谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

7 x  V) P% M7 e. M3 y从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
5 _' I. y5 Z% m: T7 f4 l最好地说明这个问题：
# V5 F2 B4 O. a! n6 C  I$ o
$ z( x! H: l! o, I8 w" `. i; UHow could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
( u5 q" X% v& x; ?# a: \8 [good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
, Y# b" k2 ?3 h% Bthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
! H% ~9 U* ]; R, B; B! @  U3 ^Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
; v, L: e4 `7 y4 @* tLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
7 [3 c8 y: g. |) H* H- sfor at least two years after the appearance of QR? Why
did more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
* Y4 C) \8 t; V( P5 tcomprehension of the effects of finite-precision
9 z. N* Y# r( E2 \, I( Y5 iarithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
% _. `+ ]- i" I& _院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
0 K! q& J8 ^( l$ H只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。

- C; }; R% J1 K: ]侯一钊（加州理工）
, p6 D' W1 y0 c1 H' z$ p研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
/ C( M# l; t) Whttp://www.acm.caltech.edu/~hou/

( p7 f! K4 f' n鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
* z$ r( T9 f5 c7 @7 ~" fhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

包刚（Michigan州立大学）
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
3 T0 F3 `! d4 o. l: Xhttp://www.mth.msu.edu/~bao/

7 U( _7 v  ]" M, F( \金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
http://www.math.wisc.edu/~jin/
; u+ M8 O" T5 h4 M" W
' y5 z% Z/ x' y3 B  f汤涛（香港浸会大学）
- p  ]" V, }! ~: w中科院，研究方向：移动网格法等
: d0 b4 M6 i, R( Ahttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

2 f' }% C3 r% y3 z% |; K舒其望（Brown大学）
1 v8 m/ f  D% P中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
6 }( l5 r9 l- V5 V! Q9 {% X
* e4 F0 v* n1 H陈汉夫（香港中文大学）
研究方向：数值线性代数
# O/ d, u, C1 a5 N+ I5 ~* B' I# Ohttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
* M' Q( A( @4 q3 {7 |6 }+ u
许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
" Z) J0 ?' I/ ?( k/ [1 Xhttp://www.math.psu.edu/xu/

  p! o) J$ v5 ^  K7 t# E. A袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
: W9 ~2 m+ F- shttp://lsec.cc.ac.cn/~yyx/
: u; O- F4 X$ v
张平文（北京大学）
; |- V) ?5 s: W3 e1 L/ T北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
模拟、移动网格法等
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
# H) ]: l, K: x  xhttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
) @3 @2 X2 R- ]9 l8 q
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
8 n  x: ^. i0 s+ j# g: T' I1 `3 g
# t- {  ?. q9 x8 D$ W作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
+ ^/ ^4 b5 R0 m$ I# a0 p是颇有裨益的。
理论：
, B0 Q0 ?( \1 E& H8 u最好的基本是
1 n: U" a4 P; `5 B) C& n1 TMathematics of Computation
Numerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
* Q. w9 `0 {) nSIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
& s8 E: s7 I* A7 S2 }! b. FAdvances in Computational Mathematics
# K8 j! Z* [/ h& g; L# f2 O, BInverse Problems
1 v7 z- \3 c6 M2 L& W3 q" i
, m% w; F/ v, E1 o+ z; n- _( S% W( R0 m还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
* R' v6 G. Y3 r8 N5 ~International Journal for Numerical Methods in Engineering
5 v; Q( ^0 s3 fComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
International Journal for Numerical Methods in Fluids
9 i) z$ }) }, z" T; K& h. s1 nComputers and Fluids
Computational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
- e8 d8 b, q* p/ X7 X+ m6 y2 O7 CComputational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。

# X  S3 ]) N2 b% b3 n但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
% W. ~5 |8 y5 L; v版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
" S9 r7 d8 M9 |非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
, }+ ]) c! u: ]! ]( \/ q. e( p的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
7 v' `" r( O5 rstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
4 t- w2 Z0 W$ l( b' R
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
, A  s( d: e- j0 y" D+ K  i/ q( B者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
1 N7 _4 o. w: a9 [# i- ^计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

! I& R7 ~, u3 A6 v  ~+ E' p作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
! L  v. p* j. p4 @. ^) m% T6 l  |称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
) b: R% k: B4 ^# n, a5 f
0 Z1 V9 K0 j1 K5 S1 x  f微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
) O8 }8 c) x; E0 ?' O
8 u7 I: Z7 d6 v+ o. f& y$ K有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
, ^4 |* r( U, {( g) t* M数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
* D$ h. M9 Z, cProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
) k8 ]' \/ b8 x1 ]. E# I& f《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
, [) P2 @  V0 @8 d& o0 y外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
$ f" p6 O/ _$ y* {% Y$ o2 E数值方法方面非常出色的著作。

- y# c& d! P; `  _有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
! i2 ^3 i, R1 X/ L" F& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。
2 v4 `5 r, U$ }0 n; E; X
/ j; S/ i6 V6 X谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
: z! w) j# D" i5 f6 o. Q: Z  T郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
' h. C4 x0 Q9 r! t0 t2 I）
5 J9 W  |4 J8 L" r% o$ i上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
, Y5 \9 ~) D! @% F有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
不知道能不能再学校里找到。
1 \0 q+ U. w& f) f- K
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
3 |" ], _! V0 v; i0 M以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
( L7 p0 [/ y8 w; a' l6 P
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
2 n9 }% S- A0 dAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
, V& y' f: @+ q3 x( a8 N$ f' s《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
% l% T6 I+ K$ G; k9 L/ i经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
1 N/ r7 A3 |( k, g4 ?在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
5 h& e) L6 V- q7 I( v西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
# b' ?/ v1 q$ t. O8 P6 S5 J* }) W. j性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
4 u- E4 ?0 g8 v9 u/ b- D5 J* X也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。

