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全主元Gauss-Jordan消元法
3 x5 `( d6 P0 ^/ r: C 0 d" M9 i4 E$ [$ Z# r) {
& W; V% O, n5 x
1 \1 a+ a# V6 j) h- ~
" X6 N4 Y, A# B, t+ E! F
/ O! c, e* \* m7 q! L2 O& z8 s
/ }7 \6 U6 M; Y- j1 p- {- @- N 2 y: _! o) b5 s! U% Y" A5 u
* S+ \, k" F( W9 c. I9 N
+ n( ^# g5 J0 a% X. [ / {. j% ]9 T* F3 V5 U- h6 q: `
Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。
; V9 i4 z5 D5 ? X' M
. Z; B- p" B! b/ V' G8 o
/ m& g. r1 k" i" ]9 c; H2 H2 s" w. h1 E( v4 P2 @
) x2 N& p u0 ? T* }/ R
1 A1 |' T! o6 H' d
Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。
2 A; w2 L. C |5 T 3 r5 `- i, W7 y" L5 M+ E H
# h( U Z" z7 u/ g& @, v0 T7 }4 E" |: u
3 ~: _3 z$ s4 G4 o
& t0 B2 u' e$ H8 k* V* @# v3 c- K1 |. }% L- @' e8 A4 ~
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。
3 C$ c% M7 L. w9 v2 j / v# v" Q* r# s# A
. e" F$ B; X+ m4 h - s+ f, j$ f- u) P! r& n" ?2 ]4 s
* [# G4 ]3 p0 b- V: t* l
2 L& V$ m$ k2 Z% I5 U. N
Code：
# I& h7 \( \: T. ~# t+ P$ c# Q
. c* N/ @3 g% O4 ]& H
) i5 e) l# B- }$ P1 M
1 M8 d1 D+ e* K9 H
4 n, J$ n) u9 a9 Q5 N/ `
* I9 O: V) S4 F9 E
+ r" S$ b$ ~$ C% m+ c
" g5 e$ ?5 K+ X' Y #include <blitz/array.h>
; @8 f& D% A, `$ E5 [
) W8 o S* _" R7 D- M# g8 S. c- J5 s
1 m# W6 z$ }) E [1 M+ d
! q( P3 L( X7 v7 s! i; G #include <cstdlib>
; Z% q) S/ e* l, C1 V; {' ^+ G; ^/ F6 ]+ d3 }
4 r$ L* k5 N& X+ `( p2 u& Z4 R
. M- T0 p) ^) U; H
( |0 O1 Y! c- z7 f# r' V #include <algorithm>
9 ]; z }: R# p6 J$ O
, X+ s2 W/ E+ q; l6 A( y( W4 a0 K, O2 {8 \5 p5 \; D: _8 i/ \
6 b: `7 F; w5 J" R/ ?5 q& Z; `
- J+ n# L, ]. s: l #include <vector>
) ^8 Y9 D5 a6 q4 l$ E6 f$ c7 T9 d
0 a7 |# `, I, Y" \
) W* M7 U. [5 I* H
/ O- T/ _" U# Y! _% s- n 5 G; p' Q8 c0 l! o: S7 ?) J
using namespace blitz;
& [: u: L: r! y9 M- w+ g$ U( S
6 _6 z6 E* B2 b1 y$ G+ C
. v0 u' k' e2 f2 \! } / f. @! d8 f {2 ?' _: N7 C
! u" z* i/ ?# Z& g* S4 w0 C
9 ~+ c% H u1 Z8 O$ ] * m& d1 t6 R& H) L1 F8 }. \
* M; l0 b8 @% Z' D; q4 m3 |' O void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)) b+ o: [, q3 Z, E" D* R% f0 {8 J
4 a* g9 w) d7 f. Y( b/ S$ Z3 V V1 H5 ~* d, I+ V
8 H- S5 ^: X6 G0 [, b! O
& q* G8 E4 U& M8 n3 l
{
; [0 p- }$ j- W
$ |% ^6 d6 a- H5 b2 I5 t5 Y! g
6 k2 z/ X: V( g$ M& F4 r 5 ^/ Z4 V( r, G2 u
2 [; [3 N; j' {. k. x: N: B int n = A.rows(), m = b.cols();
. M8 x) X" D" y. R5 I/ E y" G8 o, H; l
/ g. E# @2 |* y" l# G* I
