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谈谈计算数学(转自校内)

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自我介绍
hi,我是mzszrj,我是一名大三的学生,专业是数学与应用数学。希望与大家一起成长,请多多指教。
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发表于 2010-1-23 09:06 |只看该作者 |倒序浏览
|招呼Ta 关注Ta
虽然不是我写的,但我觉得很好,希望与大家分享。以下的内容转自校内:
: e# w; K% c% d
1 `6 S' p* p5 s0 a  F6 x从计算数学的字面来看,应该与计算机有密切的联系,也强调1 |) U$ F+ P* s% t5 d
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
* X- L7 Y0 T- n3 L) e  A- [4 I; ]最好地说明这个问题:. U; r9 _& Q# L* K

( [! J- _9 G! m- X+ XHow could someone as brilliant as von Neumann think' p4 H. V1 Z# @7 E- W8 Y
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
! g5 a# [4 r+ [9 F, m; k+ y-ation of an invertible matrix and not perceive that,
3 T2 N4 `7 T# B& ewith suitable pivoting, the results are impressively2 g4 E9 }4 X3 Z& B
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
* ^2 Y- I/ N4 }0 K4 mexperience, concentration on the inverse rather than on5 c7 z# l+ S3 t
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.5 v: W8 [2 t6 w
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a5 U3 x; t) D/ x
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
. H+ j! H4 ~+ B8 V; d/ c1 A. `$ efor at least two years after the appearance of QR? Why
6 {* h+ z- F8 c  r0 W4 tdid more than 20 years pass before the properties of; A$ W7 Z- d8 x# f
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
+ x1 r6 I  |) R- |the explanation must involve the impediments to
! B4 p/ p0 L2 h& qcomprehension of the effects of finite-precision; e- b7 l; L# r1 U. y. Q
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)5 b* k+ T* v5 n
! o; m0 v. ?" P: y
既然是计算数学专业的学生,就不能对自己领域内的专家不有所9 w* V! o$ I  V" w5 ?1 w2 V0 n- S4 W
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康# D; m' w4 k$ m7 k& ?' {7 v
院士独立于西方,创立了有限元方法,而后又提出辛算法。这里+ g* K- O* ?6 L4 i  X& E
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家,因为他们代表了当
" d7 T) }1 Q  Q* k/ m$ d前计算数学的研究热点,也反映华人对计算数学的发展的贡献。
* y4 g: p3 d3 y# z. w4 W. }# H4 N' W/ _! ~4 a' o7 f' z
侯一钊(加州理工)9 X7 |9 ^8 T0 Z( T+ D* F
研究方向:计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
3 b: G7 j' K6 i: U. s7 Khttp://www.acm.caltech.edu/~hou/
! n& q* p" B' l% }$ w0 M3 s& U
' T0 Z4 T! }" O7 e鄂维南(Princeton大学)" Z! P6 }1 F5 }/ o0 d
北京大学长江学者,研究方向:多尺度计算与模拟1 |7 }) H! [: D) `
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
% W% \. U+ |* S; ~" ?/ G
% B# D$ p$ _. s! M包刚(Michigan州立大学)
& n9 u/ ~2 O4 ~9 _, T, }吉林大学长江学者,研究方向:光学与电磁场中的计算等
6 P8 {! a0 _" ]2 p7 `* W' }http://www.mth.msu.edu/~bao/
. ]" k$ l. g( e0 y
6 |: _. E) T; A, `( I! |5 G8 d金石(Wisconsin大学)0 K" ^1 J* d2 M, m9 e
清华大学长江学者,研究方向:双曲守恒律、计算流体力学、1 x$ l" v0 s9 k4 s0 ^
动力学理论等
/ R# B& u" ^( D/ Khttp://www.math.wisc.edu/~jin/ 4 u) i  x7 R" y3 G
* M3 {4 X1 k" L6 w% ~" K
汤涛(香港浸会大学)4 v$ a9 ~8 ~2 X1 L! J
中科院,研究方向:移动网格法等
9 d5 N* g& X# y- N) c+ vhttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ 9 r: V8 n( J" m4 a" w1 r! h
" Y; K: ^5 J5 n$ |5 I. K6 @5 @
舒其望(Brown大学)
: `! l$ j+ ?2 e中科大长江学者,研究方向:计算流体力学、谱方法
5 q6 J6 @4 [, K- j- Bhttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 5 C2 W/ f9 @/ \+ r# V7 P( i0 n

