虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内： * D1 A/ E! f2 J- U) z9 ?0 m8 G$ ~* w6 _, x" n: R7 R
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调 / K/ r' x- F c7 Q4 m& @! D0 d# W了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 4 F7 F; n$ g+ E2 B- _3 r最好地说明这个问题： & V1 c' v7 J2 I) s 7 `! x) g+ R+ g8 m8 p. d+ f0 HHow could someone as brilliant as von Neumann think, J& r: t- a/ |9 g+ _8 J& w- F
hard about a subject as mundane as triangular factoriz# U3 M* n8 [6 H( p2 E
-ation of an invertible matrix and not perceive that, ' [8 Z" t7 s1 _9 C5 j2 `) gwith suitable pivoting, the results are impressively ' C9 h; b: l5 o2 lgood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on# _" d& f% \- B/ E
experience, concentration on the inverse rather than on $ o/ A/ F' L5 N7 M9 \8 `the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. ' I" o; G+ q& ^1 Q' ~5 jWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a& v% ~8 z0 G) Y$ a1 S
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem$ t$ k4 g! x! O8 O$ b
for at least two years after the appearance of QR? Why! Z' |, E8 F: V
did more than 20 years pass before the properties of4 Y% o& D. p- m9 m1 j$ n
the Lanczos algorithm were understood? I believe that8 h, U" I1 B% h; m$ Y* l
the explanation must involve the impediments to* t5 ^6 h" ?3 n1 c+ r
comprehension of the effects of finite-precision 5 }9 B' P2 X7 [ t2 I# ^arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) ' q; [; b( e4 Q# Y2 Q& t/ l; u$ R/ U% |( e) H# c
既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所 ^! z8 c/ N: N$ ^+ s, k了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康' c/ a, G& W. X+ A4 e7 D. a
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 4 ?: [: |$ V+ ~& E/ j# H0 E8 w( o只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当* ~6 t0 Y; R8 } W- E2 A8 b
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。8 p n! T: \5 h- a2 w
2 H& \' b. e- k+ S. o0 r8 j
侯一钊（加州理工） h$ x# m$ }6 e. x; C
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 - o. b/ ]" K, D; Y0 O" U9 G" \http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 4 m2 I$ U- }- P+ p
2 o7 W# ?2 M8 E- J$ a6 N鄂维南（Princeton大学） / n: O/ Q. l- f- N2 R1 s北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟- o9 O2 p' S+ T4 i http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm / k# t2 N' G/ i / ~# Y. |; N$ a; M- ~+ G% n包刚（Michigan州立大学） : K& S$ b R ^" G" {+ |9 S4 S: D吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等4 Q/ X4 c; U* ]" W4 w http://www.mth.msu.edu/~bao/ 7 R( p/ @5 Y. f1 z" h# V% v' l& D
1 J o& B: S* O8 u0 Z7 M; Z1 X
金石(Wisconsin大学)+ Z( W- R5 R& ^5 E4 \
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、 : M0 b; J" M! \动力学理论等( j# A% v# I: P# T http://www.math.wisc.edu/~jin/ 5 c2 }2 e+ n" d5 C1 m/ K" N! o9 D q
汤涛（香港浸会大学） ; b; a Z& Y* t7 ?! B' L中科院，研究方向：移动网格法等 8 Q, K( } C0 y: t chttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ K2 K. f N/ x' z. T% \* p5 ~ ( Q! _1 f$ g1 K$ P舒其望（Brown大学） 8 I/ g' o7 t! {6 e; B) K中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 + N; \& n+ f8 N" B2 A& M4 m2 Bhttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 7 ~+ \7 ]! J8 w3 q1 v. O$ O; k - y& }* g$ S5 i% o3 T; l- X% A d9 R: |4 r陈汉夫（香港中文大学）0 H9 ]. {9 V8 F) r9 f9 j% U
研究方向：数值线性代数 5 g, q" V" F4 C' q/ ?! v. thttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ * \5 Q2 p% p4 K " b. f& V4 h; j许进超（Pennsylvania州立大学） 6 {" b7 e( b* T1 I& {北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法/ u# W% q# d6 ~5 x/ B http://www.math.psu.edu/xu/ + j4 d* L; U% C
' Y0 z; C& H! @! t: ?1 y
袁亚湘4 L& `6 Y7 D# v: L3 p2 ~8 i
中科院，研究方向为非线性最优化 1 u$ o$ k! E/ F- A) J1 v* R. thttp://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ * K+ D% Z0 _- H5 v' j: x" G+ ]" @( e* E. l( Q( W# @
张平文（北京大学）. {6 i9 ~ g8 `$ ?