* \% j; F8 f" T+ u ~ L ; W: b1 w( ~) z4 ^; T0 `
int irow, icol;. X1 Z3 N) H7 _* [
. H: F! b% c3 I' g/ q8 ?3 s
1 A" E" n, P, Z J; Y: Y4 Z
9 Q5 }. J' o, c: Y _2 Y/ @
5 Y: `$ b. n3 c7 x% i4 \* Y vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);4 ~4 ]: D9 m$ d
+ Z" _' x7 X; p
5 \8 j$ |" A( i9 ^1 f2 |
1 \! O( U4 d& ?% ]# s( W
) u7 W0 T* W1 Y+ l& [% h# `
- _6 I( C( e0 b! X2 { T- a+ R * G2 q5 h# \/ l' E: F
1 L' c: M5 C* m' s
for (int j=0; j<n; ++j)9 x5 h" q9 f3 ]! X; }
/ S% E4 e5 t r# ~0 G
. f3 q" U; P) h. H& C6 ? / U7 ]' h" c. W9 W5 s
3 Y( [# R) a" c9 R. t& Z piv.at(j) = 0;
8 U: {* ~0 p& r* o1 B
2 E+ S! [% ~" T+ D6 _/ g: z! Z# n' ~( l& e3 r( [
* `" U5 |) p, v( s }! {; u8 j
) N0 }, K6 J- L9 C4 a 5 q; i+ l# I: F2 X
- a, r( W$ j" T$ Z$ r* F3 v" a. z4 X. j% {9 I4 a1 [ t7 m# l- f5 g2 u
6 `8 F2 `( c, r ~
6 ]# c6 M% {' o$ x# N* [( o
//寻找绝对值最大的元素作为主元8 m; O; ]/ m1 a8 R2 L. ~! j8 L
C3 N! {! ~* C
' m6 n* X$ p1 b. s; R
9 h L! e5 E2 T( m4 w+ r : ?2 d2 z- ` Z) j3 l+ R* T/ M
for (int i=0; i<n; ++i) {
7 N: f0 ^( o4 d; i2 Y8 Q6 p+ j/ a% ?& D5 v% B# [5 w; |' L
( f) i) ^7 v# V2 t
+ P& G$ M( t5 f5 [% O. |3 j
2 v l, p5 Q+ C$ f( `; a double big = 0.0;
% A% p( I3 H, A8 Q4 P1 ~* I4 ]& m l; t2 s
6 F" k, P* \+ m, ~
! h# y3 p, f2 c. o. f
3 N& m$ Q( g7 c. d $ d S2 T$ s; [4 X
5 w% m( W" G/ n( S
; W8 V" C, e$ R6 Z, \( f i for (int j=0; j<n; ++j)# h: g: G9 M$ o2 \" w0 K7 ]) C( e
3 ~2 K3 v. Z1 _. {! U3 a7 E
3 p/ E9 t* w; E/ @% g# H
; E% ]* Q! v; g8 S/ r% t
; p! e8 o, Q# e% N1 K( g2 z5 R) ]) E" o if (piv.at(j) != 1)
4 |5 m$ D* x% a+ y5 N( Z" D4 q4 y
0 o o/ y3 J6 ~: S7 D- n& Q) I2 b" |6 V
4 K; g/ T3 j u" V" o
h" ~, J5 ~: c9 u/ F M
for (int k=0; k<n; ++k) {1 A0 Y0 d2 v! H3 B5 J
7 M: F, W" X9 W% e+ p
/ P6 I# ~# P; M) r4 i
& ]& l4 [3 \1 e0 r* Z
2 b0 f+ c o% C4 N" b if (piv.at(k) == 0) {
3 Y# Q4 X( f& B* Z6 l: ?, h8 \6 p+ e5 ~1 Y9 u+ e) v
% P! K7 o6 E7 {+ T4 v. e% N4 f3 e
' c$ u( g, l$ `- u5 J - _7 l( C0 T% @, k! g; I
if (abs(A(j, k)) >= big) {
: S, R n* U; x0 e& j4 f; M# ]) | O1 k$ k8 l. \
- Y7 O8 B( K7 E; c4 r
8 N# q& T3 F$ i) M9 U- x " t0 j( o, s% R1 ~6 L
big = abs(A(j, k));, Y8 }) x8 i" X& j; @
* x3 r. r. x7 O; C$ H
' F) n% j4 k8 w6 B
! u# }& w1 R* D1 m+ M1 I7 i
2 o& n1 @( i7 |5 u6 C# D o# |: k irow = j;
% A" H/ n0 O# V# d1 c# }$ I
* x* [' C/ Z* C( g7 P- G$ d0 u7 [3 ?6 D$ S+ _( S: r6 k; u% R/ x
6 Y1 m4 N | {7 I' U3 G
. S V) G) z0 j: U& }% ?