& h' G& H0 Q, v, k陈汉夫(香港中文大学)2 P) w+ A  M& F3 x6 b" |; B
研究方向:数值线性代数( _" K/ P% O3 n4 l
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ 5 K* t& }# V: w4 \$ b
  Q/ E3 Y+ F3 c+ f8 `) a  x" q% g
许进超(Pennsylvania州立大学)) p: ^9 y2 \  n6 @
北京大学长江学者,研究方向:有限元、多重网格法2 R: c" [% b  |6 _) D
http://www.math.psu.edu/xu/ & V6 ^' ]  F/ g1 ^+ T, Y& T
! b9 w$ d$ Z. {- k, z4 @
袁亚湘+ X! z; Y# S8 _5 k
中科院,研究方向为非线性最优化, {2 `5 e2 I$ J0 h$ u: y
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ 9 c" e$ \  ?* i! k( \/ m

! J+ R/ {2 r2 b张平文(北京大学)2 w4 L* T( n% M  h% d$ `9 y
北京大学长江学者,研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与7 d  d' d! |. b! Z0 |1 g
模拟、移动网格法等
: {# f/ n1 U$ A+ W$ l  o  [http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
7 U% m9 P  J2 s% e8 Z# t
: n7 j; a! G7 g  \& Y1 v: ^" W陈志明(中科院)) a' g3 u! d" _2 @
研究方向:科学计算与数值分析,主要为有限元法$ N% C$ W$ W8 {- n$ i/ ?" g1 `
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
" r: C8 U# N3 P- o/ k8 |! A( U5 ?. N& Z, i7 z/ O# Z2 d
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
( j) }- M, T3 ^0 k; C8 y, `! Q# _7 n( x0 j4 M
作为计算数学专业的学生,经常阅读本专业中的主要杂志也许
* a9 e% H0 R, N  x! n1 q' ]" @是颇有裨益的。- Q  x  p3 S1 O+ Z( {* m! O
理论:# g8 }# X( i5 m& r# y" s, d
最好的基本是
% p  l7 P- P; @  y. m* {Mathematics of Computation, H0 P( l: [" ?4 v0 f+ L
Numerische Mathematik8 T5 _8 l) ?" z5 W% }0 i: q
SIAM Journal on Numerical Analysis" n" j: P, I3 U* I# i3 u. o( b+ E
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications& z5 ~, _( {9 X
SIAM Journal on Scientific Computing2 X, M$ A6 r! @5 [) c/ \% {* }
较好的有:
! m) ~, T9 c# I+ C4 {$ f# QBIT+ L: ~3 G0 l8 P6 y9 H( a
IMA Journal of Numerical Analysis
  m4 c1 v7 J  G$ z+ m$ vAdvances in Computational Mathematics5 \+ s8 v/ D2 o& L/ @
Inverse Problems, J- l) ?, e5 S! c
& A, ~' M3 `% ^) u$ {7 s) [
还有应用性质的杂志:
1 |/ Z1 [0 ~! A9 j2 j) ?: K4 @Journal of Computational Physics
) G5 g; L' h2 N- GInternational Journal for Numerical Methods in Engineering
+ ]' o: T0 B% FComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering4 w! @5 V4 `3 p2 ~
International Journal for Numerical Methods in Fluids: F  M: \+ L/ X4 K! A6 o. j. p
Computers and Fluids
9 C* V- b0 Y; F3 \Computational Mechanics* Q/ v1 `0 ~( j
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊:Journal of% i1 B; I2 }& k+ C0 j" Q) `
Computational Chemistry,Computational Material Sciences
0 P3 T5 n0 l4 S5 o4 \6 b. {' D也可以浏览。8 w; v( j7 A3 P
; P) }) L( Q, s9 v6 {8 Q: X8 \
但是作为入门来说,大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
