谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

$ `* N+ ?& i5 ?) Y! A从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
% P0 U& ~% A' i5 Q! @' |; X了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
9 v2 A$ Y( B& Y; f8 t( q. j( e最好地说明这个问题：
# y! n' @3 Q+ P
How could someone as brilliant as von Neumann think
0 M$ O! x3 r; k" C$ E+ k8 xhard about a subject as mundane as triangular factoriz
' C' o% n. s/ l( X1 @* w: y& N) n-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
8 T0 C) P  L2 m) W  ~experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
+ H$ x' p0 E* d! gWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
  b( H! k% b( k/ s+ r7 P" x0 dLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
: _3 A5 f5 C: }4 x$ f+ Efor at least two years after the appearance of QR? Why
; m. V( x, O! v3 K8 _6 {: Adid more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
/ w. f& p9 m; B$ |8 r# ^  p+ G' ?comprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
$ [3 Q! j- O9 W了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
$ F9 L/ p* A- s8 r只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
( Z& {5 r# O+ l4 K6 B7 k# A& m前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
# U% Y) n1 k- R" E# v  T. S, a
侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
2 {) {: U" U! X5 W' P6 Whttp://www.acm.caltech.edu/~hou/
. F' D; `) a! _% I1 S
鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
7 C- Y" C/ x& ?2 D. o
  k1 k$ m0 T, V包刚（Michigan州立大学）
4 e* k- z: W+ H8 b% r8 H吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
" e( o; h3 M& H& _http://www.mth.msu.edu/~bao/
- I9 z* ?4 P) H1 W+ ?4 }
金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
1 c9 {4 d# T$ z! D( t1 Thttp://www.math.wisc.edu/~jin/

汤涛（香港浸会大学）
. n% z* v* w% X中科院，研究方向：移动网格法等
2 r* ^6 a5 z3 d) }- Lhttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
6 V+ O& v7 J& m5 v3 x
% Q5 s6 v3 A8 c- o$ m1 l, h- Z! k8 d$ d舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
; J1 x2 Y& I2 c' }http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
2 @/ z/ I1 Z) i0 @; @
陈汉夫（香港中文大学）
研究方向：数值线性代数
( k* h8 M# s; f+ ~- e3 J  u) P. nhttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
0 h% a/ A/ x) Q* q% s  m
; V5 M  g' U# z. d. c" m* p, P许进超（Pennsylvania州立大学）
; F: j$ X- l5 |2 Z  B北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
: s4 R) U1 y! d2 hhttp://www.math.psu.edu/xu/
; T: \1 n, o" r! G6 B+ Q
袁亚湘
+ `. a8 I( ^6 Y- }# b# K2 }" \中科院，研究方向为非线性最优化
! g; E8 T4 T! g6 T( R' W6 ^http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
+ V& X8 K6 p: w/ c5 p模拟、移动网格法等
. Q; L2 L1 ^! |/ ^& ?" @http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

$ Q$ g) M9 B" O1 l1 Z- }陈志明（中科院）
4 ~% i, v# ~7 m) B研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

9 a1 t, J, i* k/ I3 w5 G其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
5 I& f$ d. H2 B6 s
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
是颇有裨益的。
理论：
最好的基本是
8 u, X5 @. ~( J7 q# b6 hMathematics of Computation
# o8 S) }. l" PNumerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
# S6 D' R- q& U( G3 oSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
$ W; a$ g: Q: f" K1 [, l* ~' e9 {SIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
BIT
! f1 o, t2 ^' B( j, J, S0 @IMA Journal of Numerical Analysis
7 v# u9 O+ ^5 |+ LAdvances in Computational Mathematics
Inverse Problems