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与: J+ W5 {1 e4 Z3 D5 M/ _: m
模拟、移动网格法等" ^* A. ^1 A$ m( Y http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 6 v( O1 |* s+ @ G9 W. L
. t* R( d; S! z% C& q, Y) S
陈志明（中科院）2 g* M7 i6 ~5 l! `' m
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法/ q! o8 h$ B6 l. H http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html & x+ [0 K3 g* X1 D# U5 U, c ; U0 b0 @8 H3 p( Y其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 N- _1 H5 x" R1 W7 b4 D9 `7 N; n9 h3 Q
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许# f8 l) o) A8 p9 h2 ?& E/ o
是颇有裨益的。4 c9 C9 H+ I" w: n1 n1 a4 `- Z
理论：# Y M$ Z4 \0 d; L5 @
最好的基本是2 Y& U o/ L$ T, e0 f8 k, q
Mathematics of Computation ! P' |$ X& ~4 r' [4 lNumerische Mathematik+ O& q$ K/ m$ f9 M
SIAM Journal on Numerical Analysis * O. b, q* e$ aSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications0 |/ S. K9 U$ ?3 Z
SIAM Journal on Scientific Computing + i- P0 d% y. a# F! ?6 F较好的有： . V1 A9 z" n+ X* c$ L5 _BIT# _- k T) F* E$ |
IMA Journal of Numerical Analysis 3 ]) I; W% ?: b; `Advances in Computational Mathematics 1 q& M6 \4 K+ y- B$ _- E6 y3 \! ZInverse Problems; w$ r1 y: Z/ m: Q7 t& U8 j3 L
2 g6 ^9 o7 E0 R' N
还有应用性质的杂志： 9 ^; C0 u S0 ~3 m2 X+ q; {3 } lJournal of Computational Physics, D# ~7 ~2 G' C! X( U% S
International Journal for Numerical Methods in Engineering2 ]5 T0 c- W7 n) e, D0 P
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering7 N/ Y. d6 y: k+ |4 O
International Journal for Numerical Methods in Fluids $ e- W3 U. F) w xComputers and Fluids , z8 J; m; Q/ S& x! @6 N$ ZComputational Mechanics + J1 J0 F4 \( t j5 u& P还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of ; M3 m, K9 i3 T! ^1 K( pComputational Chemistry，Computational Material Sciences8 }% l) ^6 q- q$ B* f4 H
也可以浏览。; y% Z) h. g) D7 e* p
) ?, O2 _& ]9 Z. _
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握1 T5 ?/ \9 t `* R9 }; r
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大 6 U0 I, N3 S1 ]% x+ H5 y学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出1 f% S( F! v5 l# z1 j8 U; a
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法' f8 ?. C: C3 v7 `* e. l6 |
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 - h6 j9 y1 C% R& ^# R的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy . f+ B, |5 q# c( x) d4 pstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 $ r% [4 N2 |/ h+ S( v4 e" Z+ Q2 j* v5 X等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我- b1 \, c- ? F. M
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。 3 b$ e& U9 k* R1 L* T' f7 T, c6 n0 W* t+ h: D+ S5 f5 z- [/ L' `1 T
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 ' F) ~: w* D! E0 z9 Z s1 F6 ^1 p" Y' A章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或: M8 K8 }! q% p7 S# M" g
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 8 { s, ~' w1 @4 K N2 j) u) h5 e计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。+ e: {9 u- S. \7 L" |
% `- Q6 C" @0 T作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 & {9 b4 g7 F5 `+ `称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。$ ]* Y2 f4 U, A( k8 ?# G: W7 E+ L+ I
4 o6 D3 C/ a8 X. Y) a, j! z
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分7 b5 w& m6 J7 o. Y1 t* P
法、有限元法、边界元法和谱方法。7 K" P+ s! G B8 b
! C& `7 T5 c4 c% w0 e
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程' t8 T" O8 y% H7 t# d" I- ]
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。9 k6 l$ W+ m2 h8 Y
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value ! h$ ^9 U) V6 ]6 @+ F0 P- H& r fProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 # f& O* V; g& s, @2 Q1 x《Finite Difference Method for Differential Equations》也很 # Z- F1 V7 B( M- {' i* A有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的1 ?+ [) E2 G4 U& D1 Q