0 p& Q3 L+ [3 X# |( D( O& P! j了解、把握一个领域,因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
1 k/ A+ B! }% T4 r. }学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
8 N3 `  V' m1 z+ F3 Z  n3 f( W版一本,作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
/ G5 q; w( s2 d5 a非常热门,05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
# c/ @3 N5 X7 ?7 @2 }( v的Level Set Method in Image Science。其他论题有:entropy' x) v/ w  q, r9 E1 k! b8 [+ c/ n
stability (Tadmor E),radial basis function (Buhmann MD)等
4 Z" ^5 V# [  y等。该出版物我们学校没有订,不过可以从网上可以找到不少。我# F& f+ _' {. U, X  }7 \! T" S: N
这里大概也有二三十篇,可以提供上载。* a7 \- y$ j- p$ U/ s
4 Z- {* m- |5 I4 N8 I- g1 C/ W8 R
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文! K5 ~2 C7 w8 F) t* l4 n
章关于计算数学的内容的,经常从实际问题引伸出计算的问题,或2 Q7 c6 ?6 i# K- i+ N; g3 t4 I  `" h
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于, O, J+ Y" E# P9 z$ F1 M( R( ^
计算的有意思的短文,不妨浏览浏览。+ o4 M7 H0 n8 a+ e3 y0 x2 j
0 z) f5 [& g2 F5 H7 a) x  O6 `" g
作为数学系的学生,无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以) m1 ~% Q8 W8 m6 C2 p+ n" k  D
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
6 I& x* L- N1 {! j8 J* R' ?" F; n8 K* n7 {3 ]) a
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分1 t! t# A% q9 S2 {/ `
法、有限元法、边界元法和谱方法。" W( r$ m# O% n& p% E
* _) T  J& g: r% s) ?
有限差分法想法最为简单,比较容易理解。李荣华的那本《微分方程6 A( h) O: ?; G: U
数值解》就介绍了最基本的东西:收敛性、相容性和稳定性。
9 `7 ]4 x* R( d. t3 RRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value$ F* O3 z! h( [/ V- _
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本1 W) C/ [' M! `6 G! a1 {8 k/ g
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
" S! M4 \+ E' H. n6 W+ z  Z有意思,介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
8 z8 x) l' y* \4 H" l2 k主页(http://www.amath.washington.edu/~rjl/)上下载,他的另
# t" F# E* d) u外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
/ G" T; |  l& ^数值方法方面非常出色的著作。
% M( t( t) P2 X% ~; N: L8 Z+ G0 o
& A3 U6 ?/ i% D) W. p" k- h$ M有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method/ K% i9 T0 {5 V2 n
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材,另外Brenner& C7 @, j# G  T% @' v
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
7 C( A  s6 P4 CMethod》据说也是不错的。
; t2 i" I. n3 K( P/ C; m0 J1 @9 q5 f  |6 n. N
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的, }$ ]9 d2 y9 ^% N+ \1 g- c
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作,他的《Spectral Methods
  g- s3 W0 T. w! y  ~; Yand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有+ R; Q) I, y& s5 W
很出色的工作,他的一个讲义可从他的主页(http://www.math.purdue.edu/~shen/4 N2 g( Z' S$ ~1 S

