虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内： ' P, I. P: k3 z& Y/ v9 w9 e* r8 M3 F; H* Q
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调. ]7 E; U! j y! B" x* s
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 8 _& U# w/ O2 g9 c最好地说明这个问题：7 @ A5 y8 P. y/ c, I3 U( E0 x2 i
. [4 ?( _! A1 D) v1 N
How could someone as brilliant as von Neumann think: f ~. v; N" l2 R b3 g+ |! q
hard about a subject as mundane as triangular factoriz , p2 v$ r8 u$ W: P, U- C-ation of an invertible matrix and not perceive that, 4 |0 t4 O) u1 h, pwith suitable pivoting, the results are impressively q4 ]1 O/ V% m& X7 P
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on6 [; F! P% |& X2 E: m1 H
experience, concentration on the inverse rather than on# J4 _2 A F( b7 e Y6 b
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. * r: i6 U3 A, a/ `! I) b/ YWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a ; J/ @& a/ }! g0 o0 \Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem. X8 {4 |; d+ M
for at least two years after the appearance of QR? Why' \1 _) A) u: s
did more than 20 years pass before the properties of8 l+ _" u; f c" v
the Lanczos algorithm were understood? I believe that" Y# ^" |5 i& V+ V9 t+ N' L
the explanation must involve the impediments to5 ~) M( d- h3 a/ K
comprehension of the effects of finite-precision; K) I' F5 O% b+ ` q
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf): y. U; V5 A( B d9 m) R& w
/ A h3 G/ S: k' R既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所2 G" t" z5 b6 Z+ K
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 7 l4 `. |. `1 P+ K- \" B院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 . U, g1 I. ?0 ?6 Y+ w只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当 Y* C* G/ k- ?% ]: o- _" M: [; d3 l前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。 0 r, Q2 ?* ]6 [) R$ x! o2 k# _ * M7 c+ [. k: I) D( f侯一钊（加州理工） $ ^+ D O G, w( i' I研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流8 O: o" m3 h+ s) g* d http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 3 a; q' W$ w8 e1 u. @$ J8 G. i: Z @7 a% w% x
鄂维南（Princeton大学） 5 t5 r9 c+ y" [3 r& t' _+ e北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟3 m" X5 F2 K- \5 X http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 2 H4 v" o8 o; U. m: \
. T- P3 ?( E; G: u; Y包刚（Michigan州立大学）; R# @. T" S, B/ {8 r
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等 ) m6 j. k) T ^http://www.mth.msu.edu/~bao/ ) O+ p7 f) G2 }, m/ O; L % L0 M7 [5 T X- W( y L金石(Wisconsin大学)5 m/ x( _% J+ B1 ] K. v
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、 . \. F h b0 L! `) y* z5 H动力学理论等 5 ?5 T' O& r. W$ khttp://www.math.wisc.edu/~jin/ * `# [% V I1 E$ B
0 v" Y) z; Z; J/ F$ W
汤涛（香港浸会大学） & W7 Z6 `3 ]( `# s中科院，研究方向：移动网格法等 " M8 n" U/ P/ r" u% ~. \% H2 Nhttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ " T# b" I0 [8 r: U) u
" {0 C( t t. r2 J5 o
舒其望（Brown大学）; g( Z, \, o" C2 V. _, y
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法- d+ P8 [! G" X% C# l' ? http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html ( p8 n, s2 j1 b; z9 m6 f , H7 g7 R" h j( t' L陈汉夫（香港中文大学）$ o0 c% E, s' U6 F3 H1 ^; G4 W
研究方向：数值线性代数6 I% }8 g) @9 b1 R1 ?0 n) z http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ 5 u# `, C' h8 u . n) Y7 }3 B% b& e0 `% s许进超（Pennsylvania州立大学）( G% G2 G! z. N1 w5 H
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法6 L$ N/ \* N9 z G( P http://www.math.psu.edu/xu/ . K! ~7 I) D# y& x/ z7 U) f8 Z0 U; K. {' A, i3 `4 W
袁亚湘7 v1 X1 A; q! e$ m/ e8 x- @9 M
中科院，研究方向为非线性最优化 " j3 S: e! Y, [5 ?http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ 1 I& V6 [( h& D Y% d0 H ^3 m5 ^
张平文（北京大学）& L5 `0 k! |1 I" K# v0 g
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与- U* c5 J/ c8 m- v% r( B8 y" Z
模拟、移动网格法等 : v7 D7 ^5 |1 _, W$ T( K4 rhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 6 s' s: h7 s7 y4 e- V
6 G9 v& ~+ L P" w8 L0 _