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 9 b+ C8 Y6 |9 b$ F8 R, U外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 9 p( L' b& L& c6 R5 O0 ?0 R数值方法方面非常出色的著作。 5 Y m/ h H! w9 {6 m3 M: g- F6 z$ B8 c& H a
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method % }; P# |+ i6 j/ J+ Dfor Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner, e+ F( \$ n2 [0 O+ r+ q* J
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element7 i, l g1 @+ w
Method》据说也是不错的。) w+ S3 {5 I9 Z* G8 t8 F) o
7 k# N8 I% A1 @( o ~& F' m谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 1 h# O1 L7 l5 l; }郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods : K5 j. L# R$ `2 P7 s+ A0 vand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有+ a- O' `% l' ]
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/. \) @4 t9 S$ V7 V% U8 Z4 h
） 2 s. ]5 y l# S1 X, P1 ]上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的$ }# Q% P: ?# v% }% ^% f0 B
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还) P- Y* a8 x; \- R- m N
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过! V+ H1 F) x& z* f
不知道能不能再学校里找到。) k/ Z0 a& y+ y9 E. G9 V
" I8 j9 b* i+ c+ f [除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可4 L" D; _6 K0 P
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。$ v0 v0 k5 ?4 D0 S( n
) M; `1 t1 h7 X- V! R计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional9 Z5 m8 f4 x, |; B
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的9 g7 ~; ^ ^8 ?4 [' G4 ]
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 2 r) c5 n- T) M8 |经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理 ! R* F2 b7 ~* a/ H在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东8 f- b* g6 K, a; s( [3 n. I
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。2 z$ S" v2 u( u, o' B8 t( D
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 , W& a# G( \9 [8 y, K' r |出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 , c. a3 E' e# q性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 ! [4 B0 r! t0 D! g2 K也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 * C$ d/ `- N' K6 ]: p2 _% b7 }" a# k; z7 o# [0 v
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 ! |0 s3 T' `. Q1 P体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 0 C9 K! [; z) ?* D0 U有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。 . I! K# P' y. |2 T4 i: e 7 B5 \! k5 @8 U0 I9 u+ b* q最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 ) }$ B8 l2 \6 k计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下5 O/ U2 B+ P3 X* u4 \: V
面的网址注册% Y' Z, K G3 I, z1 G p http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html [$ m2 x( {6 e( t3 [8 Y英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册( e! Z8 ^7 N6 l; E5 x http://www.netlib.org/na-net % k4 }9 ]8 l; c$ v; o1 j
8 |( T) R; J5 J) p3 ^! x3 I M6 j- d国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。- b9 N# f4 ?1 h+ e0 _9 j* T
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, ! |/ k [6 i% D/ H1 x$ y! JHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面 8 d+ b2 f q- O% }的大家。/ z2 ]$ Q- }- ^& A( V' J
& \) K$ I ~$ H- V; M: ^) y& q9 b
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The & _4 i2 J" O& [: a) R/ \Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等2 @* H: V' d. d* Y
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，" T. ]" A. N" n9 ^6 r1 j
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是5 ^% N7 v: H9 c2 s; G
很有启发的。现在的经典是Golub和* n* z3 Z/ E/ Z" n1 U' o2 E
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，( X+ w: c% v& T9 i- Q
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上& b) X1 m3 H8 m9 @