3 i2 j2 n$ @- t# T1 f  B上下载,同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的6 [( i3 k- k/ E
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》,其他的还
% {6 r% g: [% k& X& l5 i有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》,不过
+ o" l* Q' C$ n5 |# Z不知道能不能再学校里找到。6 x3 ]2 x! o6 ~
& R- T# _* N7 f. W7 s. I# |
除了上面这些方法之外,还有近年来比较热门的无网格方法,这些可
/ P! [- L% L/ j" m, z8 I以参考张雄和刘岩的《无网格方法》(清华大学出版社,2003,50¥)。3 X, ^. Y9 X5 w6 \: {5 z
8 x% O. M9 b7 \2 l8 @
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
( v) M2 ?# ~# B' b6 lAnalysis》(有中译本:吉田耕作,《泛函分析》)或者Rudin的
, K" G; l0 _: N+ m% l, }3 B《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的,但是也是非常: C4 I* }# R3 ]3 M5 @
经典的书,可能当字典比较合适。但是,泛函分析里面重要的定理- ?7 r$ I: V" w' O  V* n* H9 ?
在计算里面并不见得特别有用,所以我们要甄别那些可能有用的东2 d% R+ |( ~! j+ }  T1 l+ F
西,Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
3 W. t6 ^0 ]1 w这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由,如Holder不等式的导. X  f( F/ O! i# I5 x9 `; U( k
出,也有泛函分析在计算数学中的应用,比如Kantorovich迭代收敛+ q1 |- _1 t/ w) j0 l; V% i6 n
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用,里面
' h8 J# D' d' d$ X& a也有一些应用于数值计算的例子,比如Lax等价定理,值得读一下。
0 _2 a1 X2 l, B3 G7 s2 m0 F2 J0 v$ E* `9 _; }0 k$ x
计算数学还有其他许多重要的分枝,如矩阵计算、反问题、计算流
4 f0 }1 b3 U9 ~, ]体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少,这里也没7 D: x" }) K3 a& O& D
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。! ]" a2 r+ C& G
+ m( \& k7 [5 d8 q! J6 A; y
最后补充一句,订阅mailing list也是不错的,可以迅速获得关于
7 N* h2 u& P; F2 S计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM,可在下$ b$ f+ `( X' j! U& X6 e  d$ K
面的网址注册; T, B0 _2 G2 I
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 0 o+ W0 u  g8 w3 x! e7 w
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest,可在下面的网址注册1 H$ P" w; p  v1 a& z! K
http://www.netlib.org/na-net 4 d+ \5 y* Z" N, h* h5 a
, j  ^: R# h. ^0 O4 b0 j9 u. U
" }# k7 b! D/ u9 Z8 u, G, F
. S$ x9 |6 O& [* r$ T, |! E. z
先订正一个错误:Sawyer的那本书的题目我! }, ?/ d, [* |
记错了,应该叫《数值泛函分析初览》,系资料室和图书馆" e( k. f) O5 t/ D* a  q7 J
都有中译本的。
, _6 G3 Y% t! _) H. g3 Y9 i" ~3 [5 a
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
6 P% G1 M& |4 k" P在这方面有很出色的工作,中科院的白中治,北京大学的徐
: M/ H5 r# ?1 [8 M" c3 n7 [* d+ Y/ y/ L树方,复旦的魏益民和曹志浩,澳门大学的金小庆都是这方
& b' q/ A: k- ^6 C% S- k" \6 T向的,还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
9 f3 g( N+ H/ W( Q" t, ^0 H有很突出的工作,可惜我基本上没什么涉略,这里也不能列
" F6 u2 G2 W# v$ j7 U4 F出来。
8 a  n+ x9 E( s+ p* H- Y) |
$ w+ S2 i% @$ ~& F9 z. T4 O# ~国外的大牛有Golub,很多这个方向的大家都是他的学生。
! ?+ [& ]9 F; m1 [+ OKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
- u, A2 j- L% }Higham,这个名单可以列的很长,这些人是矩阵计算方面
( A+ ^+ ]" L  P) Z( A! G6 W的大家。+ w' j" C0 b. B5 u

