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自我介绍 hi,我是mzszrj,我是一名大三的学生,专业是数学与应用数学。希望与大家一起成长,请多多指教。
虽然不是我写的,但我觉得很好,希望与大家分享。以下的内容转自校内:
7 @7 z' f" v9 |+ [& E4 _7 o
0 c! z# A5 m% x$ S9 `8 p9 h/ ~ 从计算数学的字面来看,应该与计算机有密切的联系,也强调
2 N: ?% Q1 `% x, \; h 了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能2 \% \* A) u! h( A: d+ S
最好地说明这个问题:
! n7 E" W- S1 O" B* W
! {" E0 [) U; t3 C0 N' L' ~ How could someone as brilliant as von Neumann think
! c' ~) m1 t' w8 O hard about a subject as mundane as triangular factoriz
, w1 t3 E8 p! R& N6 f v P9 t -ation of an invertible matrix and not perceive that,4 V/ R5 e# y8 m1 |0 R) D( h6 X# ~% w; O
with suitable pivoting, the results are impressively
. o/ k. `( F) y' I* t# m good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on0 K' a; w9 k" K$ U9 s& i4 |: ~
experience, concentration on the inverse rather than on+ [1 m3 n* A- z; O
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.; l; k6 t+ \+ h* V3 {
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a* F" P" A+ D/ s9 {
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem: l3 ]" W& ?4 K$ W* [6 n4 m) R% [
for at least two years after the appearance of QR? Why" `$ z8 @& s$ T
did more than 20 years pass before the properties of2 E* X, \ p5 R- Y6 N$ I# l
the Lanczos algorithm were understood? I believe that2 R- B3 Q& y* `3 I3 r
the explanation must involve the impediments to' d" c+ n+ s5 O M' w* ~. ]
comprehension of the effects of finite-precision
0 k5 l" F; m+ r* z2 Y9 d arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf )
) m+ N K7 \. h: c5 l 3 _ }, l: T4 b5 }, h E
既然是计算数学专业的学生,就不能对自己领域内的专家不有所
) g' Q6 z2 k9 \ 了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
5 f6 e: o; l6 u8 H. X 院士独立于西方,创立了有限元方法,而后又提出辛算法。这里8 `- ~+ V, s/ @! i4 n
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家,因为他们代表了当
1 ]) m+ o' Z* e2 i- a 前计算数学的研究热点,也反映华人对计算数学的发展的贡献。
: B h) q3 J2 H' i3 d0 o 7 ?: }' ?. C. O2 e* ?
侯一钊(加州理工)5 s/ h* E* _4 G
研究方向:计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流5 `4 W' o, |) V
http://www.acm.caltech.edu/~hou/ & E- V6 K- r; x( j1 J: Z5 C1 F
X; @8 H) W6 q( K I' I2 e$ N 鄂维南(Princeton大学)- X+ M) v* }2 n* d# f
北京大学长江学者,研究方向:多尺度计算与模拟/ H3 f7 `, m M
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
/ \# a6 n' n0 f1 S/ t' {& ^% L 9 I: T1 p- B$ h. j8 {0 S4 U c
包刚(Michigan州立大学): p5 }8 V! h3 B$ ~; y, u& Y8 N
吉林大学长江学者,研究方向:光学与电磁场中的计算等) ]! k: u+ u6 ^' I0 I
http://www.mth.msu.edu/~bao/ 7 J( ?7 D4 @) M2 N! R* \
* c: u3 n3 \4 |( s1 {5 I8 { 金石(Wisconsin大学)
4 ~, S1 p3 w2 M 清华大学长江学者,研究方向:双曲守恒律、计算流体力学、9 o! d3 {4 e6 P7 t7 t% u: e1 o
动力学理论等
# |$ W3 ^5 m6 T- @9 k$ |9 u http://www.math.wisc.edu/~jin/ % P" m+ Y2 x: g* |: V2 b
! ?5 V6 M5 l1 I/ f, w 汤涛(香港浸会大学)- C* z+ ]: ?, Q0 h
中科院,研究方向:移动网格法等
* Q- c0 v- z# z% {4 n http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
, [6 d- @ g3 o9 p
5 `: y( I& m( P2 ~( a 舒其望(Brown大学)* c8 a, \; h, E# S: {* m8 J* |
中科大长江学者,研究方向:计算流体力学、谱方法' I* H1 c8 _! ^: G
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
! D' t; N& K h: l. ? 9 n1 Q2 l% ^- [ b2 A4 t
陈汉夫(香港中文大学)
6 [. x9 C1 i3 X: t 研究方向:数值线性代数 [" ^ o4 M( _* S$ T' T1 i+ N
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ / f' c% y- R; E9 C8 S