icol = k;: ]$ [# C* \" n3 G
, U$ J+ g5 z( A+ i/ `$ Q. i4 P% z1 u# ?+ z9 s
' i, w) h1 f' `$ J2 j
6 C0 s1 Q$ `, h
if (irow == icol) break;' E7 [2 J1 |3 v3 L
( g, T9 w7 o+ I
* ~1 E! K* D6 J; F
$ J% Z' E c4 v4 r1 r( ~, y) v6 t
5 e) O7 y) w# _# L7 Z }' V3 _3 ^6 G) \. ^2 u
1 C' U, Z2 y, m' |$ g3 v& W
) s" M9 Y6 D' L% d$ y
1 p; b" I3 r% V v g d# R
8 y* w" D( M" }0 F3 z: G% r. f, m }
7 q7 D& `- |5 A0 l/ o2 E7 {4 Q; ?+ i6 f
( v3 W( Q9 K6 ^+ ]% r$ z
- l p$ f6 D2 O+ L
' j/ S5 |- @& A+ w) ?# M
}9 a) s* @" W5 b% T, `/ k2 O
4 R, Z% }: r/ k# b- p
' P4 M" F, i7 K+ t
4 t; T7 [* Z2 m7 }- C4 ^
# a2 L8 |; ~ l
' p. A( Y# i% M( t! l , j# V; {8 D. U+ }
6 x; [; }0 P2 L# ~ ++piv.at(icol);
- V2 r9 H6 I2 g0 Z Q0 t0 y5 |9 H, ~& j$ S4 E+ V
5 g9 [0 L; @+ e
5 d' P0 u) d5 L3 K 8 f% Z* X5 ]; r. g: X4 O
0 k1 M0 F3 C4 Q Q8 k
+ S1 T; ]# i6 } ~
: @1 e4 I2 @( C- @* A) K
) _8 C, L' P9 b& A, X' V' Q 3 F8 y, y4 I) L$ ~
//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，2 |: @& T' d2 c( S
2 [. }$ A, I( p) @( @) P2 S. y. M* O n: ^$ S
: p5 o6 x3 I* u5 |1 a" l3 a
7 g; a3 N" j9 d( D# L //使用向量indexrow和indexcol记录主元位置，
: b/ U5 ^) \' K% G( A% @8 i) E7 c7 M8 p; `' w1 D# t
8 n8 Y+ m' U$ i4 Y Q4 r/ W% G% p4 Q" k9 n1 t
' {, K j2 u9 `
//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。
! r" Q4 a& n7 M6 u% ~! j8 H
2 [ X# M' O7 t# h5 o" r- p$ A# B& U( q) R: \- X6 \
# k- K' o0 f0 t3 {$ Q
2 V6 }: M3 b! _ if (irow != icol) {5 w3 e$ \ `5 j+ K, U. l8 f$ O
6 p' c4 `, I9 ]+ Q) \
# m* ]/ W0 c1 G, \# t6 h 3 Z B5 g- h5 S& l% W; q' {; S
/ B6 d+ V+ U2 Z0 |$ S( B6 N- g for (int l=0; l<n; ++l)# j" F1 ?+ m Z: F; v
1 f4 o$ u* e! }1 n8 e4 s# M: m
% H% Q6 j2 V5 {+ S* ~) A
) U# P5 ~/ g: `/ T
4 S/ u, M: T$ X# G, z( o! g# S+ @ swap(A(irow, l), A(icol, l));5 u+ A: A6 l$ T) I1 m% K) J. H
3 s% Q0 {. _$ h3 B0 L; w/ ~0 q
u1 @8 r) l2 `0 @
5 X- X1 D; N# p' l" ^
, ~2 t5 J2 I1 n4 }' ]3 b1 @ 4 l7 p& s" B" H: F3 j; b' A; b: E( F
; W ?6 Z! c& Q9 A
. l% U% r$ q6 S7 U! ^