陈志明（中科院） 7 e& \, ^: s9 W+ v5 c研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法 0 v0 E. z) ~8 l9 x8 w6 D# Mhttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html 9 v: P) ?. p- g, {5 F7 `! p
) W0 O+ x$ s9 p: Y; \其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出' i) a& |* Z9 e) E2 p7 v) G+ l
3 g6 _6 r7 w! r; c' r$ H
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 & C6 z! x' M, u/ S2 y/ k是颇有裨益的。3 Z( h1 i$ p& j
理论：* T+ N! B7 j0 k3 u: v
最好的基本是 3 C9 y7 B9 }+ e8 XMathematics of Computation 9 W& P% Q8 D8 ^4 G9 J/ UNumerische Mathematik* E( b" r3 ?$ i7 }( ~+ q! ?% m( K
SIAM Journal on Numerical Analysis # }) f- U( z' C% Y% y, aSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications6 H% Q" ~3 _5 @1 u
SIAM Journal on Scientific Computing7 x& }6 k" }& a; ^6 i) ?
较好的有： + q$ X' k2 p Q$ Q4 k! J2 DBIT " P% M# v5 X5 K; O/ r7 ?* H1 gIMA Journal of Numerical Analysis * [* g$ ?7 b6 l1 DAdvances in Computational Mathematics * d7 _$ X( A4 V) m/ W" PInverse Problems5 i, X4 m( h; _7 n. @, o, D
) C; O8 c0 V4 j" o$ c0 ?
还有应用性质的杂志： 5 B- ^7 e9 L9 d+ S& L6 mJournal of Computational Physics/ Q4 l# ~, q( O$ y! `
International Journal for Numerical Methods in Engineering- ~7 \' y5 ]) w& d. q
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering$ }# D1 u8 i' k) g
International Journal for Numerical Methods in Fluids ! w9 h3 [8 Q a1 R; s) LComputers and Fluids ! ]: U* D: S7 L2 CComputational Mechanics2 Z+ l K/ w! [7 n7 w- p; e
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of/ i' f$ \- l" z! t! t
Computational Chemistry，Computational Material Sciences {2 h' S5 _& H$ `+ E也可以浏览。6 j* V; w, p6 \9 I/ e% i5 X
9 n/ U& a' r+ K b: t: e
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 + h2 N9 u: B* j" y7 A) d8 s了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大( |# ]) R# n4 P; Z4 Z2 {2 I# H
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 8 l+ p% A7 t8 X. S& I' u( P版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法/ f) K, Z( y; F2 a
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 * O* a' x! s9 `% N) j8 x2 S2 O2 H( F的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy $ G( L. `8 K; E% C) ~! sstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 ( ^# z; {$ t" v等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 ; j2 M$ L( W2 h这里大概也有二三十篇，可以提供上载。9 l) N3 e5 M8 p6 z" E* U3 K0 J2 C
# p/ s; `0 ?* X' z
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 ) v' j4 O k9 \9 J# p0 e1 T8 M' ]章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或 : I) q! t. d1 t) i+ H者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 : |3 l5 z/ N5 e* q9 m$ I计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。; P3 {2 D; C/ `
+ J8 L$ v" H! G: M
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 5 `( p1 ? |' r( ?2 r$ p称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。5 k. W& J' z# c: U) D2 a
7 m; ?$ R# [, U- l* z
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 9 |2 h2 O- g1 N7 e6 E+ J法、有限元法、边界元法和谱方法。, M4 q( Z0 J3 c) x
' Y& H3 |1 d, Z5 ~有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程7 S0 D5 u$ y- C m( f3 X
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。) N7 C# \ m! p% X5 V# d: E! w
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value $ M4 c, n0 N& s$ u5 H# y( \Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本8 B$ i* [4 p: D: `# C
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很5 N2 h5 c9 r) j* L3 P+ p5 i
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的 , [- @/ l- ^. ?* c' c+ P4 F主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 ' E: B* w4 s H. m, O8 V外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 9 `) w% p0 |0 X" I; z6 R1 q* I数值方法方面非常出色的著作。 + ^; a t ~) I5 ^: \ % p4 T+ F" t, O, m) v' F7 k3 B, p有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method; _! L; p5 ~+ ^, L3 g% r
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner / [# }) O: |$ O2 E& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element # ^$ f( n9 |. l$ O6 RMethod》据说也是不错的。! l! H5 X# w% s% a7 u2 Z
