谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：
( x; ^: Z/ ?) L$ |' ^1 k
/ s# D8 ~" s2 `) n' ]从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
0 p/ d$ [+ B: x1 J最好地说明这个问题：

$ N" `# s3 O! _7 u6 T/ N" aHow could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
$ W3 G. L6 X- `good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
0 b7 c% o1 I4 X5 W7 T  v# P  Q  {& ?/ Fexperience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
/ {- f. I+ q( s% i+ S# ]1 V/ ^Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
" ]& F: t) p. ~5 a1 qfor at least two years after the appearance of QR? Why
" L0 S2 y, f' sdid more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
1 G8 c( @, c. _3 X$ y6 Ethe explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
0 X* O: N8 ?; m+ V4 N只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
, B: t8 D; F( U! {& D/ x) ^
侯一钊（加州理工）
2 j& B' a7 b9 y$ e7 Q研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
http://www.acm.caltech.edu/~hou/
; M, s( K" R8 d" w+ u
! s6 I- `$ j7 @5 Y# Z" j) r. v鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
6 j* V2 h0 q8 [8 i. N
包刚（Michigan州立大学）
( \! G$ l2 T! G- F! B& A吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
3 [  ^7 J$ S# @# g: Z) d, M1 [http://www.mth.msu.edu/~bao/
; V0 s, J. ^0 \, p6 w9 e
金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
8 _$ |, }# D) z( g9 y: x: shttp://www.math.wisc.edu/~jin/

汤涛（香港浸会大学）
- G6 W% h( i, `中科院，研究方向：移动网格法等
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

5 P: p7 E+ ?6 a舒其望（Brown大学）
& l9 V& j& N% T+ R1 p中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
: o, [. {, G4 B5 `7 ^2 i9 fhttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html

陈汉夫（香港中文大学）
研究方向：数值线性代数
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

许进超（Pennsylvania州立大学）
7 v$ _! q! E: O: a, i( [北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
" y* e0 j+ j1 [1 d# U7 O$ ~http://www.math.psu.edu/xu/
- y& u* G1 q- M! m; G6 h
6 G' J4 M6 v  h1 A% y袁亚湘
$ X+ k4 I6 ?, {' r1 L9 ^- [中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
0 m' b. y0 T: y1 D3 u0 S3 g- V. w模拟、移动网格法等
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
" m; }1 o( P: h8 [% t2 thttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
7 b# d0 X6 O$ V
+ f7 E3 B7 a3 D; m4 P! N1 h其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
0 F7 ~$ b; ]$ G! b  M
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
* p9 y! W8 O2 v, Y是颇有裨益的。
理论：
最好的基本是
8 U; E! C8 Q% D& A& GMathematics of Computation
Numerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
& Q/ L/ ~: Q/ L/ Y* O. V1 d* V+ wSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
! N& ~- I$ `# q; H: z0 f' TSIAM Journal on Scientific Computing
1 E$ V$ T; ?) u# l; j0 N$ I% [5 N较好的有：
6 Q5 Y, z. q$ }BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
Advances in Computational Mathematics
Inverse Problems
5 B1 d( }; f% ]( C  c0 Y
还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
5 i. N5 ?) Z" D( J# y# oComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
International Journal for Numerical Methods in Fluids
! X1 d) j* Y: Q  x4 GComputers and Fluids
/ S: T  B2 {7 sComputational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
. Q: U) O) v  i7 E4 N' `' D( _Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。
7 }2 y+ R: F0 I( A
# |4 c4 l, `& m6 @  a但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
5 a# P, p- G0 {版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
. A' ?( |  a7 v8 k的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
( e" l0 e4 S$ w4 h; t  e& d7 i/ gstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
; n% r- ^) B- ?3 \8 a' b等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
; @. R6 o) Q. k+ j7 T( z
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
6 T1 H, r  R$ q3 h& O4 W3 x  D章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
# I2 C: ~. ]" f% _2 l1 C; S. C
4 y# Q; H2 \* A, q) B作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
$ r/ f8 G5 ?* n* L2 V法、有限元法、边界元法和谱方法。
- g% V9 d0 m+ F; o
' a. Y7 S* P  U, O0 W5 Y有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
! w5 I0 }( [8 k! N! v7 ^; G0 Q数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
* t1 D) d3 \0 JRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
2 u" @/ A7 S0 d- CProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
7 F, z9 ?4 U% {2 N7 i" U《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
% m8 F8 z  V, L$ F- w7 [主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
' d0 |/ I" s0 i: D外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
) j. P; Q" q( s: Q3 T3 O4 q0 HMethod》据说也是不错的。
8 p6 l+ g- A( E. h7 V$ ]2 y
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
$ J4 C8 D- m, o1 {/ Z# |5 v: |and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
* f, u5 L: I6 H/ }很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
, q  j  c  Q$ P( i4 n% y有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
' u& L3 U" |* T0 q( o5 o% {不知道能不能再学校里找到。

除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
' I: \+ L, H- M" n9 j7 }( a! w
3 }& j5 }3 D9 W  _; n7 o计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
; x. N! r8 K% x西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
0 ]. s2 x) `7 H- G性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
+ y- B6 h( }- r- X; H3 s- j/ M也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
: \* o2 _5 E- g$ z1 v7 o
6 u, j, B. ]1 t: r  H) _  H计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
  V/ X! i* d& e: I$ Z有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
* s* k5 ?* v3 }' J0 I9 I# U
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
2 Y: _& Q& \7 K英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
( T1 r' H- Q; ?: q; P& Z+ Shttp://www.netlib.org/na-net
- j# s; j' b( h! B
/ A( M5 V. x/ G( F. }0 v7 j7 b

