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全主元Gauss-Jordan消元法# s9 L. @) z. J+ g
4 w1 b1 _/ W1 O+ i6 G* i
3 C& W1 }/ O, P3 W
9 k/ E# J4 X3 h* L( K. S
5 _; v1 N6 x/ m
g) m; H. W" p9 V c " m/ |0 c0 w* H
; n6 J% s% I" S6 e9 g) ^: w6 e
" ~" n4 s: J3 k; @* |' ^- Z
, A+ `' ^# Q' u. W% w4 F' m
) ]( P z9 N% f! _, J: M- k T4 ~
Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。1 U( E6 H5 K2 n2 H6 l, J# C9 {
! |; C5 Z5 `$ n+ l* G- C
+ K8 L% L) t+ X: C/ F! u/ h- P
" D! t6 q/ q6 }3 U7 T / d0 a7 e7 J4 p
" ~* i2 j6 Q N8 p9 t6 N+ C
Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。: N' u! _5 T& L+ Q1 r
" s+ H% X+ R% Z Z X" c2 q* f! \
6 a; @: V# p! H( \& Y
- r0 ^0 P( @2 ~. s7 }3 d' ?
" y4 f/ p8 |: B: Q5 N
5 Y' r9 C) A( T% K; l8 d 下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。
0 k; \0 L/ D# H; \8 c & U( Y5 n# \& |7 C& z
1 `; m$ x$ y% S) s/ x 5 J& w5 i$ [3 n- h
- A; _" p! ^6 T: ?) r / {1 B" i% w) |+ F1 C9 C
Code：6 n: q6 ]! n$ ]7 G3 J+ V
0 N8 z8 p; I+ [: e6 T7 p9 n
8 ]2 }& X4 B1 H- N - J& N% p7 J, }6 F$ U6 d: v s2 d
% O+ s+ [0 [7 i: M 9 w& _& b3 P" ~5 |3 t# V
2 |0 N6 }! X+ q- P- [
6 a' B- P* i1 W #include <blitz/array.h>
+ w( S+ s9 ^' k$ L; R+ ?" k9 |/ q- B, p% K# _0 Q
" g) r$ N4 m$ c5 a3 O
( y% B2 u9 Q6 h% R" s9 }1 R
( E" x/ s5 d, k8 _/ ?
#include <cstdlib>
: ]$ r2 z2 g* f+ M
7 Z& K/ q. h6 i. G( h6 L3 ^# }" @. F d, }
/ W2 W7 ~4 o; j5 ?& \7 o- Y# s' b 4 Q* i. A. k" r3 H: Z: S
#include <algorithm>
: _$ T( ^2 F: {1 b ]3 J/ w" a8 O$ E, ^; s
- m: o6 L! C2 @% _
0 x7 Z( H+ N: e4 r5 s : a' b. e. Y! G: C. E
#include <vector>
/ E; U {2 X4 x1 o
2 N: w/ J1 h) d8 \8 i/ k5 u7 W( S& k+ {2 F
4 @: Z* f0 K: J7 `. q 4 h" u7 a4 l8 w7 _+ @/ t- X
using namespace blitz;
6 l- J5 s( H) J3 C9 K$ c
& M- G( K9 w6 V
) m0 S$ N. N( F# c' W 8 P- r0 k% u; F1 V# e8 P5 I1 s. l
8 i+ U# w% U7 A- M- J
/ u, K5 i7 }! |+ O 6 O% h. @) E: c! F4 N
7 q o4 v& G1 w, l# R" U5 t
void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)
, p5 B. ^5 n) f; C2 }; k& K8 a; m9 O: |) f: q S+ n" E
# w, s: \, U+ |' B) ~
9 R! S" o3 ]% [* p* Y% T0 c
4 |" T. _2 H# {- L {
9 `: a* x$ x; M) C: _0 c
5 s( T. O0 s; T6 o
