或者 (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
1 E& F/ Q/ I$ H于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。$ ]+ q' ]/ l5 {& S7 D R7 P% d" Q
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。' I8 P- v0 c3 @9 z8 E" w6 v5 m
。) P) _9 X8 x4 X& D8 M7 j" @
如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。
" \0 n# R1 y' t 我的认识对不对,请王教授指导.9 Z" e7 Y- u- c2 O6 f6 t; d
2014.04。09
@8 y, P* E% H# e0 m6 y/ E- F9 b' @
. e8 o: p) d z5 ?5 t7 K
, G9 G; g. C: s+ f) m
' b: f; c$ U* P. \" F0 |+ ~
$ t$ v2 p' x8 }! D* y y) O* D
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zan
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