5 d: ~8 H+ R3 ~! i/ Z1 f4 u计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
! V2 e" k, _4 T6 o! y! ?有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
* E# l7 ?) ?$ `- q7 m; @; w计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
& c( O1 I1 R0 X0 J  q英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
http://www.netlib.org/na-net
# {3 g4 R* d9 K/ _5 s8 G
8 k& [, x% V, {% _9 j7 [
6 p! z& E( z. J" `" B
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
( \0 X4 Z7 {2 B8 ~* t* m都有中译本的。

9 i" n; O4 u5 B' w; t5 e# [接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
. I7 B5 ?9 O5 @在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
  y$ p: E- y- f- G$ ?5 Y5 X( a! C有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
! B8 Z  a) _6 }& @' q4 o出来。

3 J) Q/ c  ^, ~$ f2 {国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
) {3 d1 m2 a- h; uKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
/ a7 m  v& [7 Z的大家。
* v) J9 @% x0 G" {9 d  w/ c
3 k  r- C. [: r5 G矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
% Y8 A# g% @- l  _1 q+ C人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
6 {; Q2 |: V$ A8 l. `系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
. i( S7 {! P9 ^找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
Algebra》，Trefethen & Bau 的
2 z- v# r- O4 ]/ z0 Z# E1 b《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
- B) f" {- r+ B7 z4 ^1 j' i和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
& u: A& A0 |/ W2 o写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
8 R6 \% S& H9 \) c& B上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》
+ F* `& q' p4 ~' u(有中译本，系里中英文版的都有)。

LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以
: `4 Q, J" \4 z& `down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
2 F: @: x7 ~4 ^* O$ g6 g* U
他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
- a/ p  d' H1 c! [% ]典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
献，也许对大家有点启发。

, C' s- J' V/ h3 ^1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
+ `* m7 [3 L# Q/ y( d0 B3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
7 j* m; V, M1 K& @5. de Boor (1972) calculations with B-splines
7 G4 p  y" D& b4 J) @) I. C' G* U6. Courant (1943) finite element methods for PDE
! ]& G$ z5 G  s: K; D6 b7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
( e% U# x% I. }3 }9 s+ H8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
. q7 j# Y  ?) Z8 }# t12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
' a( S8 l' k5 \+ C3 d13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles

* A; U  l( r8 g- H他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
) X* U- U' d# K# c7 gage: 34), and by how short an influential ** can be
% A+ \9 ~( ^' ^6 D3 R! N) D1 S" c1 ~: `(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
都还是很有希望的，呵呵。

" b3 A! c$ q% t6 v
) D" `, B. z, J; H, r1 X4 k反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed

Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前

  o9 m$ R/ g+ _$ N+ w# ^. \* B5 G叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
# G5 R$ j, H4 D3 Y, N% V
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

2 e4 j& V* ~. _6 k. ^" q杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
/ j4 ~* ~6 t- P. A3 j
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
4 C" H4 O# T+ W% r! v
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

0 _' }! Y" x; `5 c2 pScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。

在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问

题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

0 o" h+ m7 x' X们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
% x4 T6 x) g& J3 b$ _2 J* G
Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin

Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
5 c$ v% `3 A4 }( ^+ Y4 a& i$ m
& Y9 W6 w, |+ L  ?6 K; ^, M反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

9 ~( R5 g  t/ W据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

2 T7 a. n& [. t- b水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
7 i8 V* g# E3 @4 E( b的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问

2 A- r3 n4 g1 _题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
$ B) v; y3 D0 J5 V: F) g2 U- L8 n! `
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
3 a; x4 g! x0 b( I# x
个综述和展望，值得参考。
6 _7 ]3 ~( a2 `/ P
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
* C, F* j9 ]9 j, }' u# [, Y校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
3 b: _  {4 x' K7 ~7 f& ^题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
$ T; L* y8 r+ v; @, a记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
regularization for Fredholm equation of the first kind》
& T2 a( e- w! I+ S是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
2 `: ^4 f* u9 h4 d! w/ C书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
' n& |+ I2 [% \' C7 K《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
6 ~9 a; z! l, Y% _: J( B9 ~5 T的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
( }% W% V% t6 ]: q4 q作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。

在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
( n2 f# c- c' @+ q7 |$ u读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
5 v5 I+ H7 D8 }; q0 _, y0 X0 R9 c化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
) u7 m* z: g* x1 n2 W; v也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
了。

7 c$ H+ `9 L. Y反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html

计算的热点似乎有两个特点：
. Q% T/ j4 r: h3 B5 S5 H. k7 ?0 U一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
6 R5 q8 p; S3 O# F. v/ S( B1 F+ M计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。

一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
) Y- c! V& M' J9 c: j分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
1 ~, @/ m2 U" ^是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
) h  B: {  M( B( m. @: m这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
你看了吗
' e5 u4 }+ n9 M! k. b( E3 R

回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