: I2 m! r) T/ m & Z" W& y2 d2 h4 }
+ S% I3 R0 |- I6 W9 Z int n = A.rows(), m = b.cols();5 m: D# Z3 O9 I6 N3 b2 Y6 R6 X, j9 x
$ a3 n8 G2 r8 i. ]8 p5 F9 z5 V
; ^6 Q, H, l+ G' | 0 `8 G& d) @- d! t8 |" I
; y2 u0 j" ~1 P int irow, icol;9 C9 A3 k3 p0 s2 \: c
4 Y0 }* }" U7 g. W3 G
1 u( G* k# Z) Y- W* M, ?+ w+ K
: A4 D4 @7 q" }
- c6 d3 m* ]/ \: X9 k) {6 Z vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n); T1 k# F" @: c: C9 w. X
6 X* {. }) l! ^ C( B& h7 T: o7 @) p* s
u# b% T$ t' Y% Q2 T6 a
7 w, T! U6 V" J# G( c/ v, E
) f- o; _- t# V; l4 V) E: H
3 ]3 r, j0 _# n$ M2 Y
2 Z. i- M2 r5 B: U* t+ ` for (int j=0; j<n; ++j)+ W/ V" X& @8 w% | x
- G+ [* l/ c0 `1 V, q0 z
+ j. O% g$ H6 l8 d5 a4 g ( C% i9 H ~- D6 k1 `: R+ K
5 f V* s2 i$ ~/ s& E piv.at(j) = 0;8 O4 x' D( Z- {3 m0 ^
# U. ]4 V" Q! V: O/ R8 r
; f9 A0 E; L4 [* b - `/ F- }# c6 B0 T/ C
! a% t' l# v# X% ~& ~+ a/ |9 C4 L
0 z1 R. i! i- V) }0 V: J9 w
4 _9 r5 E$ A: s8 o3 n
- @, n6 P* u \4 H/ x+ P) {
) D* u4 A/ o9 z+ P; d9 {* B" F / y K7 Q/ ~2 p
//寻找绝对值最大的元素作为主元
! ]! U9 d) M" l% X
2 R# {( D7 A0 A( n
3 U3 k1 o+ ]5 X+ @ 4 P) u7 ]& p8 L' P+ _
5 A/ w0 k6 L. \# m3 x2 K+ _; a for (int i=0; i<n; ++i) {; ]+ \* n9 }6 k
, n7 k: _- \1 y6 S5 [! V: b
$ N. v7 y; F4 s2 p4 y1 d5 t
5 \$ q# ~# }- ~5 U2 Y; A( O: }
* T; r ]4 V3 n8 `' z: @8 B double big = 0.0;; c7 k7 \% e! T- e2 R1 g+ C
% R1 G9 }# z3 O" a3 H' t
4 b! }- Q4 C' O- x' g: u U6 ] ' o: f' t! e, n8 c/ [
2 `' {' U. D4 j- ]/ Z3 X
/ H' s+ @3 ]8 o, @! e$ J
" }. N" N1 e* q4 ~. O0 F/ Z
9 ~2 S3 s# X% D# f+ r s for (int j=0; j<n; ++j)% t: E( S& n; H
3 X% G' b, L8 r5 q! }; F! b
2 Z% ? ~% A: Q8 `: Z2 E. {0 |
! E9 a( t. m9 J) m
! u5 z/ q. @' m1 F5 ?* E1 x if (piv.at(j) != 1)" `1 u0 ?/ L3 I6 n
]" U' E0 W. j) u
( g* r! n/ f* G
$ F1 i! ?( e! a! P2 k& T
: O: [# f; ]: s ~ for (int k=0; k<n; ++k) {* D8 G/ ~( |6 M$ g
5 T' N+ \1 ^: f* [2 x- `/ ?3 J
/ { `! Y/ ?" e" z, ~7 i$ e
5 a6 n8 H/ k) H; K, v/ T! R1 z+ a
" U: ?6 {6 {; [/ ~, w if (piv.at(k) == 0) {
+ Y% a$ X- ^$ n! D8 [9 Q' q3 F% N2 l( v2 m* Z
; D% `( k3 E% Y( P+ {
2 S- z# o2 G7 |( t
, A( Z& ?; _$ Z8 {1 f; H5 T$ W if (abs(A(j, k)) >= big) {, ?7 `2 I6 Y* a: g# g$ R
