数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
: a6 m* b5 M1 w型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
5 e, V, D/ y6 M. M; ]静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
* l* s" Q6 P* H' l, ^6 y5 H: C4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ F- d% ~* Q% [1 ^一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
# ?) O9 x8 L! j9 f7 Z5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
/ R. l. g+ n7 H& |5 c# a比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 M% s7 @2 `8 M1 g5 n1 a6. 按比赛命题方向分：
/ M2 R  {6 H0 u6 {  K  Y% W国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 b% ]# [. {- C, w/ `# B, Q* W数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
* G5 l* P: q; ^2 q0 v) _以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
! B9 _+ [2 N5 R0 i2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
2 X* \1 p  s3 r. L通常使用 Matlab 作为工具
/ g; X, t0 m; ^( o. y: t( r9 y3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
9 d% ?$ P% Z7 r; H5 Q4 p8 c4 X建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
/ [6 e8 N& V' [! m0 y* ]; J4 、图论算法
3 K6 L8 F+ k. W3 s这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) `5 L: ]( D( Z  \* E& S- L5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
$ A0 M% X+ ~/ u9 s* k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
+ E2 N5 ~' P- t' o7 、网格算法和穷举法
6 E! S( [" H2 a2 \当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
8 T5 `. o) P# v( R3 k/ A. T一些高级语言作为编程工具
5 A4 y5 m' n/ u' T( x6 W" t# i8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
  V4 a5 W, \9 A, P& `2 B+ y; v据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
% t' E% }3 r3 Z# a9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
( G* J* ?: u* k1 Q# l# c* D3 A! D如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
' b9 H6 F" J; N. [5 W10 、图象处理算法
! y) T( A9 H! K- ~0 U6 Z4 z7 P赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
' o, w- u# y- @; \3 [; g0 T的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
; e0 u4 W+ u8 I1 v$ B# W行处理
0 X* Z6 h5 ]' q# e6 W算法简介
0 }. M) w8 ?2 O1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
3 U2 s7 o, u+ r/ `, `; w& Z解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
2 S2 B# |, k/ y$ W# O0 ^% c②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
! [4 P* T# ^8 n2 `1 a2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
5 }, T  t! w* j8 R$ s, N& U微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
# t* @( V" T& ^, b' V- W其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
/ P) \" k5 e$ S: |2 {9 Q, x3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
1 i* b9 k* C4 m- ]; s' S①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
" l5 q: r; }6 v* d& q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
- L5 J$ `4 x9 Q! V互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
1 Y( V! {4 ?$ S+ l* m概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
' v/ w" [3 l" J- P' G: e5、 、 时间序列预测
% ]6 B" U. n" G7 J' ~0 \预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
" O& ?7 J" L5 A6 I5 X（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
- E) g6 p! I2 t' @0 O: P预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
! B' M" R) _2 \# X+ [: z$ x2 i6 ?预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% W/ h% s4 [7 }7 a% `* d8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
! E; m" P# c  B逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% y+ N" b$ I( ^7 z) u: q% o/ w! g! X评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: y( ^5 Y( }6 W3 S6 B作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
+ @; \: d/ _3 b( Y12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  W5 S2 p% @! a+ [优化问题，对各省发展状况进行评判
  `& t0 S) c; C13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
0 D( V; U8 ~3 T: O7 b2 K; l似。
' m- a6 E( s. b7 U14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
7 X! I: J# u' r. B6 X解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
4 C( B2 K4 i7 ^) S# p* m17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  ]- H, ]; l# l3 @* _  }  R模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
' \4 ?; j, `9 p( z' q优解。
; M/ P  b2 g6 f& [" i- k18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
; ~( b& J: [0 Z$ `" g8 F智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
. ~2 |* D0 w3 R* {6 x  ]算法、神经网络、粒子群等
  Y+ u3 h  z* b+ x9 b/ a! G其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
; }1 g, `4 n/ Z3 c- ]离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
5 {7 [. Q- \+ C" `, ^+ F$ T  R0 l0 K即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
2 o6 I/ V4 Q3 D有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
& C. m0 Z4 S7 `计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
* w9 y2 V1 ^1 O+ w" d支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
& M( A% n9 R: b; @射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
! k4 n8 ^& g- f. q) l3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
5 |/ I) z2 {6 P# ^& Y" C0 _$ \各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
, i# Z- l4 @- d3 h) p. ?$ H从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
: `& i! P9 _# b+ {7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
' u- r- Q+ K4 z: k; n主要包括以下几种方法，
% m8 v* X: ]2 `" ~. ~- m1、距离聚类（系统聚类）（一般）
9 u9 O9 u: V3 g& h- B* N2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
3 H% W6 T* J( j# J5 E  j6、贝叶斯判别（较好）
5 P, M' x# F, s3 C7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
) q, r/ Z5 G5 \$ V' d; i25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
. j) k9 q* c0 a  E2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
$ T# \! A+ ]/ R, G) b9 s) e3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
, @& Q1 Z* _6 j9 r: x: `2 d5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. S1 _( h! P3 i: u) i6、标准化回归分析
) l! m! }! E( m若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
( p4 u9 c1 E; D7 ^' e5 |7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
% q5 o0 W: @9 F7 |# m8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
7 r4 z( ]" T3 \1 d. j2 j) o26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
' J+ x! a' {, O+ M3 ?( Z率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

" z! G: [) w" A/ x' L/ G1 @. L3 D

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) B0 j8 b" P1 J" A  R: x/ C

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
1 M( x# z( `& \/ h