[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且


（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
3 T! z6 r, K9 K( G  w
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
# O4 y: C6 X- C: f7 |+ @
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
8 x  z) ~5 G* o# U/ ~" }# ^* e! X
由1，2 两式有

f（x）=y……..3
) U1 g" W1 o: N; i8 gf（y）=x………4
3 {* b( T+ N5 q
+ [( ]9 X# Q2 f5 l9 ~1 F% R9 q. D2 z若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则
' I  K7 G& ?, l# J  O) s7 K
6 Z8 f$ W& S* \+ F6 U由3，4两式得
. I+ G  V# }$ W3 X! |8 C$ f
0 J4 D) Z, U( s& Q+ E# t/ p( s【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
( p! E: U- T7 ?7 w( `& w( ~也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
4 E! w9 j5 |0 C. u0 Z# N
; i" w- v# y  M- e, E$ C7 C1 Y斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
  o7 A7 F# H, \! s6 w6 C
4 ^/ @: z7 J. ^( \5 ?' w+ b! `; r所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
* C2 I6 ]2 f& T% V

    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
0 r" c% V, i5 J+ S  J9 q: }[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
* U% e7 _* n5 }也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
  h) d4 @8 X" u2 E2 o0 s; W3 E5 v; }斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
+ \( ^0 U# z" l* ?/ c. q5 [$ T2 I由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
8 b1 j& d0 g, Y$ J5 h
" d6 l9 }* S0 z(1)有可数个.
: U* e2 r4 d) y7 e- G# b
) t' @2 f; y3 G: p(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

6 D# t+ n2 `2 h9 I: G/ ]
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


    先看看