1 ^; M1 ?1 V& w# E# Y
/ P# F {/ E. w
$ O5 i9 J; m) C2 ^ ' @, w# e4 W- A
big = abs(A(j, k));* p4 D, J7 M. S2 H4 c( j! L: E3 T
: u( q$ E- \/ g( j) L8 E* O
2 w9 j5 Y+ C5 G* J1 `( n ( g% i/ a2 N7 Y, l6 Z0 v# Y$ m' q
& [ V3 J6 {/ @2 L- V, c0 O
irow = j;9 z& A6 V( J) O/ i' |# L
# f$ ]4 Y7 E& E$ t! B
. q5 P. x0 K2 V6 d$ X! g
: X1 q \' k0 ]3 J# S4 O! l
/ L" \5 `& R7 P. w
icol = k;/ v8 n) q! G1 {5 D6 S0 |, C
! I. D7 Z# D! H/ I
+ V8 j) k2 x, H0 {5 i
1 b" `+ Z; M- X9 z5 @6 z
8 y8 o7 V* b0 q+ c
if (irow == icol) break;
/ a* N( @. C& z! T% W: ~: u" |2 [$ x
$ _0 M( p- ]" [# Q8 l
4 C s4 r2 e/ Z. e# c
( b+ u: Y! L6 x1 l9 [6 F9 i5 o! q& ~ }
0 l# a- s# _- C1 k- ^# U6 k! d3 ?0 m I5 {, L9 Q
; x. k' @/ j; S3 j1 `% f7 R ! L7 J- D' E! |6 Y G1 E) w) Q
8 }2 {+ |9 M0 f3 X6 U
}3 C0 Y( x9 B/ R0 D# q- z
! D# u, |. O+ W( n8 O
S) K" h0 m* z2 P7 W
7 D* j: U/ M9 a* z, p$ a
) Y8 `5 s; d& o0 I( a. i
}" u) ]3 B/ C2 T" J" a* n
" p. K7 i0 y' [ t+ H8 S+ u7 E- m: m) i
' R4 V0 M/ K3 O: u6 g, Q7 G- R: p/ m/ \ 8 H' Q4 `8 ^& ^" y2 l
$ K4 z+ n, p5 O9 a' L' } 9 n% ^1 Q1 G+ q- E& L; }
& ~5 `0 d$ W5 c" ^! E, P
++piv.at(icol);4 \- A0 d4 U, g7 P! w, o7 z1 [
: O: ?: {+ i9 h, Q# D5 M$ v: N: s. `# ^! o2 P7 i* b+ G
0 O& G2 C- I9 Y1 }0 w$ T0 r : T; `. {+ e% g
! h. F6 l5 ^, x+ z& B% x v2 B w+ f' \
+ g% w& b/ B# g" l* V5 B% A4 @& y8 Y
7 K# o% @& g+ K$ [, l 2 J+ n8 T; z0 \
$ U5 A/ @# ?3 O3 @3 r //进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，9 N1 ]7 ~# X2 n) @/ S
- @- V6 E; ?5 v/ C9 W$ u" M9 B: e( N" q: w4 M C3 h
' p! N( R# S" H$ W9 ?+ v
/ U; G, O( N' T% U* s //使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， & K* H9 E" _# t3 }# f. `
& U. e- x: {1 ?( o
+ g2 I- A" p0 K9 E8 D( r9 F ' j1 U, x) k+ x3 T
& m1 J7 @* E& |/ n9 v+ D8 X4 a4 ^1 @ //这样就可以得到最终次序是正确的解向量。
# {. f. _! S! M( j6 L1 J$ T# k5 f3 A3 _4 T% a
; W' X* }1 q. V( w3 p" E e) X
- F1 t4 z* @# T Q) e* m + B5 J( A6 e i: F2 `+ {3 L3 I( o
if (irow != icol) {% R3 q9 k& ^) m: ]
$ L* ?, g Y+ B' n4 L2 \1 `: c4 \- u0 V4 w9 r& q
' V- P6 [2 C+ D! w; J) _ + m: W& X, |. j1 F8 q
for (int l=0; l<n; ++l)
/ e- {; H, u1 R0 }& Q# B3 r1 J, {% L% f* y! [9 k a
6 [6 |5 R: C; c