1 K# }6 C x" S- M" r7 c4 U 许进超(Pennsylvania州立大学), S4 a2 n3 a8 U3 }# |
北京大学长江学者,研究方向:有限元、多重网格法- i- a0 {! M6 C# L5 x& n$ \1 m, b
http://www.math.psu.edu/xu/
b; T4 ?7 J* A! A; z
% I( S" {% O' l" o. r0 b% ^' C 袁亚湘
. p& U+ q" C6 i P+ S 中科院,研究方向为非线性最优化8 s& N7 o% d9 c* U9 Q7 k' o$ O
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ 1 Z5 @, B+ U- S9 O. _8 v
9 F% v9 V% J+ `, N7 \ 张平文(北京大学)
( J) i( Z x0 z1 g 北京大学长江学者,研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
2 P9 |, f' ]0 _& p8 w9 @7 q1 t- t 模拟、移动网格法等/ i! b( u1 t2 Y f$ C: X
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
, |& W- u% o7 ^' ~6 K
4 C& q, c7 ^( S Y 陈志明(中科院)6 ]% F/ e$ i$ v: E
研究方向:科学计算与数值分析,主要为有限元法
( I5 g% p1 ?( y6 Q$ d http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html 4 N+ l- P5 y: q( X
* {; S! }3 n% c+ B4 a, W" W 其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
$ R! e5 c: Y, U
4 E7 Q0 Y- l9 I7 o 作为计算数学专业的学生,经常阅读本专业中的主要杂志也许$ Z5 L y+ p) G
是颇有裨益的。1 J- b' ~* ?$ w# I) j' ~
理论:
$ M( o& v& `7 u/ l2 \ 最好的基本是" m3 h, r! |4 v3 S6 W4 p5 B
Mathematics of Computation1 p E" \3 q8 H/ I
Numerische Mathematik/ S2 z; b: n6 K' a- O5 ?: R3 H# e
SIAM Journal on Numerical Analysis
2 _+ J& c4 o7 D+ t. r. i SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
4 p) _- K7 l- H. @% y A. G SIAM Journal on Scientific Computing' z& ]2 H% W* T4 u% T6 V* k/ A) N
较好的有:
" h S6 L$ [5 p# ?) H8 m& `* U BIT: |* l( i6 i- J9 j9 [2 @1 a4 r
IMA Journal of Numerical Analysis
" k5 i! d0 T) P; ` Advances in Computational Mathematics
5 \) y) D: U1 a Z Inverse Problems
( O5 z1 t( j0 f" `) t+ K# u
* g1 L" K! O5 n; A6 t; }' ~ 还有应用性质的杂志: l n/ p& a( J* j/ j2 d' W
Journal of Computational Physics
* l1 M+ j& H) x( D International Journal for Numerical Methods in Engineering- ^6 g8 F# C8 d
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. |2 ]# P% [# p9 D8 \2 Y: F
International Journal for Numerical Methods in Fluids5 a1 e0 S5 A+ F, \- t! T+ u1 c
Computers and Fluids2 L" z/ {- ^$ h
Computational Mechanics
& _- @' b! f4 ]( O7 a 还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊:Journal of
( e5 b: A7 g) ]( {: o7 c: B! E: u% X Computational Chemistry,Computational Material Sciences. P0 o9 F5 [' f, y
也可以浏览。
/ X b6 [: a# @# b% P
- u \( m0 _8 V L 但是作为入门来说,大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
4 j9 y. y# P( }5 y+ Z 了解、把握一个领域,因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
/ w0 g2 P$ f( `, l$ j 学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出2 e1 l0 j R6 b q& x2 S) c, G2 u
版一本,作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
! @' J: d0 t8 L$ E- W8 q" c 非常热门,05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写/ x {4 y) C* m0 m: w
的Level Set Method in Image Science。其他论题有:entropy- a' F4 P/ d- d' [$ M+ r' R
stability (Tadmor E),radial basis function (Buhmann MD)等
- G1 z' B. s7 I% f 等。该出版物我们学校没有订,不过可以从网上可以找到不少。我
. L) A( E d7 x' [8 q" [ 这里大概也有二三十篇,可以提供上载。
4 n9 N* H0 Z3 m' m' Q7 C
- g: U1 h, y, P5 J* L& m6 S$ o 另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文" ]5 M; M* Y* B# A2 ~
章关于计算数学的内容的,经常从实际问题引伸出计算的问题,或
( q' z8 y1 h, D 者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
