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数学建模基础学习-常见模型整理及分类(点开即可观看)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2021-10-22 17:53 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学模型的分类3 g2 Q6 v$ m# B* x  @
    1. 按模型的数学方法分:
    ! |- v) L/ W$ |; ~: V+ `% w4 v8 h几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模1 m  f. S8 H# u. b& E! c
    型、马氏链模型等。
    : q! r, Y8 w) e+ P$ f% W2. 按模型的特征分:
    . D2 m0 _5 h1 @* i; a! g. c静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
      p% V/ ~0 D' G  p% t# ]" @  h性模型和非线性模型等。. C3 p  P5 Y# |: |
    3. 按模型的应用领域分:
    ' m$ U. s0 ?+ i人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
    ( P' A8 V# X5 T4. 按建模的目的分: :
    7 Q* i$ U) s; U- z! K, Z预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。7 q8 D$ u9 e. t6 w
    一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往2 k8 ?1 A( e0 C( K5 L+ e
    往也和建模的目的对应) k1 u& Q# n  M6 z0 i
    5. 按对模型结构的了解程度分: :
    2 m, d' M  p: J有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
    ( m$ x/ I9 t2 N0 N2 W* C比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。* t/ C6 O, [2 ?# V& m
    6. 按比赛命题方向分:6 V$ a9 \9 Z9 B. @
    国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、
    ' ~+ l& J  S' E4 k" x* {运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
    3 R; |2 O' ?* T5 Z% Q7 X数学建模十大算法
    / q+ g% s; e7 b9 M1 、蒙特卡罗算法$ L" d2 g# y/ J; _  }+ y- ?! M
    该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可
    & J0 u; V0 A5 O& x以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
    $ B" B( [- V. [2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    % h0 J/ `; X" v6 I9 l1 `( u" n比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,: m: [6 e$ E. s2 Q4 H3 c
    通常使用 Matlab 作为工具# k$ k( i1 c( x0 v
    3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    9 ~# L) s, d8 k& N建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算% n( E3 G$ A. G5 L; Y; E
    法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
    . I) T  `% \5 P: Z3 L4 、图论算法+ w" b+ P( q( C1 M# q4 e
    这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图
    - Q7 f- X* A9 X/ b( D  t' g* O; v. j2 D0 a论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备; t% H6 e$ W' I9 H9 X; U
    5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    ; R( d" z" s9 `, S这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中. m  h5 }& m3 u/ D$ k
    6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    1 f7 u3 k& W! b! s: r/ l/ }这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有
    & Y, d. ]6 F- `6 A1 e( E帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用
    ! c6 t$ e8 u! y, z" N& k% `  c! B7 、网格算法和穷举法
    ' Z) ^# z! q# e7 ?: H$ Y% J- s' A当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用: G5 R! A8 [% D! N! `1 w" Q1 K5 F" j
    一些高级语言作为编程工具
    ( e5 p, |) U. b7 j8 、一些连续离散化方法& j* Q$ [0 }8 ?7 H1 L+ j
    很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数
    : M6 E; h6 J. Z3 K据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
    . ?7 G( E6 w* k9 、数值分析算法- P& g% N7 G( ]
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比
    8 k& a" J; K. ^" m9 j5 R8 Q! d8 B如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
    3 ~0 i& g. H1 B6 J) m% ]# e: D) |10 、图象处理算法, M- u( E( N2 Y5 h; K' e7 O+ w8 }
    赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片; G( e( l, Z8 f) O
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进% P; R* n5 x' v! x" ?5 Y  h
    行处理; P  I7 y" Z/ K# j
    算法简介4 X: ]# v: \1 K7 P1 a. f
    1 、灰色预测模型 ( 一般) )
    ( k$ \: r- g+ u& B0 M解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两7 X+ z0 p" d/ O! H$ H' D
    个条件可用:
    + l$ Q! W4 P" W4 \* s①数据样本点个数 6 个以上3 t* r7 K: b, M+ H
    ②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大
    6 ]" v8 |  i* Y, {# E. K: H2 、微分方程 模型 ( 一般) )0 t! U* s( l% Y% y: d
    微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但# U9 _% y2 ^" |# p
