[请教]一道数学分析习题

helloyupp

3 ^7 y3 N' z( x- a设f(x)在R上有定义，且
1 r& A  S. A1 }2 k" }2 B: D
8 R2 m& Z( [; n9 K% Y# ^
! }" M4 z- c' e$ m* @（1）这种函数有几个？
3 k6 K/ j, U+ Y（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
5 s, o6 ~- o& |* C
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
; b+ @9 H% m& G' P( D/ q1 i. ~则有f（f（x））=f（y）=x ………2

由1，2 两式有
* x0 E" H' t: N; H. p4 i& ^
f（x）=y……..3
f（y）=x………4
3 X/ X8 O/ c6 S$ U7 b: |' ?
! m' ?/ G! m$ z' M, [' g; D若x=y，则有f（x）=x

8 C! x4 \$ v9 m& Q, {  {若x不等于y，则
+ \8 I5 @# \+ `& t4 Q+ Q( K' P" o
由3，4两式得

/ s3 o) j- C8 B) s. p8 [2 o9 H【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
1 h4 z7 ?  G! O0 t也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


: m2 _! V: P% T6 U5 c. i# x  I    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
2 A0 X6 u0 Z( J4 i8 zx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
: F' a" x0 }8 D5 `- v[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
+ N* u3 H2 V' [& X也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
2 t; i+ z0 v0 k! H. m) h斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

( F% L" v" ~3 a) r! d! o$ n(1)有可数个.
& u2 h! z/ q4 a  z& _& X' t
$ b0 l$ u, _) |(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp

4 [+ m& `& u- e& b( F; L  ~
9 a- M" F. O; D3 V    先看看