- a; k' Q2 L/ W7 ~8 b0 B' s& { 计算的有意思的短文,不妨浏览浏览。
* n1 ^" [1 |6 M9 c* ]
* s% e. y5 |$ K; B( ?1 \ 作为数学系的学生,无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以9 q; R# v9 Q( `0 p- l( h
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。' h: \' e6 q* b6 Z# q ^ R
. R: W; H) A+ }$ e# I' g+ Q% j 微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分! z6 z2 J y. o
法、有限元法、边界元法和谱方法。
: C; k' V7 V" t. D8 l! n, i. V " Y7 g0 h8 ~& V/ I3 `
有限差分法想法最为简单,比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
" E' s9 X# E$ W1 A$ z 数值解》就介绍了最基本的东西:收敛性、相容性和稳定性。
2 x5 L% y% M8 I5 Z4 ^ Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value1 G. \+ u: N0 E' R
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
/ p0 _% S0 h n) S 《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
* L% r1 g& o. k' D 有意思,介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
, V* K+ T3 C1 [& y6 Z3 g: z 主页(http://www.amath.washington.edu/~rjl/ )上下载,他的另
: F4 |4 X) _7 o/ W. j- s 外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律5 ^, U/ Y" k/ U! E
数值方法方面非常出色的著作。0 |) x7 a' y5 P* H9 S V D
! I7 q6 [" t' p! s 有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method; `: |. ~$ |6 Z7 n/ _1 d
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材,另外Brenner& F& f8 o1 H6 |5 u+ i
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
* {6 c1 y1 p6 v, d2 G8 H Method》据说也是不错的。
# x% @! W/ D, s% r
. j( Q/ K5 L. e7 M4 ?( ^" l' p7 ~( _ 谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
$ `4 i5 p$ c; d: Y/ C0 X4 K 郭本瑜教授在这方面做过很好的工作,他的《Spectral Methods
1 |! v# W* q( t" q9 ] and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
! B% K5 |5 G- n/ m1 [' [% s 很出色的工作,他的一个讲义可从他的主页(http://www.math.purdue.edu/~shen/ 8 i$ x H) F v/ \/ d3 |
)
) a$ u2 J n M$ y# X1 ? 上下载,同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的! O/ O' x: s% f9 s* R
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》,其他的还3 L# _' _' c# d7 v5 J0 A! ?4 }2 R" u
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》,不过- r7 ~1 T- z# p
不知道能不能再学校里找到。
, i* V0 F3 m0 h4 ~2 \
Y6 C3 V( S3 E' x# a 除了上面这些方法之外,还有近年来比较热门的无网格方法,这些可7 L. g5 H4 S s! K' {( z
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》(清华大学出版社,2003,50¥)。; j- O7 n$ C. @' i
9 F( M( n# Q9 _; { 计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional/ j8 y$ X# D- U
Analysis》(有中译本:吉田耕作,《泛函分析》)或者Rudin的2 O8 C# e. g' F
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的,但是也是非常2 N& m, T( G0 i; G0 G
经典的书,可能当字典比较合适。但是,泛函分析里面重要的定理3 n- x, q8 }6 [3 A/ C
在计算里面并不见得特别有用,所以我们要甄别那些可能有用的东4 `" l& R+ U+ I
西,Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 s- @' M* @3 p, P: f: _% f6 T
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由,如Holder不等式的导
- N! g" Q% K8 O1 O% q 出,也有泛函分析在计算数学中的应用,比如Kantorovich迭代收敛
0 F* E( g8 ]2 x3 F) N4 V, \ 性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用,里面. Y) y6 ^. Z2 T9 A
也有一些应用于数值计算的例子,比如Lax等价定理,值得读一下。+ ]* C& V/ B3 D* }* A o
" M& r! e3 m0 r; r1 } 计算数学还有其他许多重要的分枝,如矩阵计算、反问题、计算流! i) z5 G; o" a7 A# }) J1 |1 s
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少,这里也没. ?' R! m2 O# K6 `
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。0 F' s+ Z( X9 ]1 W1 c1 ~. o
' H' F! E+ z, j% e# C$ n( ]) d