    其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以8 }* x+ Y1 r: L; B9 _
    找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。
    # t( O3 ?/ Y( D& \# v& ]3 a' M3 、回归分析预测 ( 一般) )% e- i% ?# a$ H2 o
    求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变5 h- h/ d0 h; ~( k( h2 n
    化; 样本点的个数有要求:1 Y/ n8 I1 O. A
    ①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;: L! b: k$ H" L/ p  g0 T7 v
    ②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;
    1 W% k- B1 p, d0 A4 d$ P4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )
    ( b4 d; K. ~* Z一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相' {4 C9 m3 S1 i( N. N- L
    互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
    2 x* B+ O) H2 y: A概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
    6 \. h. b5 n; Y8 F" ~5 h5、 、 时间序列预测4 X1 {+ g. k& K/ H, K8 ]: W
    预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA
    ; u' x* N: ]$ g5 O( I(较好)。# m7 F. K) r; T  _+ U! h
    6、 、 小波分析预测(高大上)) f( t8 C# z4 O, k
    数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
    2 d+ X6 t1 V2 \2 d" _% T6 q$ V预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
    1 U8 H; u) i2 A" o0 ]7 ?# B预测波动数据的函数。( a# W9 F' y+ a% r8 E, l! V) O, O
    7、 、 神经网络 ( 较好) )8 C5 v9 p6 q( h
    大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
    5 }- z  ?9 m" ~0 b* w3 p办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。: M# @) ]4 K! X+ |$ T, d6 u6 k
    8、 、 混沌序列预测(高大上)
    ; b/ t0 w1 C% u6 ^2 F2 Z适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。
    5 h! b8 X3 H2 n* q" p$ t9、 、 插值与拟合 ( 一般) )! o! ~* {* k/ M0 A
    拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别
      E+ s' `& ]0 S9 V在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;9 x; _6 G& O3 v5 j4 q' ~3 I
    逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。8 E' i( d' B/ A( l5 q3 @+ c
    10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    . t) j  T1 u9 P3 C评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    & q7 p) ~1 @; |11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    # w! T: q( t- w5 W作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策& i/ C+ q; v0 H
    12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )
    5 D  c  d0 c, D9 q8 C; s优化问题,对各省发展状况进行评判+ ]7 |! k  G% A7 g
    13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )
    / M# G. n% Z$ }9 @. [- S: U秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权( H8 o, H8 I- ~- j' h8 h4 E
    法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
    + c0 l# I! h$ O- s, ~/ v9 {似。9 d) k: G8 M  k
    14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)! ?- p% T* m! _# M7 f, c
    其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
    * a" U5 P: L' C: }! Y+ |5 Y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优5 A$ X# q2 r, Q7 P' k
    解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标" {3 e- o9 J- b* d! M; ]
    的最差值。
    0 q5 n, g6 o& o$ O15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
    9 X9 D6 Q: A* K可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
    , F6 d" S' Y0 Z" A. X1 f来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。7 @7 |6 {# p! w: y4 e9 ]" c
    该方法做评价比一般的方法好。6 R! d& y5 F# L! _! S7 L( i
    16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )* o2 z# P( {3 |7 n
    方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产  _  ?$ W+ M8 ]& T& R: z
    量有无影响,差异量的多少/ ]& c1 Y8 A5 K" L& ^" R, @
    协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因5 \, v3 ]2 J$ |$ x7 s9 w. K
    素,但注意初始数据的量纲及初始情况。; f- E+ N1 b7 f. O2 N( Z: z5 P
    此外还有灵敏度分析,稳定性分析
    - S& h  O; n) ]9 K* v: h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )5 W  |7 P1 t( _9 q; ^" A4 e
    模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最/ F! [; |  n5 W2 }2 O8 W8 r( J
    优解。