- m. t0 n$ O% e2 R8 i" z6 t( V8 W
1 ]( L/ R7 y) h8 y6 p1 y8 G0 } swap(A(irow, l), A(icol, l));
3 c( P" k% q+ P0 R' ?! |% q% _9 H% t
$ }! w2 R7 t, R' z6 e1 {- W
4 Y" n3 [4 D0 o' Q
7 N$ r) ]" O2 v
8 l6 T! m! t# u1 B
2 q; Y- H4 }4 N6 f
6 j! i) O- M6 q( n for (int l=0; l<m; ++l)% H5 j3 ^4 m- c9 R+ @% l
3 C0 \" j1 Q$ j0 R9 H" n" B& z* B7 H2 m% n
. w7 Y% ^5 j: l# T$ Q7 D
6 R N. u7 c- l! Q5 S+ I
swap(b(irow, l), b(icol, l)); m8 o2 e& J/ Z) k8 c
" h: Z- x( _0 D' x4 t# b# J: ]/ \5 h7 |9 r
! R# j8 k' Q. l& ~5 E + C) r. H/ [& k/ Y% @- @4 j" @
}) n7 N3 {& [. D% v- S& C7 X
+ U+ _# ~4 t5 E9 Y- j$ i2 U U' w% V$ `# m8 Q7 G
) [0 l7 C5 V: m* P2 P1 _
0 _8 B" G8 P) \* Y
' w2 o4 D! f7 H2 U) D4 m " ]) b3 b4 j7 t# y( o) x7 p" ?( `
# ? [6 b' w* R0 K% q indexrow.at(i) = irow;+ w# {* [, G( E' n3 k
# u5 ~4 B: D+ N
0 O1 u, @" |) {& u! [) k) n
; b$ \4 r2 Y& D
2 m2 e9 V" |# m2 _6 M' @ indexcol.at(i) = icol;, A/ z* Y6 @2 E! o# V! l
; ]2 v# j' q$ E% f4 k
! h6 ]3 Z) F- E' C
+ Q% M9 }0 t" h& s8 S* X
( u! g; R7 D3 F% q% j; l% z, _
% ?0 C h3 |+ v* w
: {, x* U$ }) R! Y+ ?9 _: R1 L' I1 i
9 K& _7 S. {1 M; l) i( }6 L# W6 P
, ^1 @; S; n2 S4 `/ g- | try {# w- W- s& n' h8 ]4 o/ x
, y1 n, L; e# P/ g! X+ z4 l9 i
; u/ q1 y( O# C/ H" V
$ O- p7 X. z6 a, ]4 y9 r- M! l
) ?4 b" S! g7 I! N) B/ G1 i, R
double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);0 c8 m/ ?5 v9 Q. y" G. ~
5 b2 A( w+ v, n: {( S6 y5 w2 r! Z
2 q/ L% ^! L0 X. C6 e0 b- r) x 1 T& i( v5 }7 Q+ M
( ~* ?. p% H+ y& O3 p
) n- u1 }: t, p: G% @+ H $ I& C. p5 V* [; n1 n
E% N" n: f3 |6 K/ s% R
for (int l=0; l<n; ++l)
8 `) x9 Y6 N$ V3 X, S
& n+ {1 ]: v8 |5 w' }3 {. c. f; [: k9 b" |- A5 k6 T
5 h+ C) m/ O9 e: y, `; k9 n& ~" `
! Z* Q2 x w! r" |2 A A(icol, l) *= pivinv;
3 D/ x z2 i7 @* |1 F, N- g
% \7 L% @ P- }
; L) p; Q+ ^6 F* l) `( C- M8 |
2 q/ J8 F. ^. V, J
$ _ m5 c- O- C' y7 `2 T for (int l=0; l<m; ++l)
4 Y' w1 F) x7 e5 C
% x3 F: T4 J+ N; O
. C/ h0 u! V$ } & o" E0 S9 X- t7 o3 a
* d% Y" H/ x6 k, i0 k6 P9 J( A
b(icol, l) *= pivinv;
0 a; F% o1 C, T$ |8 V! J
! s$ _7 y& R: [2 w
. b; `6 U4 [- n- N* _ ]4 f* @ 5 ~- a. O5 q! f0 x7 r4 G
' r1 q# Y Y( j: n! e
2 Q i) L+ F3 l4 P2 t