最后补充一句,订阅mailing list也是不错的,可以迅速获得关于
! y- q; e" M+ v# \+ M1 R; C 计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM,可在下
4 T+ ]! l" w4 n b* F, a, C, U5 [ 面的网址注册. b4 {4 g, l3 K5 C% g" p1 L# R
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html / N% `0 o. t3 M2 x" p
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http://www.netlib.org/na-net " {( K: Z" w% \ w# G; X4 d2 O
+ z( ~, |* B4 M5 _* g/ v' W
' U7 \' I3 K5 s. v5 w- F ! T4 Q: H9 m. f% G+ Q$ s# w0 I- N
先订正一个错误:Sawyer的那本书的题目我/ V- h" ]7 W3 }0 ?. v
记错了,应该叫《数值泛函分析初览》,系资料室和图书馆
: r4 D( M- s: d& N 都有中译本的。' M/ h0 l5 g: ^0 f. [. E8 D
; }0 Q5 j. f1 m5 L4 F! `- L 接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
: W+ r7 W8 |( ?) e 在这方面有很出色的工作,中科院的白中治,北京大学的徐5 o9 b) c1 y7 }" k
树方,复旦的魏益民和曹志浩,澳门大学的金小庆都是这方
. H1 s! K/ e8 r1 j0 K6 t8 { ~' K 向的,还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
- y5 h, O* C% \* W) E! J 有很突出的工作,可惜我基本上没什么涉略,这里也不能列, Q$ s' x# V9 ^4 D9 C/ G
出来。$ C* s; N0 Q8 _; x4 b5 r+ c8 ~- Z5 Q
5 `- D! s4 T3 y" O" C) \ 国外的大牛有Golub,很多这个方向的大家都是他的学生。
. q: T! L+ n6 L1 R8 v/ _+ b Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,: y# x* g) v! F" Q( s) ~( ^
Higham,这个名单可以列的很长,这些人是矩阵计算方面, _0 y( D' ~6 p- \
的大家。/ n& M/ @; e% R+ z5 i* T8 B
! {- _# V. D* Q9 B$ Z
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
$ [; p2 [2 ~2 z$ S, X Algebraic Eigenvalue Problem》(有中译本,石钟慈等
( F+ X% U1 ?6 g1 K" y- H e 人译,《代数特征值问题》,科学出版社,学校图书馆有,
) ~$ S# Q, J8 |( Q& J 系里有英文版的)。这本书虽然老,但是据说读一下还是% u4 A. z% B( r$ T+ S _
很有启发的。现在的经典是Golub和
2 p/ G, S( u$ t" K' B van Loan的《Matrix Computation》(有中译本,袁亚湘译,
5 Y6 l# G0 \1 D% _- B* z& c 《矩阵计算》,科学出版社),英文版的电子版可以在网上/ K# T1 h. v5 G
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
5 h& r! E' ~* j( ^ Algebra》,Trefethen & Bau 的5 d% J% x8 W8 ~ Y
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
7 o+ x7 m* _! |0 {% o# x# _* Q Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
- O1 S. t0 e! }8 A) ~9 ? 和《Numerical methods for large eigenvalue problems》,9 U3 u: C4 q: U0 |+ O
写的挺有意思的,在他的主页4 S% A' z0 d: }2 r# J5 m" Q" w6 A
(http://www-users.cs.umn.edu/~saad/ )/ r! r- ~* M; t* L$ y
上可以down。说到矩阵计算,还得提到Householder的一本老
5 M4 Z$ A% O) | 书,《The theory of matrices in numerical analysis》( g' D& A8 Y7 I$ G, S
(有中译本,系里中英文版的都有)。' Y! a4 d6 N9 g5 t* c9 f' V
! W; f7 ?! H9 ~' Q! C0 } LN Trefethen现在是剑桥大学的教授,他写的每一本书都很经典,! F. }( B4 ?9 @. Q- Y ^# P
前面已经到过他的几本书了,《Spectral Method in Matlab》,5 N. c$ Z9 Y/ U, ?. D* `2 X! w
《Numerical Linear Algebra》,还有《Finite Difference
) O( p, d( k, ]2 c and Spectral methods》(在他的主页上可以: ?6 K- w% z* U9 V
down,http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/ )5 O: n7 M7 T1 s& s1 ^( m5 t9 F0 ] I
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。' V+ r4 i: H; E9 ^ S. \ @% H$ Z
6 X" Q( }( D& {0 O N( W5 L" W! K 他在Cornell大学任教时,曾上过一门课,就是阅读数值计算的经, q6 Y: e3 K5 J( Z
典文献。为此他写过一个短文,列举了数值计算中的十三篇经典文
. e/ m/ }! d: i! H7 E 献,也许对大家有点启发。
; @: D: d+ m+ D$ V8 p& M " d1 t/ K3 L0 A* w( \. H# P
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform, H0 Y; Y0 \$ L: i' ^
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE3 N$ u( b4 O P& h
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