    6 s0 b4 y8 D: q2 d3 [18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)
    % S+ ~0 Q# O/ L; i, O! `1 H非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题" q& a6 Z4 M. R6 d# l
    智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索+ t7 k/ P% s# o; j2 J$ e
    算法、神经网络、粒子群等
    2 N8 I- I1 o4 Y" K1 K; w! X. }* o其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
    * R3 _3 m% X( ~: i$ g" x19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )
    & @. j- E+ I3 _1 {* f9 M' _, R离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
    * I0 e# D  j+ ^* u% F5 c20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )
    $ V$ R" z& V, [1 y* S* G0 R) i/ a排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,: o# h9 g4 j$ m3 h/ x
    即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和
    0 V) S9 R$ w0 f  z/ ]7 ?有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
    ) t) C4 \  C* k9 Y. p" t3 y计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一9 H& w$ Q0 n/ b  T+ U" n
    般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。7 o' p$ T/ e1 _! Y  h' q: h2 W- K& r
    21 、图像处理 ( 较好) )4 C8 B4 P$ ^5 i2 U" a
    MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。
    ' k( a0 }& z& E/ B例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。9 q, h' {8 Q7 G) @7 m" }
    22、 、 支持向量机 ( 高大上) )
    ; E6 f3 q- [$ \1 X2 h2 ?; X# k支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映' U# ?* e: ]' f. p( i
    射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
    ! C; q$ H9 r, z2 t1 `% p' U23、 、 多元分析$ G: Y9 L* w  }. g) c! H
    1、聚类分析、5 L2 C+ ~# n! I
    2、因子分析
    ' Z1 R8 ~& r) b  q7 {* d& V4 E2 v3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析: H5 @. K! b7 N" k
    各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,$ b. Z7 z3 e5 A2 X
    从而达到降维的目的。
    : f  |; F% h# p" D0 d8 Q/ }7 l4、判别分析
    / B7 r# c/ I5 s* Z5 h, s/ t3 b. @9 l/ [5、典型相关分析
    4 M) t8 W  _3 A. W% N& c; J8 l. Q: Z6、对应分析: D& N6 F! P% |6 e
    7、多维标度法(一般)
    . m1 P: Z. }( [5 O8、偏最小二乘回归分析(较好)
    7 A# R4 o) M. Q) R24 、分类与判别
    . J  s* |7 G6 S2 z  P4 v4 I2 M主要包括以下几种方法,8 ?4 q' Z& F! ?: l& x9 d4 T$ G
    1、距离聚类(系统聚类)(一般)
    ! ^( \% V# I( j" _5 }9 c1 C0 j2、关联性聚类
    1 E8 P& D3 x' g( }$ E3、层次聚类
    ' k& M4 e: J. a  ]+ s7 M% C' V0 ~4、密度聚类
    * E/ W- m7 n+ U6 e# {. V5、其他聚类: B8 F  f( j" j, j
    6、贝叶斯判别(较好)- {3 O! `2 T- a: Q, T- p, F; t
    7、费舍尔判别(较好)7 ^! c  K- Z- j& W) v
    8、模糊识别) }# b0 {8 u8 n
    25 、关联与因果
    " k! }; x/ u, ^, ^1、灰色关联分析方法
    : b4 N% F3 G( |9 d9 M- b( G2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
    6 h3 U+ [$ F/ t- u3、Person 相关(样本点的个数比较多)
    + u% c& Q  ^& Q( T) L6 G4 ]4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)
    % y- G, q& `  u5、典型相关分析6 K& y  Z+ a' Q- `! j" i
    (例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
    - z& z) X: ^8 P" y9 L; s一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
    , f# G( H7 q8 ~0 B( J& R$ s8 @- k6、标准化回归分析* Y. l* j# w+ u7 r5 n
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密; j. _* [# ]: H& N1 k- p1 @" h
    7、生存分析(事件史分析)(较好)
    9 z! ]( |- H! G; q3 U数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响/ }- Y* O! }, C- l# Z  m, m/ L- @
    8、格兰杰因果检验
    # e1 U/ `' n6 |/ `  s& @1 p计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响" \7 u8 e1 Z- O( c8 O5 j, @0 \, ^
    9、优势分析5 G: h3 V2 Y; M
    26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )0 l$ ]) n! o! F$ L: a
    量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速8 C- L! D& f6 x. w
    率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。9 R' {8 [( Q0 D

    1 f3 l2 k8 n. k% k9 d: P! t4 o' w# k$ N$ [" ?7 ?1 y6 R

    ) T" [% U  H6 `) x2 ?; K
    zan
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    - Z# x! \7 u. H( E. B( w  T5 u! }9 o9 P3 z" x' F2 z
    111111111111% i% O; L* o9 x( S; H4 k4 a: H0 o
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