7 m; A  ~& ]7 u0 \$ B+ c- z+ l矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The; Z: ?; P! D+ V' w/ k! {
Algebraic Eigenvalue Problem》(有中译本,石钟慈等/ ^+ G2 e9 E/ o6 ^& N
人译,《代数特征值问题》,科学出版社,学校图书馆有,
7 X4 J" g6 n1 d. x2 {系里有英文版的)。这本书虽然老,但是据说读一下还是
* B" k1 m- [  L1 w3 L" U, f. p3 z+ R很有启发的。现在的经典是Golub和2 ~$ v  \4 H! x
van Loan的《Matrix Computation》(有中译本,袁亚湘译,
5 ?$ T" o7 F% w2 ?《矩阵计算》,科学出版社),英文版的电子版可以在网上$ F, R, h8 b( p0 S" X# i! D
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
; M' X- n6 u1 c$ t  ]Algebra》,Trefethen & Bau 的5 C; G/ i- U' i- S7 j
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
2 z: C) F& p' ?" \+ |Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》( _( s' d9 G1 N& w7 U. U* |& o. D
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》,
9 o1 {5 a' d* j' H  K写的挺有意思的,在他的主页
* b2 t% r. c7 r; H3 Ohttp://www-users.cs.umn.edu/~saad/
  w. S, G: W! q上可以down。说到矩阵计算,还得提到Householder的一本老6 B8 j8 ?2 K* d2 F
书,《The theory of matrices in numerical analysis》& e2 v5 t7 n9 h' E
(有中译本,系里中英文版的都有)。
; r: r) F' N2 ]# ~3 W$ u
& J& o) ?. @* p. ]LN Trefethen现在是剑桥大学的教授,他写的每一本书都很经典,
! W4 N$ b8 g2 w- c前面已经到过他的几本书了,《Spectral Method in Matlab》,/ B/ O$ D( z" g& V' \! j$ x
《Numerical Linear Algebra》,还有《Finite Difference
6 a% L5 |/ d+ T0 j* Band Spectral methods》(在他的主页上可以
" f! Q, l/ T$ Z7 f5 M, p- `# ^1 ydown,http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/" {& ]0 l- `: D. |! w: t
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
4 g6 c0 C; |& D" T5 H3 d+ D5 q9 S0 E9 H, j3 L, w# o
他在Cornell大学任教时,曾上过一门课,就是阅读数值计算的经
& m$ b( M* C' S; @6 ^典文献。为此他写过一个短文,列举了数值计算中的十三篇经典文
( x+ h; f7 d% F5 n' i/ T- L献,也许对大家有点启发。
" l+ P; W) P  C2 M: N6 R6 z: {# I' I" H3 L
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
6 e7 o- O# u. j; J2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
; I1 n7 K+ S( f. z9 k2 x( g0 X$ [- ~3. Householder (1958) QR factorization of matrices% R' T9 d: R3 \% a9 R
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
: e0 c/ V/ o/ k4 e% K3 w9 B5. de Boor (1972) calculations with B-splines) p: U0 a, ^! M! \4 H+ M
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
. T3 V9 e4 v. n, \  o% E7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition. s9 ]# J( ?& p7 w
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
! f& {9 r# G/ K9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
1 L: a8 ~# c$ [: z7 U) Y! M" Z10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
4 @" j1 B, Y9 Y  I* _* l11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE. s) F* K+ b. q, p( l
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
/ p/ {' s9 Z, {3 P1 T& v; |0 b4 L13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
* y9 S5 _6 }0 q& H+ }0 d
9 d1 l1 Z1 v, ]+ K  ?他的remark也很有意思,We were struck by how young many
3 k8 _6 x* \" L: S5 Kof the authors were when they wrote these **s (average, i* t4 n" U7 e& e- }# |
age: 34), and by how short an influential ** can be
* i5 H/ a( c: M7 ~7 B& g(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
  z5 i4 F% R, i- U" W; I都还是很有希望的,呵呵。5 L5 x$ c8 d1 D, Q+ f+ g5 _! Q
! u9 d+ {6 [3 L# z