# D+ z9 B0 o# `9 m0 n - N, k$ [$ @4 a3 J' M' N6 ]
//进行行约化* k' z$ `( d2 {/ h- q4 X8 F
+ n; o9 m! X0 x( @3 ]
$ M6 u" N. b1 E+ o- l/ ?5 K
. r8 g# G$ ?' u$ f d
4 ^' c+ _# _0 ]7 A% }' F for (int ll=0; ll<n; ++ll)
! ~1 k! v) b/ B% a- t6 t
$ r9 k. y/ ^2 h% t
. c& ?0 U. w4 h7 ?7 C w
! Z0 H: w% @& `" \) q
4 m% P) ]7 r2 ]0 r if (ll != icol) {
9 s( K% R% F! M3 o9 l2 G( l8 K( x' V) ^9 _& u9 |, ?+ `: M7 O
; \* g$ s" t( \8 t9 G1 i' @
! B% O- {( f1 m6 X" m2 j5 M
# X8 B ^/ }- J
double dum = A(ll, icol);( t0 G% m6 a3 x7 L7 g( Z/ U# y
9 G$ f. q7 D3 z
# S/ C, o; F! G" Q5 b9 m! P7 E
4 g3 b. X% o/ H- L1 {! C
* x8 t; M3 h, }+ W$ _6 G+ e * u% o3 T! g$ }2 [8 U
7 _7 _8 s0 r- f8 Q1 G/ [0 [ ) V' j, S* l- ]8 z6 I
for (int l=0; l<n; ++l)5 C6 v$ ^- {3 M! Y9 S
9 t( z; @$ f4 Z2 Z% }$ p6 B7 a1 P( V8 j& k
% P" W- z& g* V
2 f0 M& }( u" p: ^* c v
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;% h3 ^- f2 K3 }% q; V' x- [
% J6 F- M2 R- P6 V) s
$ L4 v! C! g1 V- @' T; l# y 9 j0 k) k$ X' _. y% w- g
7 d9 w* |- Z5 Z0 }, B' J& ~8 y( h' Q for (int l=0; l<m; ++l)& }7 `5 B) B& p8 }6 Q9 j9 x
: P* J1 T$ f$ d3 ^3 K7 k
* Q9 p. U! G5 ]8 h
" @; X5 `3 u1 V7 |
9 d8 g2 |3 m+ M: @7 Q b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;
! T/ U8 l q3 G& w7 g; e# I
9 A: r3 a5 h' P/ S) `$ A) q0 h
, h8 P% e$ m: J: E8 e 7 i" q! p1 C X( T- R
}5 }' W3 g3 V) @4 L- B
}
5 b+ s$ L+ y5 _4 J1 W. K& g; E1 M$ S2 B0 ^& z4 q Z" X% a
% R& t3 _& E3 P/ \* j
: x, ~3 c" y( `7 G" w 7 r N6 W9 R( j; P
}9 b% e2 m# g" }
7 R: _( z$ o5 e- f8 d/ ^. H' n) o) ]
- a9 O7 K. C7 N4 j3 d9 ~9 A9 X : r( p! v/ w" i: p& g4 V. N0 o
catch (...) {
p6 _9 M5 h/ o* N$ q" {* C" i) }: U' A9 I- c) \# {% N' R- e
' p3 M+ y" `% b- F' L9 @% v
x0 ]4 T* c7 Q) O3 Q) n: }
: G( s; V' F5 M/ P cerr << "Singular Matrix";" n( }' d* E- V
6 T9 g6 H0 v0 z. x2 y
# N4 z2 |; o: D4 u; ^% Y
- u7 E; x2 {& `+ m1 h
2 i7 @% `! g: b! L2 B+ r2 Q
}+ v1 ?0 u( L: @
' t' e# q. k3 s% l9 s' f
& D: Y# x+ D. r* s6 }) e9 G% X
: [+ ]2 A3 y% d6 X8 l' H / s1 C0 x! ?$ h( O
}( a7 k$ s2 W7 ]1 b/ B1 P
$ G) F9 V9 w! H
* \4 k# B; e* P6 f/ H) h& [- x
* b" C* W- l) y) {9 K
: |4 e: y$ s) l W3 V( ~, j. ^ }
