[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且

$ X7 B3 Z4 Y( ~& u3 N
（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
( q! F' M  A- Y* z% c# r则有f（f（x））=f（y）=x ………2
, u9 N/ B3 k( K) ]+ z# ^
' n. O3 W5 b" K! a由1，2 两式有

f（x）=y……..3
: m, `3 s# j6 a) H3 Yf（y）=x………4

若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则
+ R) x) V( l. ]. {
9 t* ]5 b3 L! f4 D! y5 j4 m由3，4两式得
* y0 |4 j9 c3 ]
3 z( z4 k% s9 T( N( U. e  }【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
9 C: ]7 c. P, {9 F也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
/ N, o# u6 G7 B
1 t' Q4 [) h, j斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


7 o4 O$ }$ C7 l0 A% o' b    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
7 \5 z8 q- A; @7 }8 e0 i\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
* K4 m! q, {9 g% a[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
+ c9 t9 c* Z+ u$ }5 o也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
9 |6 w" q' K5 u" }& g( q斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
; {1 o% B: ?: w+ C0 s由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

* l+ p8 w$ ~# S' k4 r(1)有可数个.
( j$ ^0 `6 ~( l) L$ l
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


    先看看