7 D7 ]( `; e+ G# L2 G# _
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 ! D0 h+ Z7 Q6 g郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods , d, v/ s5 `+ _7 E7 Y+ A o2 Jand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有/ O; B$ D _, C: l) M$ r; g5 d; z+ o
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/ 6 T% j/ ?" t( q） " }- e# z9 ^2 p/ ^ r3 e& X/ D. K& E上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 + J& _ i N' o0 W4 |7 t0 ~! Y入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还 + Q7 f2 S3 _, K: R5 Y有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过 : k8 |; U* t0 E不知道能不能再学校里找到。 5 F$ Q$ j: O/ B5 z2 w b " g% B2 E: B! ^2 K, r除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 9 s4 ]7 e5 D' C: s ]以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 8 N# t7 V3 J3 P & Z1 [2 Q- v, ^* ?$ m0 `: ]计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional7 D5 d+ }$ ^+ N/ E+ U
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 & D- e, s7 I+ c; y" V! I《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常& \, e6 f4 P( [
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理 1 C. J$ }) w5 z7 ^* ^3 {在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 7 _0 z5 D: L) }! {5 ?( l8 N; {西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。+ ?, ?1 G L$ z2 ?- M
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 + i5 `- A% M0 s出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 5 b' [# `+ N! Z$ f性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 9 A/ x! G3 ^+ z" _" f3 y也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 - N6 t. C8 w0 K* I' T" Z+ }( g : i6 T1 a5 t5 v: c' `计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 , [) } K! p! }体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 / U9 N% c" H- V% Q. T4 c4 g9 {有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。" [4 z7 H! ~ T; I
: D- J% o8 `; E3 l# }+ _, m2 r/ R
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 7 e5 ~5 b( i( r& J计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下' o0 K+ _ Q$ K
面的网址注册 5 f$ |- E, x0 Z9 f& Chttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 7 `1 a$ M' d/ j* R; n3 j/ V5 ]英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册 # a7 p! O/ b4 |: y* rhttp://www.netlib.org/na-net ( d9 t9 d$ y9 e$ `0 P5 f3 }6 ]6 C
, g2 o1 J. s/ e 5 l1 D* G* r, v! h2 f7 ^ , Q h v% v' ^6 T" \% [先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我 : e5 q2 u" Q( d; |$ m2 q1 {& C A) \9 v) { G记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆 / J& m/ f: a @: s: [: N都有中译本的。$ |. o& g5 X& r% {* O6 ^0 V% ?9 [
6 t$ O, O: ~1 f; e( J/ b `( f接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师 7 \; R9 `- Z! u p2 g在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐- \2 S# i! h: {
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方 $ A' q+ ]0 v2 _6 A; Z% c4 ] O向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面 5 t) w" k8 q* ], z有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列; K! m( ?3 `% Q" ^
出来。, C7 r) h2 T0 g* b
$ b" i* y' c2 A% z& j( V+ y! j# v4 D
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。# H: m5 z2 A' y" i
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,7 A* v/ k- F" k7 ^4 U0 x6 |
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面 $ P) G |3 L; U9 N$ d的大家。3 g3 Y" ~* P! P5 B. \: Z
3 P$ z- \$ c+ K+ T1 P矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The ( x1 i! {& n9 b6 r( n! O4 \Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 . h/ |9 [3 R& \2 G) p- ?人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，! m0 a4 A6 e$ c+ Z: e
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 - z+ Q4 _. k1 Q) j$ n6 q0 S6 A* I很有启发的。现在的经典是Golub和0 z2 P, u' q( p- W; {+ J6 X" M& Z/ o
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，2 P0 {' I* B' A+ s
