数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
, B+ o& Q8 I3 c& w- W' ^. s# O1 i几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
0 q: F' l# K% z. A( w7 `, B% O; t型、马氏链模型等。
* F, l8 y7 h. B6 `' s3 V# R7 U, N2. 按模型的特征分：
5 w0 r" H4 o) E' T; Z' k/ s5 a( F1 ^4 c静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
5 Q- M$ M3 x6 k: k5 n人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
" c2 M9 y6 h* Z/ k  c! [3 w7 g' \预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
4 v, c' o; _+ p: d一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
6 q1 q, s+ t% B9 W$ f% Q比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
$ j3 a/ ]/ Z+ n% i运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
# N1 B4 ~0 y/ r, a( f: Y7 b5 Q. C9 A0 u数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
- V4 `! V4 R; D该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
' g9 |8 a$ F4 C: ?4 s, U法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
" r, `: H0 P4 e& ^" N: [8 [7 N9 g4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
/ P* f4 H/ K+ J论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
+ o7 {3 H7 M% Z1 ?5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
% K( j% G. h1 \+ i& B  F; r/ G帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
( C$ i7 w4 q: W1 r# m- a当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
6 r. G3 x8 W- w1 g: K) X" \& |  x" p一些高级语言作为编程工具
, V4 c# M7 v: {  \1 W3 A8 、一些连续离散化方法
; k, u( x9 |' a5 _; b很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
4 R3 {0 ^$ j9 X3 I2 Y5 f如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
: Y$ y. q% O7 A- q的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
- E. K& i) X; k* D* ]6 ?行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
  b6 K+ B6 r' {- f1 i- @; x①数据样本点个数 6 个以上
: \# m* y' ~6 l" N, @1 t1 F& R②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
; [5 {3 U4 b2 F( E- x微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
% ?1 e' x. k. c! T7 z找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
* b0 u, |1 y8 G9 i# Q3 、回归分析预测 （ 一般） ）
; G; H( _8 Z1 l* S/ k求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
& U; \4 p& u/ y9 S/ ~化； 样本点的个数有要求：
; q4 W& A6 H$ j5 ?) g  I& l5 u8 a①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
2 i( P: V; F8 f* f' E' S( u一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
! z* h1 V# {: F7 s预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
% N; o/ a" W( t+ `) d* a预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
& Z/ e- Q( u$ f7 z' Z2 @大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
" x% _  `$ o. W4 E) n3 H拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ M" M! _3 ^- ]  Z. w: v; l" u在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
4 x: _# X; L% o" Q1 e13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 V1 b8 I9 y+ s: ^/ s0 i法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
" N0 {0 T" j5 A6 m# ]- ~3 ^! d似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
1 G. u4 F2 P/ @5 ?" U解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
2 q: r/ k( h/ q. m来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
1 i/ H9 B& r- v/ w8 t9 c! ]1 f. e3 j( p该方法做评价比一般的方法好。
* R/ Z  J& A7 m4 \8 O$ j16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
3 t, U/ `+ D. m. V, B量有无影响，差异量的多少
$ g7 j7 v6 j8 I4 W( e) Y& G协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
  ~- S: Q) _7 D* R4 D# x" V素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
  @9 s* C2 n5 \* m, s此外还有灵敏度分析，稳定性分析
% Y& ^5 O+ o  a; L$ c* M17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
: t. ^7 P: K$ ^) B) S模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
8 r% W1 V2 I) P0 v  o智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
# R& y, o2 ^+ l其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
, V/ r9 x7 W. {3 Q  E; E* }离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
6 w# V- n3 c# H20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
1 m  G6 J' X; V" N有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 r' F0 y) E, ?4 j# G4 R! Q0 Q1 q& Z计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
, z& q4 i  y  o9 Z9 ]* T般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( u7 L! D: M9 k6 R' @. ]6 O21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
* l5 _. ^7 @% t例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
) k7 h2 l- y: c! ?) L22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
5 s4 a( ~1 ]1 F/ S: i支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 \0 j4 b' o/ L  T% n射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
, V: r+ ^4 w9 Y- I/ d1、聚类分析、
2、因子分析
2 l/ [; S4 ]- e/ z  {, P3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
! ~. d4 l( z! ~% Q各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
: E- }1 d$ ^3 p2 }8、偏最小二乘回归分析（较好）
: w+ i7 m$ q, d; \& W8 T  [24 、分类与判别
; i# M% {3 a- W主要包括以下几种方法，
1 O, ^" Y$ [9 _; R0 t# e1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
" e9 ~/ B$ \$ x! I3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
$ [( d# B1 h" X' l' o1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
# W. n" E4 E- V6 }$ k/ i3、Person 相关（样本点的个数比较多）
3 `. A8 `8 v4 [) m4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
' p/ D& f/ R- s, A8 A& C' ^5 l一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
  p0 V8 }! B! c! `- c0 S若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
* X. ~& a  p1 p) O- l9、优势分析
4 G1 t: Q7 A  W26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
( ^. k! S. g, U量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
1 r1 Z8 j: a0 I- V6 T2 C* P4 w/ O率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


) m/ t% U5 W- V( {( M) `) q  t
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的