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- 从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。
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本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
8 J) u# g# x X$ g" z6 I
2 H* G; ^& k" o1 Q' ^ 王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:0 ^# a, W- h0 o( x6 x1 Q9 F& r/ v
定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。( U9 d, _6 ?! J/ H/ n
证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5. B9 w% _) ?/ l1 W( V4 `) s, u- ]0 R
k ' K1 j& l* e% Y1 q0 x/ L
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
4 }' p4 s1 y& B+ E- g8 |; W 如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.4 k9 @9 C# w: D" W( s7 }8 ^
考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为+ P* u, j+ |! K+ Y3 ?- H
(6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0, 【我把这个算式记为(1)】
4 r/ c4 S9 C) L5 D) ]( w. c3 y/ q于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]. G5 M; e8 w# x# J0 k
' A) z9 m I0 }/ y$ p 其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是
0 ]) G3 A f( E
/ h, P3 I0 N% R" T4 [ * D8 R, o6 }' @- h4 X& _
我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是% U" a4 Y$ `. x
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。) l6 p0 U0 |% F+ h4 e7 ]
6 Y7 S3 j7 \) H. Q$ V& M; v% u' Z
如果确定是k/6,那么(1)式为
0 |/ H }+ b& H+ }: `
' C! m$ b- Q$ [/ P) B2 h) v (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
# \/ x& V, h% p 把k=7带入(36-5K)/6时,得
) d$ B3 D0 M* m0 C& ` ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。. K H. f3 @3 t
5 r+ _$ w0 n, X' R! r! W* P( r
那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
9 n7 g; T: Y, x- i! |) W { (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 (1-1): ]4 y. Q7 }4 o- ~3 U/ ]4 U' {4 v
或者
1 V K- }' \5 u% V9 }9 H4 \ (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)/ V. q4 a5 l9 Y
因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。 - k6 M( ], u# z6 n h [2 U3 b
如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:
+ H1 s; f% _- U# v0 |: g8 A 考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为, x9 W. ?. s4 m% [: Z( `
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2 或者 (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
$ D( e! {' _& a6 Z" Z于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。2 i% X1 X! T3 `6 v4 k+ K
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。! o( E) e4 Z, b. \% q# O1 D$ p
。0 x f; N, A2 H' T
如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。% d0 { m5 s/ y3 g0 ~2 i
我的认识对不对,请王教授指导.
$ u& l2 S3 H2 x/ d, o {# p 2014.04。09
2 b% N+ r. h6 w8 v. e9 q) L* e( H1 b+ y8 ?2 L' X" p
# f0 x; ~# c8 r2 k
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zan
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