数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
" s: V; [' l) ~+ ^1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
8 D/ G: a3 U7 ^1 I( |: [型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( q5 ]* }  q" {; n6 F. L静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
% R5 K  ]8 X4 x5 t$ ?: D3. 按模型的应用领域分：
1 i8 Q. Y) w6 C; U  Y% f  ~人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
4 k2 I+ K1 @4 A. f* m/ u, t5. 按对模型结构的了解程度分： ：
* l) j  y$ _8 f. A+ l: a/ g有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
4 Y- s8 d- Q5 L4 c- m0 M' X比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' ?. [6 M# X( K; k6. 按比赛命题方向分：
7 p+ X- S3 f  ?8 f国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
4 m/ d% R' r( h7 R1 C" Q1 、蒙特卡罗算法
% E3 t9 _+ t1 S4 e' k- u( H6 S0 l该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
6 T5 a8 b- `* j$ \; v# h2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& ]# r2 v, `- O, _- ^) X比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
$ z! @& }* E  ?: d: R& a2 I3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# l* S% E1 s4 ?建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
9 K! c$ q- y+ J" B6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
& c9 N' b4 t* B8 ~: {2 i8 G* n7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
3 J. H: @, ]4 W: `; v. D8 、一些连续离散化方法
) Z" R. g9 p& U8 \: f" N$ c" k" l很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
. J+ o" O2 x3 u0 }据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
' n- M2 q. w! p8 h如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
# o, Z0 f  _0 z如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
1 A) ^8 v/ D1 K: C" Y0 w10 、图象处理算法
5 Q: @: ^' C4 r3 W赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
" F6 U7 q4 K3 y& ]% N$ X行处理
! k7 l. p! f3 j& H1 z算法简介
+ e: }2 l9 k" g. X1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
6 z% R7 P, b: F) s4 S个条件可用：
1 w* U. c! n% Z7 f5 _/ ~  \/ U: i①数据样本点个数 6 个以上
* l* B( U2 |5 {' h6 N# J②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
% ^5 y5 d' B$ k' C4 M2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
" |( m. {) p, Q) h, E) ]微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
" ^5 R* K7 f- V; N* }6 \; e: {2 m其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
% V9 ^2 ~4 ]7 o) z' h①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
* U: {( c# C/ k: @5 ?6、 、 小波分析预测（高大上）
5 D& W% J# V! X% @" N' s数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
3 b: V0 U- r! |8 p; \9 L4 {# Y- R预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
- a- l0 T5 h/ a, [7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
- `, ?1 H! O& U* b0 C办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
% k" D) T* q1 g. e拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
- u$ F  _1 [2 n- m) Y9 n& R: V在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
. m; z8 u6 E9 ~0 q逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
* v: M/ {! y2 W10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 R) Y2 E4 r5 z7 a2 C$ `: R! I评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) T; a2 O3 ~$ t( H11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
5 x( C! S5 d! a5 s! I9 O$ C+ D8 D12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
3 s) E) O* P8 D5 V- G  v! p+ [# w: n13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
: K) L6 u6 }5 V$ G- }秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
) Y4 h( j7 C% Y  i+ X4 Y5 I3 N法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
0 [' s& G* }; Y14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* N3 F: d' Z, W: ^. S$ s评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& N  z/ g* u1 |! R, k( V6 b5 t的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
! Z& _- B- c+ c9 Q. D1 N! T' U可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
! v7 g/ f$ `7 ~+ [0 g. ]16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
1 o- o: T. W  {, U方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
& t) g; X/ S* t5 w- e" S, G协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
/ _4 E0 |& H9 v此外还有灵敏度分析，稳定性分析
) ^- X: \8 `7 h( n+ {" L17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
. H* r5 o! e2 i. X3 i& S  Z! h7 T18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
3 K& g: F5 l- x" b- S* z算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
1 K1 R9 ~$ S5 u& H( Y% `离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
. ]) B, ~# M" F9 j排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
5 V0 `$ c6 s" K0 j3 G21 、图像处理 （ 较好） ）
  }! |: x9 _$ I+ J2 C2 NMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
* n7 u3 @9 ^6 H; ^: c* _7 [支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 N6 f. `0 |- X, A: _0 C6 H9 @3 b' c射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
; j- b8 L4 N9 s9 H: g& j8 q, U1 s* p1 ?2、因子分析
" m" g* W$ ^8 l0 n, E$ H' v3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
! q6 c( @- a% N从而达到降维的目的。
4、判别分析
! O3 V/ }( Y: `8 V3 J5、典型相关分析
6、对应分析
/ U, e, ?  `& J* n: A7、多维标度法（一般）
/ b. c9 P% w# j- l5 I8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
: T5 ~, Z4 L: j9 o7 m8 l' _  ?# w2、关联性聚类
, ?& {; _2 W! d+ B7 G, f3、层次聚类
6 I7 K+ }  u+ U% e) E' H2 m4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
1 Q6 r; T- n$ r7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
) s* U" i% z4 S4 f/ ^- W1、灰色关联分析方法
, e5 \1 V( x' A) f+ n  C. n) x2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
" d3 W7 v4 u2 J3 ~8 h（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
+ L$ L, U/ n% F. i$ T一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
1 s0 t1 y; D- E4 T7 a6、标准化回归分析
' b2 H( @- b* M3 [% I7 Z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
/ q! k! K1 i2 ?0 a0 j' \+ q7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
' j" w$ g  e9 t0 J( ~0 ~" m26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
9 `  p3 F' d5 T( t0 a2 ]3 \
+ Q) \0 h6 U) Q9 _
- J# j" u- T! D
0 G* }5 w% x* {- k5 X7 i

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0 j5 L9 z, J1 ?- X, Y* O- \

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* @& b) @7 c+ m1 X0 M" F% F
" n) {5 O7 z3 e4 Y% R6 N/ Q
2 N1 o2 O( X/ D; v- v) d111111111111

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
* A* @5 q- u7 {' A* F