还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
" G# r9 G: h- p/ A* d1 G0 ]Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
8 s5 w: Z5 w2 @; C9 W' f. {International Journal for Numerical Methods in Fluids
( n# H: l& N0 LComputers and Fluids
Computational Mechanics
: b+ O! ]2 A9 p: r4 ?& U还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。
/ u# D6 A% B* i% m3 \
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
* ~( b; S* _4 F, G2 A9 X了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
" @' E9 ^2 s0 n2 f学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
; ?9 ~5 S* v9 s版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
4 @* j1 D9 c/ ?, h4 \的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
! G0 }( o7 I3 w  Z$ ~2 d& W1 kstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
$ A& a: X7 u( E2 t9 B+ H+ \! t等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。

# F9 M' l( T3 d8 G0 I& |另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
- F5 u2 q/ i3 X& w% V, s( e章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
  C) Q9 l0 E0 s/ _3 U" T- [% Y者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
- |* D9 r" U( b$ [) b6 T计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
) y: f$ q) h2 @. J+ E7 _
! Q" B6 |* k! J% ]6 u作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
6 @+ z" Z) V$ Y, C称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

8 B: O8 ~" g6 W+ e- m1 G' x微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
; u, K* U; f8 k- }* X% ]; s
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
/ O5 x+ \7 `* A2 |$ P% U' r数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
/ r+ ]) l& i0 l: y0 N+ HRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
/ d; J, m; ]% O2 z. t2 d" U; ?1 M《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
& I7 |% }; f2 F外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
! s* s2 P7 {4 I! Ifor Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
% z7 J( b9 j7 @, U4 l2 SMethod》据说也是不错的。
8 s6 C6 a: ]. h6 b2 {
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
& h0 C$ q. r2 ^# S* `- U郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
- L+ G& |' r+ _& sand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
6 O" X. c5 x  g）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
" @8 U# S7 X' P8 I不知道能不能再学校里找到。

除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
# S* `! Y& w, {9 Z以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。

计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
; ^9 U1 U4 `+ c2 t5 @Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
! w# x2 }% B: i. v经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
* s; w2 b! W6 }8 t西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
; k* k/ u/ _( A; r! X3 ~这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
3 r& }$ W2 A0 Q  Q6 p出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
3 m* Q: j  h3 K7 b6 t也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
% Q2 Y- U- J/ Y% t! I
" o, ^/ U2 Y' o# L: O( o  Z5 r计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
  A5 i% M; J' f/ ?4 d* l体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
  l& ?6 y& q2 h; E5 x; M+ I
, D0 E' t8 Q& U$ {1 X, @最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
$ H( \7 [- j; o: t( vhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
1 I! x5 `. P, {6 v/ p英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
) ^1 b6 O* K7 y2 Nhttp://www.netlib.org/na-net

: T( X% T: u# b" ]3 {

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
+ j" [/ J% J0 j8 q0 f都有中译本的。

; q; ~7 O2 b, Y接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
2 H  ], d3 x5 r- {在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
' @1 s* u3 S* c4 I树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
$ M! T- b3 K% P) E' ^向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
出来。
( b1 Z% x! T) E+ @* D( y  L
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
. _' Q- ]% ~8 jHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。
, ?& Q1 a5 X# |4 i6 h4 {7 H
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
4 K& H9 _! g4 ~: C/ ]Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
- z+ `& V7 k5 _6 Q$ S3 d0 E; @人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和
2 _8 k: Y& P7 T' a- w8 h- v% m& m$ zvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
7 Y7 L: ?; J, I/ o" u, E5 U6 UAlgebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
' D5 ^4 ?  Q3 c* b& ]* I9 Z& N书，《The theory of matrices in numerical analysis》
3 B9 A: ^3 ~$ Y$ U" F' V(有中译本，系里中英文版的都有)。

LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
) r: r# g# _2 E6 g& v: L( ~6 J! _《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
; Q3 ?  G# K4 z" ^1 Y献，也许对大家有点启发。
0 O! [3 W9 K1 [" l% d, c' a: f9 p
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
" e( Q% @3 w1 A2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
  K7 ^4 y/ v* D3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
3 D) K  u- A' K7 m- ]* T4 L- V; W5 t5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
, e9 O  H% G1 ~4 X0 i& w' G7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
: }: P+ v, m1 }) [: k- F8. Brandt (1977) multigrid algorithms
+ J1 o& u1 @7 e% h$ m9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
) u/ Z! U( k. h' W7 h# ]0 `, ]" b
' Y% ~7 j. O  s8 V# g5 v; u3 _他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
0 H8 X4 U! b+ l) C6 Z2 R% L, Mage: 34), and by how short an influential ** can be
& Y. }  t0 }) ?; h( ~0 W$ S(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
& \& r. s( D+ e$ {6 v; S都还是很有希望的，呵呵。
" ?' R' p/ @0 S+ K2 Q6 q

