数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
! |- v) L/ W$ |; ~: V+ `% w4 v8 h几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
: q! r, Y8 w) e+ P$ f% W2. 按模型的特征分：
. D2 m0 _5 h1 @* i; a! g. c静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
  p% V/ ~0 D' G  p% t# ]" @  h性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
' m$ U. s0 ?+ i人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
( P' A8 V# X5 T4. 按建模的目的分： ：
7 Q* i$ U) s; U- z! K, Z预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
2 m, d' M  p: J有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
( m$ x/ I9 t2 N0 N2 W* C比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
' ~+ l& J  S' E4 k" x* {运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 R; |2 O' ?* T5 Z% Q7 X数学建模十大算法
/ q+ g% s; e7 b9 M1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
& J0 u; V0 A5 O& x以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
$ B" B( [- V. [2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
% h0 J/ `; X" v6 I9 l1 `( u" n比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
9 ~# L) s, d8 k& N建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. I) T  `% \5 P: Z3 L4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
- Q7 f- X* A9 X/ b( D  t' g* O; v. j2 D0 a论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
; R( d" z" s9 `, S这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 f7 u3 k& W! b! s: r/ l/ }这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& Y, d. ]6 F- `6 A1 e( E帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
! c6 t$ e8 u! y, z" N& k% `  c! B7 、网格算法和穷举法
' Z) ^# z! q# e7 ?: H$ Y% J- s' A当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
( e5 p, |) U. b7 j8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
: M6 E; h6 J. Z3 K据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. ?7 G( E6 w* k9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
8 k& a" J; K. ^" m9 j5 R8 Q! d8 B如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
3 ~0 i& g. H1 B6 J) m% ]# e: D) |10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
( k$ \: r- g+ u& B0 M解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
+ l$ Q! W4 P" W4 \* s①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 ]" v8 |  i* Y, {# E. K: H2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
# t( O3 ?/ Y( D& \# v& ]3 a' M3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
1 W% k- B1 p, d0 A4 d$ P4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
( b4 d; K. ~* Z一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
2 x* B+ O) H2 y: A概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
6 \. h. b5 n; Y8 F" ~5 h5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
; u' x* N: ]$ g5 O( I（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
2 d+ X6 t1 V2 \2 d" _% T6 q$ V预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
1 U8 H; u) i2 A" o0 ]7 ?# B预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 }- z  ?9 m" ~0 b* w3 p办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
; b/ t0 w1 C% u6 ^2 F2 Z适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
5 h! b8 X3 H2 n* q" p$ t9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
  E+ s' `& ]0 S9 V在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. t) j  T1 u9 P3 C评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
& q7 p) ~1 @; |11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# w! T: q( t- w5 W作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
5 D  c  d0 c, D9 q8 C; s优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
/ M# G. n% Z$ }9 @. [- S: U秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
+ c0 l# I! h$ O- s, ~/ v9 {似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* a" U5 P: L' C: }! Y+ |5 Y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
0 q5 n, g6 o& o$ O15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
9 X9 D6 Q: A* K可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
, F6 d" S' Y0 Z" A. X1 f来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
- S& h  O; n) ]9 K* v: h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
6 s0 b4 y8 D: q2 d3 [18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
% S+ ~0 Q# O/ L; i, O! `1 H非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
2 N8 I- I1 o4 Y" K1 K; w! X. }* o其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
* R3 _3 m% X( ~: i$ g" x19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
& @. j- E+ I3 _1 {* f9 M' _, R离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
* I0 e# D  j+ ^* u% F5 c20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
$ V$ R" z& V, [1 y* S* G0 R) i/ a排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
0 V) S9 R$ w0 f  z/ ]7 ?有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
) t) C4 \  C* k9 Y. p" t3 y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
' k( a0 }& z& E/ B例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
; E6 f3 q- [$ \1 X2 h2 ?; X# k支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
! C; q$ H9 r, z2 t1 `% p' U23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
' Z1 R8 ~& r) b  q7 {* d& V4 E2 v3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
: f  |; F% h# p" D0 d8 Q/ }7 l4、判别分析
/ B7 r# c/ I5 s* Z5 h, s/ t3 b. @9 l/ [5、典型相关分析
4 M) t8 W  _3 A. W% N& c; J8 l. Q: Z6、对应分析
7、多维标度法（一般）
. m1 P: Z. }( [5 O8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 A# R4 o) M. Q) R24 、分类与判别
. J  s* |7 G6 S2 z  P4 v4 I2 M主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
! ^( \% V# I( j" _5 }9 c1 C0 j2、关联性聚类
1 E8 P& D3 x' g( }$ E3、层次聚类
' k& M4 e: J. a  ]+ s7 M% C' V0 ~4、密度聚类
* E/ W- m7 n+ U6 e# {. V5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
" k! }; x/ u, ^, ^1、灰色关联分析方法
: b4 N% F3 G( |9 d9 M- b( G2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
6 h3 U+ [$ F/ t- u3、Person 相关（样本点的个数比较多）
+ u% c& Q  ^& Q( T) L6 G4 ]4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% y- G, q& `  u5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
- z& z) X: ^8 P" y9 L; s一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, f# G( H7 q8 ~0 B( J& R$ s8 @- k6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
9 z! ]( |- H! G; q3 U数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
# e1 U/ `' n6 |/ `  s& @1 p计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

1 f3 l2 k8 n. k% k9 d: P! t4 o

) T" [% U  H6 `) x2 ?; K

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- Z# x! \7 u. H( E. B
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的