数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
8 g! N+ G3 V+ [1. 按模型的数学方法分：
& b* [3 ~- [- W5 n2 Z几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
, e$ e9 j# Z3 W1 z1 m$ s型、马氏链模型等。
9 a; s, o$ m" B8 A, w2 z2. 按模型的特征分：
" S9 `" M" e* Z; }4 @# J0 l1 z静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
) w8 T0 B, |3 t6 M性模型和非线性模型等。
0 g9 p$ B, ~# P# [3. 按模型的应用领域分：
8 i" Z1 }" G9 t6 v: o9 ~+ D人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
+ u" {7 J- {* `8 r一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
# E/ {+ {  H$ _6 \( N往也和建模的目的对应
0 F+ N0 g2 X) u# ?5 ~1 \5. 按对模型结构的了解程度分： ：
( O! V& F+ z6 g5 j6 F0 O有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
& G# a3 R$ t4 u* m国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! T7 `# z8 t$ }0 S, m运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
$ U% `6 a5 [* L6 `6 M' G数学建模十大算法
) ]! n% [: v, `: O6 S) P) i1 、蒙特卡罗算法
9 T6 \% O" }, n  ^3 G该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
8 T7 e4 ], p* O* J以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
4 x- t4 |, V% b2 X2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ b% P3 \' J3 U: c比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 U4 \4 t2 v# A# }7 J0 l建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
( y. I6 F0 o& O3 `3 `6 V$ B- h法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
( U; Q% \7 w8 D: \9 y# G论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
* V% ]1 S  A3 ?% D/ S这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
1 i7 E7 q) O) w6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
: B( _& J$ T0 J" k5 m9 m当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
& X4 R1 B* P6 f, o0 ]7 r% d6 d! R一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
! k' @! z' J7 ~4 M( H很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
0 D7 L. w. |8 {8 V赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 @1 a6 a& y# B! V' F& p& f的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
2 Q/ `+ `) |( X6 i, h2 T$ \& N% a- c行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* `  p+ v. G, D4 Z5 {! S6 m$ \' L微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 D% V, K6 q$ _4 D9 y/ W1 {: y' Z6 n其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
: D6 f/ B' c+ x  Q! y  t1 o找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
  r+ g' F$ K, c& i6 b' K3 、回归分析预测 （ 一般） ）
+ l  m. z7 x' b& g% o( W求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
5 t) ]0 R" `5 `, d( G3 w% D一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
! I+ S- |# e/ g! W8 Z8 {" z. n9 i互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
$ ~/ d  R$ n$ j% H5、 、 时间序列预测
% s1 N/ `9 Q; o9 r1 v预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
- g1 c' |5 `' L% j; I* o（较好）。
/ m0 _; x# @, P5 p6、 、 小波分析预测（高大上）
; H* P* E4 p1 p+ f) C数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. }9 K$ a  q' W& U! j( [  {预测波动数据的函数。
- g  A  k, j% T8 O6 }1 ~( o7、 、 神经网络 （ 较好） ）
% z6 T9 V6 G5 n2 L: I; ~大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
; w- ?7 j5 m+ M/ I3 _0 W. A- v适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
$ D. c( \2 L4 s  q, M9 z' S拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
9 n# G  q6 D! e$ I" ?5 x9 L! H在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
7 N6 P/ h) R' \! K4 h逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
9 c0 ^- R1 k5 |. u8 ]10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 P. _2 W/ ^5 m) S. [1 L4 R, B评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 Y2 a& \. G- `11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
+ m5 q- u) o6 u* s. _  D# g作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
! g0 m2 B4 ~8 S) d, c, `12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
& ^! K2 D; w& s: ^9 }6 f; y" P优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
7 g8 {0 \) X+ n( E- W4 ?9 Z" v14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
2 _( q, R  t- C" w其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
4 C* u. k. W8 c1 l# J+ p5 |$ \评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: z$ J0 x% z) ~: r3 Z可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 p! f; f& M5 G* A5 U$ m9 j方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
; F! v0 b/ U- F5 k量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
( ]8 t0 s0 `: ^# B6 o+ o  P) J此外还有灵敏度分析，稳定性分析
$ U9 V6 \6 B4 y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
" r9 u5 U- B0 G! D& V模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
% H' n  C* r) w" e) k优解。
2 S6 F& X, h" A. [% r: v" O2 `" y' X18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
7 z/ a% q2 k$ E+ \5 N5 d智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 l, ?& i9 ^" f& A* C: o算法、神经网络、粒子群等
+ `5 h* N7 C, {0 Y其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
/ x! I! B+ N0 `4 H+ |20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
* H. m0 A% h  V排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; l6 s' z" u9 @3 B9 `即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
5 g2 ]- T  m0 R4 aMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: B$ t" W4 _  Y7 W  g  A3 G( q* ?射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
4 s7 K! j" n5 ~" Q7 m6 ~4 j6 v23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
- H8 o5 q* V5 ~# z& e* R( r8 M* c各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
, R# Y, r* w' b3 P+ [, T9 r  i& N! Z从而达到降维的目的。
4 J- p1 h: G% }8 D' w4、判别分析
2 Y7 r. }, ]/ |* U. f: a  ?# k9 F5、典型相关分析
5 {; W: C. a  A) G% s6、对应分析
& r* N* b2 y7 b5 y! |2 _7、多维标度法（一般）
  l; G$ y% i8 @0 t$ L/ O3 e4 k8、偏最小二乘回归分析（较好）
" }0 M: t% \4 G3 V9 l7 `6 t+ @" b24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
9 w9 }8 N0 ]. d# j1、距离聚类（系统聚类）（一般）
/ I! u# n5 E" V# \1 O5 p/ E2、关联性聚类
' s: X, X; S  G3 e# H6 ^: h. U" x3、层次聚类
$ f% ?; B" U+ B% F7 Z: i; I4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
2 f' T( F% ?( k" N, ?' t8、模糊识别
25 、关联与因果
" O( A- Y$ }, _4 M4 N1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
" {! x5 i  h" }" Y) ~3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
+ u$ O$ U9 M0 x& E/ v3 ~: z( B. C# w6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
0 `; q2 K3 r) Z) w0 d6 E6 f9 D9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
3 P/ Q9 p/ h4 z2 }7 f0 q$ F, `率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
- `/ R: B$ F/ P0 o0 X$ f" ^

( z  ?% h* Z. {( J3 R' S* V, T

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
+ E$ C! Y$ \' k+ R( i! V$ u