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear 1 k, ?- ?( ^+ a. GAlgebra》，Trefethen & Bau 的 3 S- h2 x- O. K T《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef3 u( D* f5 @! k" I/ o2 W6 \5 e7 i3 h
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 ' ^& B, b* w+ N, S A和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，9 }/ k; r; `4 v6 Z6 Y
写的挺有意思的，在他的主页2 t4 S# F7 J8 G( A3 L
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）' G: T) W4 j* L% {
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老; S& h. x0 M6 C! B+ N+ \
书，《The theory of matrices in numerical analysis》1 A$ M2 j3 S, R* P3 o, E
(有中译本，系里中英文版的都有)。 0 f1 r1 @7 ]& Q4 I& V8 l; Z! I" |% D4 @, H; T! P
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典， ; Y+ `: |2 P1 ]1 C. x3 ~前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，8 ?1 G- P2 e# [" Q: y# B$ O
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference% {0 w1 |- i; `8 M3 s
and Spectral methods》（在他的主页上可以7 n" ?4 K7 h" |5 Y" M
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）' `& _2 p* Z/ D2 z* b y
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。) F# o; t4 }; n& a( H
' z/ |2 P' u8 V/ R# W9 T9 k
他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 ) w0 f7 }6 t9 G Q( G" Z! t典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 & M4 o. a: P8 N, u; c/ g献，也许对大家有点启发。 % E; Z' i& l+ z( ^( } 2 A8 y; R( C. R y1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform $ T6 H8 ^# x( ~- f2 A4 X2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE( |: q1 z; S9 d% M
3. Householder (1958) QR factorization of matrices z5 n$ k4 x$ a7 E4 K& ~" J2 ?/ F
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas $ y4 C: ~& o$ g J, _" t3 Q# n5. de Boor (1972) calculations with B-splines2 L" L/ Y- v' j& k. D3 n
6. Courant (1943) finite element methods for PDE2 @$ c) V! p0 u0 U3 Y4 r, C
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition- g/ f* A9 T. ^
8. Brandt (1977) multigrid algorithms ! ?8 _; z. m* |3 V9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration ( |9 O4 S$ t" x/ H5 k10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates8 J7 H" Y1 @8 E6 I& X* @$ {$ ^
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE& x+ ]5 E: B& s; r3 U) O9 {
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. ! w- |: i# M/ |. e2 f |7 `+ ^. v13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles: w/ g, b9 i4 J
1 E. r* Z1 J. d2 ?5 b2 _* d他的remark也很有意思，We were struck by how young many % F/ N4 _* S; z$ Kof the authors were when they wrote these **s (average 7 p* N/ E. V6 P+ cage: 34), and by how short an influential ** can be; D) U$ n* t0 v8 y
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家0 U, }7 Y+ j( \
都还是很有希望的，呵呵。 + X; x6 C! u o! g- r* J3 {" M" n. t2 Y
7 D0 m1 f' y; `4 U9 \+ Z- O
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 ) R- `$ \+ Q$ `: d! A r' b$ ?* z6 P, G; I
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed % R, g) q Q& S3 N v " E( L, d& u g- E" wProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前* c, G+ |1 K& P& q/ F
: m( ~0 }! a s7 a& Q叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂 - K6 e f6 |& H/ a# @ 8 L! `3 C1 N6 h0 m, c4 ?* Q志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的 . C0 H* Y2 r7 w1 [5 m U: }9 j1 q+ ^7 @# g r杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical2 O. d8 N; J* B$ T# S( _
& |( N! G {! o) A" K7 S
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM & |& K) D0 q5 m6 W% @, P; C S % P) }: q6 F& L" T! yJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on" B& \, a+ m' l( M
IP卡
狗仔卡
发表于 2010-1-23 09:06
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