反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
+ V2 [# z, i% G6 S* m4 K4 L
4 b, G! j/ W9 K- o0 c, W几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
+ D! O4 }) ^1 t' ~
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
3 w2 _6 q* C7 s
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
0 t- |& Y( h# ]4 T2 S4 [' I- U
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
1 I$ y" Z' x  D! j. m$ U7 M
! p, o0 [' U- h& zJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

7 A; c; X1 B1 D8 P' nScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。

在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
. ~1 c6 H( r8 Z3 O# D% w" v
  U3 ?7 Q1 b5 k" M% V9 Y: T: w题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

/ e/ `9 ]" r' Z; s4 L! V. Z们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW

Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
7 x' t8 K! o1 x# n) y% s
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。

7 A+ O1 g! {) F1 @9 H, ^反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

# S. f. L# d0 k1 S据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应
& Y1 i' H" Z, V( e' T1 n! M
0 ^3 q4 G4 ^/ [6 X6 F7 R用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
* `' D& A, |( M" }/ C/ |的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
( J3 X* T8 z9 R- Z2 l
- ^/ y* Y0 T( V' _题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
4 I9 i( E1 a* m1 O/ v6 X& }1 D7 }6 [
) o+ G( G# j5 O6 b. L平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上

+ O' Z- k( }/ A! z  C" q0 u有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

: D- m# E8 e1 h的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

个综述和展望，值得参考。
0 Z2 p/ s3 |' D* \
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
' g9 A) [2 x* E7 U) M2 |# q& mIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
8 R; o+ F8 e; a# b3 o# h, f9 O校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
0 w0 T1 |2 ^9 ?) }, D4 z是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
6 g; A& j5 ^, u. P题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
2 |. v7 F% g2 A$ `& ]9 h记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
0 a0 Z0 R, b9 o; V3 yregularization for Fredholm equation of the first kind》
6 M* U$ m/ v$ }8 B& }) y是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
: O% b( e. I- e! c4 g9 a) D5 Q的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
4 Z4 E3 Z4 G  ]; w4 n《Inverse problems for partial differential equations》，
) g& Y" J3 p* S* W9 k5 DMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
0 @9 D2 ~9 s% w* ^* OIll-posed Problems》应该也是不错的。

( u  j7 e! L/ t- S% `* j在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
/ ^6 e! w1 @2 ?9 Ddeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
5 \1 S, N7 E! L3 l) b书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
' M: w8 |+ O% O3 `' B) D3 f  A4 L" f本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
1 G! m( t+ S* k7 s# p/ c% N读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
$ @+ t  b" s6 F* a  T化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
9 u- r; c( C4 B; YVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
: I3 C3 M$ G; Z! K" `6 {Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
0 Q: U. z8 d! |0 K也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
7 @- S) \0 {, c/ n6 R; N% j了。
. n, Q4 D7 n$ O% K
3 C' W1 V8 e9 V( }反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
; a( }1 U2 X) J1 A( Y$ V+ F- `
计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
  |) D7 L) W$ _8 }, O% Z* w科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
+ F& }! Q* ^, ?9 T4 Y种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
- o1 w' ^1 @+ K3 R
+ X$ T2 s) t" l8 [一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
4 H- V- I: c' y( ?8 q5 C3 v* ?分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
# \2 ]9 z' r" b- W. W" G这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
8 v& v3 _7 w2 K' {你看了吗
9 C' N5 {8 w# }- z5 b$ Z1 M6 F/ N

- V; u' C3 q* \8 ~% @: Y" p& ~回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