; u2 q3 H" V$ D+ X R6 E2 j) s* [; a: ~5 s6 k
# t) P$ b6 t2 c 5 \& c2 T& V. |8 Q- k. M
9 v( w; [8 |0 d! N. y& d
. E7 J# T) T7 E! F/ f* H7 k 5 Y4 M0 S, h) F' a1 Z' j% r4 b6 j
) G) h' k% y V0 \/ t% t
int main()
+ n& ?- g+ p$ |+ d: r, E
5 K& X3 W+ i* n7 \$ A! n9 J1 _! E
- i: M3 _' |; w# O# n 0 n. h1 ]. W" @& H t
1 s! ~4 @7 G$ T {
2 `3 V/ G! {! ?5 M5 v8 q. O
+ d, ]( a/ v' K0 I; Y9 R- i% L. D' m
/ J4 T) y8 A j. y# T8 z ! Z* J' ~% X- x3 ]0 R
( l4 @7 N* w" b* S3 m" n) }0 f/ F; ]
//测试矩阵% Y+ }" x) n8 Q% x4 J
, Q5 [# S0 i2 f# a( V1 d# F6 ~* M/ k- u% y; U3 ]4 M
. [+ p( w4 t# a3 `- o- A# C
, b, ~) H( N! p/ f; C' b2 ? Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);% @: t: P% U3 s% ]; [ ~
; f0 z+ l, _' Y) C7 U9 s& \, M" p, K3 H. a5 L# l
/ H+ B8 [4 S5 j8 v! M
( t6 v L6 ^5 {0 f1 R A = 10,-19,-2,# X" ]* l6 ?1 ]" G
, S a) H) O% ]% [/ o2 {/ z4 U4 h+ N' K V! T0 C
8 H1 S$ x7 N; Y5 k6 }0 y2 w& {
' W t/ l: r4 d& { E, S# { -20, 40, 1,
* I/ r% ?- V8 N: t5 p: h/ c" n5 p3 `: x% ]- L2 @) Q Q
+ a# o% |2 m) U4 V+ K; M' Y
, e1 T# F( Z# R2 B2 g& P. U
1 v4 K% B& v7 {( H, o7 A 1, 4, 5;
1 x4 g% ^/ n& T" P$ T! z a
8 s7 a8 q) }6 ?9 l
5 U. U G9 J: i1 Q3 e7 ^
- d) N" n# L6 n + s5 G; C9 U, B2 S7 W9 n/ y& U9 C
3 x- B$ I. |5 T* ]0 I" a v; U # J2 V% Z {: Z5 T; y
7 X' z4 q2 p& M& i M2 O
b = 3,
- z0 R8 E8 e* p; I( X& {1 R+ D. S) M; l$ U0 w
, X- K7 M- z8 c6 d( T- V x) u
& c8 F# G1 K# _. B* d1 @
+ g6 }4 ^4 G1 r5 u. A$ e/ k4 X 4,
# Q/ ~ f" F% N" T( p. N7 ~! u. s, [ K ~. t# Z4 K: B
9 \' K4 U1 Z% z& C6 ^+ E+ x , U* ~: j' q7 X9 _9 w) d9 D
% ]( T9 o5 L: @, U3 N; W
5;
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! P- s4 d" V, g3 B2 r 从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。
( S' A) W1 |3 B4 Y- a2 B; g3 C% R/ Y( A 5 \- @2 W, t* p) J* J
4 M* Z( h6 C* b
/ \' y ~% v& l5 G . b; Q3 h3 c. q4 Q6 [8 x
3 @2 m# N1 {: m7 \/ x2 U
4 V7 n; o' F: ~
) c! r" U& }7 u' z: O( {9 x5 F
2 c5 j% }1 C6 \: T+ v# l+ m1 ?
注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素
+ ^6 h/ y3 d# B- u- @8 D& \6 A( Z
4 k3 U4 u& p* T4 f) W4 }
2 a7 z$ A) D% [6 ^1 ] 7 b# I ]( c6 {9 P5 I
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