数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
4 `- e# x" R* w7 k" W5 M# W! A几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
, y, v# }! [8 n; U型、马氏链模型等。
: C% X: S' U  f; e# \2 |. C2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
4 x$ a6 o8 i$ P$ T/ x0 {; F# X3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
1 u8 F, u% N! v, `4. 按建模的目的分： ：
- O) ?6 b. G* ]* G$ p预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
+ h! y/ g* l$ ?7 E2 a) V& K5 C5. 按对模型结构的了解程度分： ：
0 j! L0 x5 \( J. e7 P4 E0 `% i有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
/ t; W& i. y# h8 T比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 u; L6 [. M$ I* S7 W* @2 J& H- S9 V数学建模十大算法
, N5 {2 e& z. {* |. _# A: _1 、蒙特卡罗算法
( G2 N$ Q+ n' Y+ |+ k* Q$ n该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
$ G& K' W( T" J; k9 d以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
8 @- W! D0 m" G1 j2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
4 K7 s- D  C& f9 [! _# P比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
, y" J  u6 k" o8 A' E3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
( ~% ^. ?4 A2 u2 N0 {* Y法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 C) ?, P7 s" d: E4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
1 W3 p0 k3 L6 `5 p! P( s3 u论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. g! F5 ?; x# Y/ G* M+ U+ F5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
& E1 [% U" `) c: R3 Y; d4 r% @这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
0 U6 o1 W6 `/ E4 z7 V# T  I: r这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
3 q/ }! V1 ~7 _7 n# O& V2 X7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
1 B0 {& u8 A: V4 O5 R  |一些高级语言作为编程工具
4 s) S$ e, q5 U% p# v8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
( n" R) r; p( z0 u! x- Y9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
( Q* o: }4 O' D) O如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
0 W1 p2 `6 G4 ^; a1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
! K3 W: F5 Y( c* {0 _/ `微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
/ b, P# ]* @5 O  s; H" l其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
- C* u, R4 I/ i/ E& [. T找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
, ?  }3 s6 p4 P' S+ y  X3 、回归分析预测 （ 一般） ）
" U' U7 c( k( }( x/ ~求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
( J- |+ e* c* H. b化； 样本点的个数有要求：
% h& t# M1 r$ ]. ^/ r①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
) ^1 P3 e! q3 P②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
! P5 U) g/ h/ U8 l互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
/ y; {) q' I6 V6 U# E概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
0 R& N2 r! @  o$ t! g1 X1 T5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
9 C5 C3 t' F% W( w  {预测波动数据的函数。
& m& N4 X* P0 c1 O7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
1 W/ S+ D) Q3 a+ y& j9 W8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
3 Z* b& Q4 f) x/ I/ }5 v: `) J9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
4 H) t: I6 @: @# c- I' R逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
( S) T% \- c( o4 K9 m- A4 h11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
& T! T* a# M5 @& B法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
3 T) b. U* c0 k- l# `9 p似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
. K* E# a9 X$ h% _! o+ T的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- X( q2 f6 j6 m) k5 S可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
" L+ L" x( K4 c% b2 q, H% ]/ v16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
# U8 u* o/ l7 G- C6 D# B3 b方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
2 I7 x' Z0 c, a量有无影响，差异量的多少
7 j+ X( D! }8 }协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
6 F& U. [% r( G5 h: S& {8 h模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( Q6 O; l- H& H, j4 b( W: s优解。
+ \+ q6 Y$ [( g18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
6 o' j5 p* l! L  t2 k+ |* g, r* p非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
2 C# J, J* m3 c5 Q& n智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
. j5 h3 {0 K2 w1 T7 G算法、神经网络、粒子群等
' u% ^1 p; w) ^其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
9 a, y( U/ L+ U8 F3 M20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
/ A9 w9 B3 w6 V有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
7 T# [3 f3 T' [9 B- Z  O; b* kMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
0 q9 b  k/ ?/ N* h' P& ^! [0 \3 A22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
0 ~* p# [3 M2 ^2、因子分析
% v+ v5 Q4 s. n& \/ s0 n1 _3 I3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
% `  @7 ?% J% ~/ \4 g# U各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
9 |+ I/ X8 [: ?9 D' j5 E5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
3 u( ?6 i2 W% t8、偏最小二乘回归分析（较好）
9 ~$ e2 L$ k& G7 N8 q( G24 、分类与判别
! P3 b+ m0 B9 z( b6 s; E) {主要包括以下几种方法，
  s+ w. ?8 }0 O& T9 o1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
1 U: i% @+ x5 h4 k9 T! m4、密度聚类
4 @6 b9 ?! _7 m5、其他聚类
9 h3 }( ]' k; ?- s' B2 o6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1 o, R9 |( G2 o# M- |" r1 ]8 W1、灰色关联分析方法
: \8 b! N7 }" U7 R' }( y( ~. J' z2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
( ~3 I2 \+ T+ l& U) w. L一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
) n! x- X$ Y+ s8 |0 f2 m+ d) t数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
4 y3 @. q; z' [; Q8、格兰杰因果检验
6 P9 K& y8 c# \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' H; T9 y. T+ d$ C% ?量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


: g+ S) c+ L4 ]# v4 B

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3 G* v" a# f3 O- C

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2 G, K" O; H0 D9 a. A! C

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的