# ?( g  v1 m4 N+ N3 i反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下& K/ \- j0 @8 }( m  Y% ^
" e, d7 z6 P& _# O, Q; i: o% V7 B
几本杂志:Inverse Problems,Journal of Inverse and Ill-posed4 j; t# t) e; z9 h

4 Z0 Y9 V8 P7 _( s& o3 p  F# A/ h- ~' L- ]Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前7 Q- ]# n2 y' v' [: g( x

5 d2 o4 Z" U# `3 a- a& Z叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好,第二本杂$ Y. D/ f- m) d7 ?0 F

, K1 y( ]  W% T# O( S7 Y, h志上面有很多苏联人的工作,第三本偏向于应用。在很多高档次的, [: {; W: {& v$ Z0 u
/ \( u2 j7 N4 r- I% y" ~; ?# p
杂志中都有反问题方面的文章,比如SIAM Journal on Numerical
  r5 a8 m- |! o: d' [" F9 h
# L7 p. ^% ?# a! qAnalysis,SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM, H/ R0 O9 j' @$ V

2 ?7 O5 t; e1 A3 @9 O5 xJournal on Matrix Analysis and Applications,SIAM Journal on
* C2 n! A8 t  T- y' e
7 ^8 A. w# q: h6 l& q- UScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
$ n* H6 R3 \0 @, B, m8 K# d$ B$ ^* y; Z3 P" X- T! f4 }; D
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师,他在反问9 s/ L9 o7 }% r3 B1 U) E# E

& t7 o8 n' F* J0 G- I- ~- \题的理论估计方面有不少工作,南京大学的金其年老师也有不少好' O; k9 {# M4 u$ }+ ^+ R
* E. b) j2 g. W* ]8 c/ O
的结果(很年轻!),哈工大有几个人是做应用方面的工作的(他
# d" T8 n3 o. H' _
4 T4 d8 r$ Q  M! C; e9 [' _4 b们的前校长就是做地球物理中的反问题的)。国际上知名的有HW" _- k4 T! m3 E4 T; j
! I/ C" W9 V6 |8 `% \% A
Engl(澳大利亚),Yamamoto(日本), Kress(德国), Martin
( d) {# S& p  W$ f6 f& F' s1 @' |0 W* G+ p0 ]3 z- P
Hanke(德国), Isakov(美国)等。" M8 [+ b/ H: i' @# R- f  [4 b
# @: R. q  V/ }% @
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密,往往需要根$ B7 D  o0 a0 C

" R' k* ?* w' E* X( B& I据问题的特点设计专门的算法,这也是反问题的难点所在。很多应/ v% |, d5 Y$ L7 V0 {/ r

. m& K5 D9 t( P6 I* h8 r用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
7 C- t& b7 `4 }, ?; `% W- a) }0 j+ H  _! b% {4 _2 u6 H' n
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学% P$ h1 g8 o/ S/ g/ y: D1 n  L
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问2 U$ u4 X6 s6 o2 z& n

9 r: g, ?0 q% o1 [8 D题,但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
% G6 |+ E/ d2 C' F$ X5 l' ?: o! j2 `. r& q6 _  o8 k
平集方法应用于反问题(发表在Inverse Problems上),在国际上( }8 w$ d+ {5 \0 D0 H