' ]7 _. c. C( Q( v4 l 4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
7 `0 {+ v! ]* C) a: y) N* t 5. de Boor (1972) calculations with B-splines
" N% K! S. D, i8 |+ Z 6. Courant (1943) finite element methods for PDE
9 ^0 o& J) A& ~& p" {8 ^1 ` 7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
& B+ g9 q1 F; K* C, L 8. Brandt (1977) multigrid algorithms- ~1 o2 z7 t+ z: J9 |
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration2 l9 X) W) X- G; X! y
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
# g( P' g3 {9 ^# o1 |! R 11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
0 b% k- E7 P) E0 S 12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.5 {9 [2 V4 X4 \+ m1 y
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
0 r% i. k+ p; R! k
4 I4 H) ^4 k6 P0 D/ b/ C 他的remark也很有意思,We were struck by how young many" a9 N J6 F6 u8 `5 c2 n% s/ {
of the authors were when they wrote these **s (average D! ?8 [. U q8 x- r
age: 34), and by how short an influential ** can be
5 z1 D8 @4 {' q# Q2 g7 } (Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
v- P: p0 w/ C, Q 都还是很有希望的,呵呵。; y5 p2 ]7 h+ I( J! ]9 O
: [5 o5 C' W: C4 i/ s5 U4 e* G
$ b1 G8 H: L& x2 g$ }
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下& E x+ O/ d- U7 g7 w; v5 a
0 Z" R! C9 B* Y+ ~) l 几本杂志:Inverse Problems,Journal of Inverse and Ill-posed
2 ]7 ]0 T% e5 P& e" e
9 E4 ]# S1 F. D: I* y: g Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
`2 |8 ?. U* Y- ]9 f' n
/ b. R$ u. F/ l |/ \ 叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好,第二本杂
# ~8 Q9 n1 [& d0 G1 l) u$ z / i. ^" f% b+ p+ O
志上面有很多苏联人的工作,第三本偏向于应用。在很多高档次的: m* Z/ r5 E' B+ v9 J! S! Y
2 \% ~/ g4 X: _ 杂志中都有反问题方面的文章,比如SIAM Journal on Numerical8 p* B, u F, V6 I6 q
3 a8 ~0 Z$ C' s4 f2 y/ |) `
Analysis,SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
) B. h4 v( Y5 [1 `; d, q. _
4 l+ m# |, u/ S, S) m# N Journal on Matrix Analysis and Applications,SIAM Journal on
V" r" d% W, W2 w7 K8 c1 Y ; D0 U; o& j+ W8 [7 b" N
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
! B; s+ L8 h. ]" s1 a7 Z* X( U
5 `6 O; [3 H; l: q2 I; ]+ ^* f 在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师,他在反问$ Q. K0 O+ V( k5 N2 {* H
( `( A6 e2 P- h3 n3 F6 P, s, D) Y
题的理论估计方面有不少工作,南京大学的金其年老师也有不少好
: M" d2 A- W$ |2 a + g. A. B/ [+ [9 |# E
的结果(很年轻!),哈工大有几个人是做应用方面的工作的(他7 c- J5 b- e/ k# p8 Z3 s
& K: w4 p2 f# ?! E4 T4 d1 B( Y 们的前校长就是做地球物理中的反问题的)。国际上知名的有HW
' D1 x3 {: `+ Y! y8 q; P
; D/ z/ W; [* m" _; g2 g Engl(澳大利亚),Yamamoto(日本), Kress(德国), Martin+ ^& u! T7 X8 ?3 a' Z
# j) v$ _: v7 r3 S. w Hanke(德国), Isakov(美国)等。
2 Y S$ s" ~& q
& Y+ W/ @: G* `& P- Z3 a 反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密,往往需要根
W; H( y4 z$ Z
/ G& P% v% s4 q( b9 X0 \ 据问题的特点设计专门的算法,这也是反问题的难点所在。很多应
7 U( R& Z# h& J
5 f& u" E- \ B- V$ e7 W6 V 用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。0 o+ U. F6 z8 y6 B' |
% A5 x0 u& R8 P 水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
1 _: f: [- m* S" k 的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问% a+ e6 S; d5 }! k) d
2 c6 V4 j: [& Z! `
题,但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水1 u. b/ m" Q' T3 d8 Q
. }2 T% F2 `) V$ J# R0 m! W% {9 N 平集方法应用于反问题(发表在Inverse Problems上),在国际上8 O- s( _3 e0 n