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上 + R* Z/ N9 J% V8 u0 ~找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear $ z5 C# c+ m# K1 H; }Algebra》，Trefethen & Bau 的( I, L9 T$ H( X" z
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef( k* G/ Y' D6 q$ i
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 3 s+ Y4 P! [% K/ @/ ]和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， ' y6 }4 F" ^% r" V写的挺有意思的，在他的主页. l2 j( p, j' A' u3 D
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/） ; g! I w1 f, R' b上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 : F- s8 O: b& E0 e, x) s书，《The theory of matrices in numerical analysis》. R1 s: K) h. t+ ^9 P8 d$ {
(有中译本，系里中英文版的都有)。7 Q7 } ]' G1 y2 I
4 Q& A- ]$ ?+ Y, eLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，* N; ^. x" N. |% o6 H
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》， 9 k# E9 }' X* f7 i《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference : I8 q& }6 i- t/ U# |& r1 Hand Spectral methods》（在他的主页上可以# r+ q) d' v- C8 ]. g2 d. D$ ~
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/） . ^; l" i6 e( o。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。 * \5 k* @9 c/ `0 c2 Z / [" a4 c: P6 o5 T' Y( _- g9 T: w' w他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 & L1 g1 \6 T' S, J1 c& E典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 E2 p$ F: y0 ] I1 z" A* N% V) `
献，也许对大家有点启发。 ( c! | N- q7 p# h. \4 I% b$ s- }4 \' g a) s4 o
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform 4 z) M- l7 z- f2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE 2 ]0 H% z, f h2 U u+ _) p3. Householder (1958) QR factorization of matrices# L, \6 ?1 d+ ]7 c N: v/ |9 [
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas1 f0 I! t/ N* w) v: q7 D
5. de Boor (1972) calculations with B-splines 7 \/ f6 s7 S0 p! }6. Courant (1943) finite element methods for PDE 9 p# f2 t9 |0 L& @7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 7 T/ h- T: \3 r! `8. Brandt (1977) multigrid algorithms! Z9 a7 A- `: c [2 f
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration" L4 v6 t0 b/ L/ f
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates l, K: b" h" h- ]
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE - y0 O% ?# [! d7 R( A9 S+ W12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. ) ?$ g B4 n0 |- f1 f: r13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles " { r0 u% S& u: ]" k) p9 r% l7 C$ k+ {
他的remark也很有意思，We were struck by how young many / b' G8 o. N5 N, y& e2 p- |of the authors were when they wrote these **s (average ( m4 M v p) cage: 34), and by how short an influential ** can be 7 K! A K E& Z3 p% [7 z7 _(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家0 O7 `* j7 P8 g2 g4 i6 s
都还是很有希望的，呵呵。 0 H: r8 l7 W- G" g/ r% z/ p O+ v$ W& Z( ]9 ~$ d
6 ^' X4 }8 e5 c0 j反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 * e0 M) b# E9 s/ e' f( b ! k: [' O8 b6 ]几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed # [: W5 l' g' H% N - v% _9 m% p7 r' l b3 |' e: {# \Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前 9 S" I" t( N( x2 @: w6 B# S0 h( |
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂9 n6 S/ X7 E Z3 [: m% x
$ R$ |3 x' J" _* F
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的 : Q. p" I2 |5 B% V1 [, G$ S3 z, @. `8 ~- p
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical7 R9 A9 |" O1 d5 |: s
' O5 K' l9 v+ K: c
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM8 H" E) E! N/ k; X9 t% o
* I- |, @! q- S0 y! y; {
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on2 `& [. J5 Z; l7 q
6 s& Y% q9 y9 p/ Y3 |Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。+ I$ k2 [6 M2 k U' ]6 m4 U. x
% `, h) B$ y1 `# X
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问 $ W/ w# q% _3 Y% a7 a' i* v 4 ^9 B' w& p- C4 q5 G( h2 C7 R! T题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好8 H+ @( p) j- O: m x5 M
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发表于 2010-1-23 09:06
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