& |, [7 L4 P/ h* Z有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher" G# }7 i( g# k3 |( {% I# g; Z
' ?4 J" q0 ^. s: y0 l
的小组作研究,并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一6 i5 a( Q$ ^4 f+ m4 _6 k
2 I: m2 c3 @7 F7 F
个综述和展望,值得参考。/ C5 c  r0 _" F' e. [
# m; I  h* S1 Y$ Z
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
5 i- n/ f5 d' \5 J; E/ \3 k. O( l' VIll-posed Problems》(有中译本,《不适定问题的解法》,学' A2 v* W. [4 m( @- v3 Y5 F
校里有,英文版的系里有)。现在反问题反面每篇重要的文章基$ z/ Z1 [) ]% \% N- R% O) _, l
本上都要引用这本书。这本书比较抽象,算法方面有所涉及,但- N+ t  @) s* q# v% z- A5 I  w
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
3 Q* }, E. T; Y题理论方面的书,还写过一本算法方面的书,可惜书名我已经忘
9 n) F* z4 g+ R" E% v8 x记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov) y% c. g  G. Y- V3 q( [
regularization for Fredholm equation of the first kind》
7 n7 L7 o7 ]2 h0 N0 Q$ f是比较好的入门书,这本书比较薄,也比较容易读懂。读了这本
$ }# H: Y( ^9 l书之后,阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的( O4 j+ `2 O7 K3 Z9 u3 m) y. Q
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
0 h7 t/ l4 e. b( M5 y: uto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错5 ]1 T1 S9 f& r5 S  N2 Q
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的$ {) \% C8 E1 ~8 k: t
《Regularization of Inverse Problems》广受好评,应该可以) ~& F$ P$ j* X0 l! M0 y9 J
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多,如Isakov的
, b7 U6 `$ J+ q! ?4 y+ R; c《Inverse problems for partial differential equations》,
8 P% s$ J8 w# b3 A. {Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
# v9 p. Q$ k4 Q, `9 uIll-posed Problems》应该也是不错的。9 b5 d- C" w' q6 B  \) H6 C  s
- U4 _, b. H4 p) S1 J
在反问题的数值算法方面的书籍不多,只有Hansen的《Rank-8 G! S" R4 ~! {, Y7 b6 T- O
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的0 t; C$ G6 @$ x
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
, ~6 `) O* {. B3 \, C1 O书都是非常棒的,要求的基础基本上类似,对矩阵计算的基
9 d! g6 ]  q# l: D% s本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同,Hansen的书容易阅+ \( r: \- ?7 h+ b
读,所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学  u. O, D" V# j# A* c! W) A
化,涉及的范围也稍微广一点,比如说很重要的Total+ S! l, V& |0 R
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论,但是
7 n) ~2 G: ]; B% YVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该* `8 z. {; _# }5 O9 P% V2 x
也有很大的参考价值,可惜我没办法搞到,所以也没法评论
1 }( i) q. V$ Y! \5 K8 x了。
3 X1 ^) |( V: g' |1 V$ P( O2 g6 l; w4 I
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到:
! @  P) p4 R& Y1 ?2 C( g0 t; ^+ Whttp://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html . T/ g/ j# R/ F4 h7 |

4 \: b  e5 Y+ \. h  ?计算的热点似乎有两个特点:) v% j  x7 B% o5 E2 F0 Y: k! Z  {
一个是与具体的应用结合形成新的学科,比如说计算流体力学、
# u* b! U# _- f; ~计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学" H: q+ h: c6 n% l
科的发展做出贡献,也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
9 Z7 g# s; X3 ~& V. E种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
6 `3 a3 c% n" f9 ]/ q8 k中的一个热点,可以参考鄂维南老师的评论文章。0 g/ |; A! A& I$ W* E2 o
1 Y" |0 k7 i% @, I0 U, w7 m
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微) x2 J5 a* Q; T: c5 M
分方程数值解法,拓扑引出的continuation method。其缘由可能
* p7 W& ]- t4 ?# {- F/ F4 o$ g是基于某种物理上的考虑,但是可以通过引入新的数学工具来解决。
! }5 m& ^3 \% @' z, h& [/ {  z这也应该是一个值得注意的地方。
zan
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