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
2 [( O( z6 E0 ]" ]都有中译本的。

4 _% l5 B# L9 Z# U& J接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
/ w6 o" S  E7 K; ?6 V4 d0 A- l& P树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
4 h5 c* O. j8 q9 t* E. r向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
" n. p- U7 N# m& X% t有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
出来。
4 m( U. e$ G5 b! {+ c
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
. i5 ~+ ~$ E9 j) x& D- FKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
* F# ^; i# m# [3 L/ ZHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。
: U6 m% J4 q6 X$ S4 B9 C
4 y/ l8 K0 X. A& b4 S; M! I矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
6 R3 [" @: ?  v5 B/ VAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
3 M2 g  K" P3 A1 ]8 K$ q3 l$ n很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
- e) c  Q6 r1 }1 E9 J4 J《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
3 j1 X/ `1 O4 n2 R/ d- G找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
3 V. F" S* U3 P# e2 T$ |, u0 _Algebra》，Trefethen & Bau 的
& b& t+ O/ S! r- x《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
* r$ n, O# v5 d6 L2 g! A& y& {% ]Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
. G% `2 P, n+ }9 |和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
. K" W! O# ~! r% Y2 R) L, ?) I写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
( W, g% J4 z5 |上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
$ P0 ^+ \4 U. H6 j6 u3 c书，《The theory of matrices in numerical analysis》
  ^7 |9 y+ Q, j( X- k(有中译本，系里中英文版的都有)。
4 ?7 d' v) F) A! g
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
" F0 H4 j( }$ V' l6 u8 mand Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
( _6 I) o3 N  p  v。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
' e0 k3 f3 ?1 N( ~1 r- ^献，也许对大家有点启发。
( F0 L) z( l9 `2 o; `6 y' N: O
* y8 [7 ?# |1 Z: C$ m9 C1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
5 H% Z2 P7 _3 A2 [6 L$ V$ z6. Courant (1943) finite element methods for PDE
/ @7 m$ [( G; M& J, C1 p7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
7 Z( [/ U9 [7 Z3 }! k8. Brandt (1977) multigrid algorithms
7 l0 Z* O. ^! Y0 H  @, a! I4 e9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
: _' B/ X, N7 R. c10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles

他的remark也很有意思，We were struck by how young many
0 r8 y1 S2 a: c/ \& gof the authors were when they wrote these **s (average
8 w( Q! k$ h* n. \& f! v: o" ^age: 34), and by how short an influential ** can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
都还是很有希望的，呵呵。

( F3 P$ h$ S( n+ y7 N$ ~, E1 y
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
6 ~. g- e. x7 ?4 L
! D( ^* m4 ?1 d2 a7 [* iProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前

叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
2 \0 ?: X7 ^5 Z, g) Z' N
- T3 o! k, D# o0 ^3 \2 v& t) h  b志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
# X7 @( z7 f8 Q
/ i5 I& J6 t* V" [, J. Y杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

9 J5 ]5 }9 H4 C' v+ G2 R- SJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
. I5 ]* z. c( o7 r/ m0 K. e3 b
4 \3 @7 Y: C4 I7 V, BScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
' Y" j, f! K# n
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
! T5 {0 a2 G; o3 h: _, l0 s
& R& \7 v4 v  v; d% j: @题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好
9 x" h' a/ u# C  U
4 l' d9 \& U' r7 ~) M的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW

Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin

Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
" ?' H/ `7 q' X5 W( b
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
) _+ ~; Z/ m. T4 v
据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

, P9 }+ {% H4 D' O* \/ k; V用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问

题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
# X0 M2 p: R/ a4 o$ |
! n9 @. M- R: S) K4 \' ~; `有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

! g, M7 `- I, D% w1 X- |  b0 z: t的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

$ ^: N6 `0 H% J- Q个综述和展望，值得参考。

3 ]8 F; {8 l6 z反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
' b- |- l) r& F+ _- bIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
( r- {; K# ?8 p( U" [校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
0 C: N2 h/ {1 ~本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
2 s+ K9 [4 j' C7 x- X题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
! D$ M3 T: O1 k% l+ E# E: [6 U) e记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
. A  D  m7 r, C# Z# Y3 A9 Mregularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
" l/ a! E* R- G4 S6 I. N的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
! X  O" `- E- C: l9 |  H! F《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
, G: N" ]% ]& }Ill-posed Problems》应该也是不错的。
  g$ W" Q6 m0 T
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
4 a1 t# j+ \2 D0 R4 t; Ideficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
/ Y& ]; V% q7 T本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
, ]/ q# u" i$ B! C) N& S读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
! q, `2 m0 I9 Y9 t' P6 C7 E化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
4 D. C/ c1 i9 w' m了。
! E1 _. q% t8 n& D, ?0 k
1 O: \1 K* P% G& e0 k; J$ j反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html

计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
( Q" N' H  i, }: ~计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
2 X  R% w# }' c0 z7 u, I& P- f/ }科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
- r5 d$ K! @" D( u9 C1 ?9 V种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。

一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
$ t+ h4 T+ {  v1 M, A  x分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
. s9 i4 T; s9 v你看了吗
0 O% V& k8 v6 d% w

- {9 I: l; u, j' H$ r7 E4 c# s4 \回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