[请教]一道数学分析习题

helloyupp

3 H2 V4 l' r* r# E8 z; a
设f(x)在R上有定义，且
7 N  q+ k% x' d# N
- h3 N* z; t* r+ x0 X  J
- h; B8 k( s( t7 M8 a" n5 ~（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
+ T+ v6 T9 k! j4 }
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2

由1，2 两式有
. g0 v: A$ C3 c8 a7 X* ~% m
7 t$ ]" h! A& k0 y7 ef（x）=y……..3
f（y）=x………4

; A4 u; H$ o5 h" f! x, C$ y若x=y，则有f（x）=x
5 s9 Y' Y6 }2 \) t0 w/ w
若x不等于y，则
8 u. w+ U( k" c) m' O8 m
由3，4两式得
  \1 t/ L- L& y1 U( @$ I
" i) X2 _" y! C/ d【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
+ R9 U0 U3 b0 Y! `' Z
! D' S7 A- S: i& B$ X斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
% r3 Q& U* n  Q" G" I
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
* t) R5 i4 ^) k9 d) ?5 {

) S+ U, d. J3 c0 W& F+ A    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
2 W3 S5 l7 l6 w& @3 y也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
: A" c3 ]8 a1 j. {# B, D斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
& U: }' f, w6 O# @/ d由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

  L1 Y3 {8 q9 U7 c(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

4 e  x! {4 g2 F- K. {& e3 B
" q$ C$ K& Z" a9 {6 Y, {    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


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