& X) d: j$ i' q+ t
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher5 M0 S# Z' Q2 I- ^( E
! P3 o) F0 h' n. | 的小组作研究,并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一( V3 a t% q4 Q) P
! H# g3 ?1 a7 b& a( B& g0 ]
个综述和展望,值得参考。
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反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
+ o9 p; k9 M9 P7 v8 [0 p1 |1 I Ill-posed Problems》(有中译本,《不适定问题的解法》,学
' l$ Q: [1 ~( P$ f8 A 校里有,英文版的系里有)。现在反问题反面每篇重要的文章基2 z1 \$ l. b( H- y
本上都要引用这本书。这本书比较抽象,算法方面有所涉及,但
5 n6 Z3 z. Z0 Q0 z$ y 是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
# e4 l. _; q5 u" [2 x8 w1 { 题理论方面的书,还写过一本算法方面的书,可惜书名我已经忘
/ ]9 r5 ^' Q4 u4 A 记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
, w, p# _& x# K) o' N4 v regularization for Fredholm equation of the first kind》
$ `# ]5 a* W, c8 \ S! v" X 是比较好的入门书,这本书比较薄,也比较容易读懂。读了这本
% r7 t9 o V v8 ?! h 书之后,阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的! m( T0 ^# G, j/ o8 e& C5 F
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
) O1 M% E7 { f& r to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
/ B% s0 g W( t% W) {# m, e* s+ [& D 的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的' e( y: f# z, l; d% z& H
《Regularization of Inverse Problems》广受好评,应该可以
. W8 x6 @1 }) u! i 作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多,如Isakov的; ~4 i: {7 H7 R6 i& s9 J
《Inverse problems for partial differential equations》,, }& F1 I; i3 U
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
! H' D$ p: H5 V" }8 Z Ill-posed Problems》应该也是不错的。
1 A8 x% D0 q) S' m" ^7 p1 \ + V6 g/ z& Z; ]8 i. z- e8 Z
在反问题的数值算法方面的书籍不多,只有Hansen的《Rank-
+ B) I% U" P* @) M0 F' S" P- v deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
8 l2 m. }, K; J+ \7 S* H0 M 《Computational Methods for Inverse Problems》。两本. h9 ?5 \3 ]7 N* c
书都是非常棒的,要求的基础基本上类似,对矩阵计算的基& d( H1 ~3 C* v a& b, a
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同,Hansen的书容易阅" Q: y( x$ i) ]
读,所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
' a( l" c/ _" L, K2 U* s: W 化,涉及的范围也稍微广一点,比如说很重要的Total9 p' o; ]; D2 k/ Y' [0 l
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论,但是
3 o3 @$ ~6 q: A8 O Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该9 h8 o6 }- M9 O* |2 F- g6 @
也有很大的参考价值,可惜我没办法搞到,所以也没法评论+ `9 G% w1 c8 Z; N7 _
了。2 `+ R; |+ h t& w# p- D9 M+ M
9 D8 B; Y, f- a
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到:$ D/ I5 g* s8 ?2 f% A n
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html 7 k! n/ W* o4 u* R
+ D& \" h# a% v4 ?+ \ 计算的热点似乎有两个特点:
4 ~& Y" p y" o+ P, m 一个是与具体的应用结合形成新的学科,比如说计算流体力学、
4 n6 i4 F7 M& I1 i0 U 计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
0 O3 ?# d9 j1 Q. \/ y M 科的发展做出贡献,也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三+ M. `; R2 J) k9 w! N3 R
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
2 c U6 B6 R4 N( z3 B! ~ 中的一个热点,可以参考鄂维南老师的评论文章。
" o! ^& C7 s3 Z# E9 U - @% e, _4 x$ O5 V0 X
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微5 s# A' R) @$ ]1 L" y8 A8 E
分方程数值解法,拓扑引出的continuation method。其缘由可能" o6 K3 W6 ^5 J# ^+ w& ]
是基于某种物理上的考虑,但是可以通过引入新的数学工具来解决。
% H! K2 h k1 b7 _' {8 T9 w 这也应该是一个值得注意的地方。
zan