数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
/ b" w, d' B& ~" ~2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
- D* z% q1 w/ c4 A2 Z. f3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
4 u. [3 _+ j4 y8 j一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
7 G7 J+ A) R; v% a往也和建模的目的对应
/ p0 n1 }) N. e4 ], {9 X: a& [1 h5. 按对模型结构的了解程度分： ：
7 b6 @1 j* x, g7 r+ h, V有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
1 r9 g' }- U, G& s数学建模十大算法
( D0 j. j( t( B* M% v1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
( |1 p& [- Y: O( E2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
& G$ E; r2 S! W2 n1 N通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
) P. m$ r. e8 J) e' W) N+ i6 G( ^法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
5 Y  u3 i* [" B9 i5 E* n5 e1 i4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
2 `+ [, G. N. x- I0 A1 B# z+ F论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 N+ b0 ~& G) ^这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
- F  {+ M6 K& l+ ?6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
+ E! E: Y% }1 w" `! [. p这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
- ?0 f8 b6 b- y6 E, {4 S帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
+ l2 d' G0 v8 ~. n1 t7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
& g4 l6 U( f; O8 t+ z7 K& o# P* P8 、一些连续离散化方法
0 {. ?( J' ~. o" I很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
- d0 _+ n0 c( x$ p如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
3 U9 ~, w( O! r; k赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
" K7 l, l0 |6 k8 }的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
2 C' P4 h4 n3 @5 u4 l1 d行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
( H8 x) d2 s" i8 U% }; ?$ e解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
; F! i2 k$ [' k/ A8 R2 J, E个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
% v( S8 S6 X& |/ V②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
; k7 d- E0 {3 a/ Y; r找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
: m' f6 P6 N" |  U0 ?①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
& P& w; w( l0 K( @% @' z4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
4 M; g( a- N3 e7 D2 z$ h- T/ t预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
, ^6 ?" Q. s% b1 b6、 、 小波分析预测（高大上）
$ x7 T9 G2 U7 n* Z数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
4 X8 z2 |, h9 V$ ~! w: S预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
1 Q6 ?7 E& p( b# b7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
  |- {* q, M9 q* \- `2 P8、 、 混沌序列预测（高大上）
/ k" i1 D2 {* S/ o  a3 ]1 K适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
- X" N) T: B4 N9 t3 V4 T. R9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
$ D8 G! _* h! ]: U( _5 T; }拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
  A9 a2 }% C0 z( G在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
" }# ?# f) m1 o  Q. i2 c* b逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
# x0 C' R1 z6 o7 N# T12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
; U5 q* n5 B) m优化问题，对各省发展状况进行评判
7 u1 m' m) D2 c! [" m13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 Y, ]# `7 |) v* o* A2 o秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
+ G$ S7 K* {; |9 c* F& ]似。
* E7 ^1 M5 t2 _+ \! H3 x8 I14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- o- C) E& F) M7 E/ o解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
' _0 {0 i- f* Q5 g2 \2 P15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
) \3 a2 t# b8 t" b; \) Z% C量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
% ~- I* |% b% I# o5 m素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
% x; _. q+ g2 B5 ^. b6 X& w此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
7 z# ~3 s- u8 q优解。
1 @8 h% }, _" I4 s3 Q: h18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
1 p& E1 R# [6 u/ p$ Y! z4 @  O智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
; J; R$ H" x" V6 k! H算法、神经网络、粒子群等
5 R. |5 T  D0 \( P* Y- c其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
8 V& `7 f/ R2 Q0 b3 c' ^19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
5 O. d! S9 R3 I; M9 D2 K20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
% e$ [3 O% T) j* T- h- Q排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
3 n% O  S  \  ^- a7 ?9 H即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
- ?+ P- ^" Z* }5 h有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
) Y8 `3 C1 F) K' `" R* S+ D& A计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
; _% s6 G+ p% a+ A# Y- D% Q2 W- l" ]般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
8 c5 ?7 o- i. X& j+ t, q支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
3 \. ~$ j5 L0 I( e2 P$ h6 Q$ H$ O. ?从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
( d, f) }- W  H/ d  T* r# ~6、对应分析
  G" h% ]5 ]$ g( E, B. m& A7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
2 m, k0 Z- @' _6 y4 w7 ^) w3、层次聚类
+ P- [2 s5 _0 v- G2 d. {4、密度聚类
( Z* O  |! F1 L/ c& w! D1 {, Y5 ]5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
8 O. p; W9 A' g- S: `: D6 q6 X7、费舍尔判别（较好）
, I7 Z) m2 l0 R3 w8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
) g* v1 y* @+ w8 h) v/ v" @( Y3、Person 相关（样本点的个数比较多）
. D. p$ `( C: G  h+ `: I4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
7 x$ {' b# s$ Y5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
1 e5 z* d+ Y6 A' i' P4 |6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
3 e+ w) K: \, w3 z: y5 k/ o7 K7、生存分析（事件史分析）（较好）
- m5 ^6 u# W  T" Z数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
" P2 n1 W' z9 L* k0 y8、格兰杰因果检验
, \6 I0 {+ c* I" H计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
3 f9 H6 a# J; F- J+ N3 V26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, j1 }6 \0 J1 p7 f: |" G5 x) Z量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

; `' f& T% X8 P, |- S* \' Y! `: W+ I
$ X% P1 V* N2 n
, M1 {- G8 K  x1 w% V8 C/ V

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% U" `8 V' s; F, J' H$ P

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7 U, j2 H1 M1 V& _, p+ I
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/ v1 E& C/ Z( D) h  q: g

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
# [6 e' @! n' ~  R4 R