for (int l=0; l<m; ++l)# \# N/ f) o3 a, g2 ?$ X; b0 l |
! ?! Y, O7 k6 ]
9 R1 D- h5 P y$ r
" o% m: q: L2 A" t& s* `9 E. a
+ u( D0 t" W1 v# |0 T, H* Y
swap(b(irow, l), b(icol, l));' z, J" g7 e3 \) j) ]
8 }0 W- O) y8 L6 E
4 A& @" y' t3 [4 k7 m, w+ M
( j5 {% p) e; b/ `
6 @3 ?2 d9 I, o: Z! X
}/ x. J, o# z% P; y9 V
, o+ s, I4 P/ e, [+ x" e& D$ e+ @5 K6 c: d* {/ Z
- K7 n/ Z% f6 [! ?0 n4 C8 p4 `% c
" _" ~) T; r. h; K( f0 E 8 p/ J5 e' j, ?8 P8 J9 R8 z
! [9 p: H5 h. J6 g( L* ? 1 s/ m; C! L: R& y+ {+ m
indexrow.at(i) = irow;
0 K9 [' ~0 ]/ m: s3 }* H+ Z5 z- Z1 `4 j) x4 S
; i+ U+ U: Q7 b3 p0 F# P7 X; f
) y1 [# \. K e6 G 7 P! X. P$ E! p: P! ]* v
indexcol.at(i) = icol;
8 }' H/ `! J) b7 C2 A, z: [$ h% I9 p/ K9 R" X" L
/ F0 p7 |7 _* U+ A& o2 x1 _8 C. r
' ?! }4 T5 w: o0 T" Q+ j% y0 q & X4 g$ t7 m9 k+ V. p+ F4 L7 `
* ^, o2 M: N( O d9 b5 W9 Q
' q7 ~) o; z) [: D2 |; j, l: e# G( n3 Q- J$ s
: O- _, r) R' U2 J - y( ^0 j* s* l E% B
try {) w' V5 O) i. m) R- ]+ c
H; q D+ k, g, o; H. o! y
/ y+ a/ ~4 r( v& m. l" l
- P. y2 N9 c1 b+ J / Q, `& ?4 {) t$ R
double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);
1 Y6 z( m) U r$ _
/ L1 }8 ]& S7 v8 v/ j7 X n& c2 N2 h
/ O& b0 I O( N/ ^( m v6 ?
# Q. I; z8 @4 m8 U- Z$ o ; t* k7 {5 K, [& \% B
! @4 U( C; f6 ` 6 |7 S+ A& X- _% e
5 @3 w3 z- K& _& F4 ` D for (int l=0; l<n; ++l)
# C9 w, u5 O/ C: j. r; `; M
# e* S& |, i; |3 L# b# x# j1 C0 X3 k6 k4 P
l0 C1 X8 p4 ]: t
$ b3 O4 } b; U: e$ C4 k
A(icol, l) *= pivinv;) V2 t1 M% ?/ M B
& w0 ~' t0 E+ X u6 u) o
: I) [5 S# _: g. |6 [5 v- W " L1 u! @8 d) {, T
1 n! K" Q/ s& }8 D( T
for (int l=0; l<m; ++l)/ r) l* [; o: E( l" x9 M
/ e) Z. b. J; z' S$ O. O; x0 g( R. V; X$ r' [! N
7 [( w4 o9 ?3 S1 O9 Y7 N8 ?
3 s1 x" |* \. |# U1 X b(icol, l) *= pivinv;) v, q8 I( d- o9 v+ ^
# s0 C4 q. y: p* i, r# R+ t1 v
, J" v2 P3 `+ ]2 f/ J' Q4 K
% h. `( z: [' Y6 u' M ^# y7 y
1 ^$ V: [) k6 u7 W8 }9 S8 y
2 s+ H) ] j9 C8 b: n( e
7 D6 b& n& j: N% ?; X 1 v* h5 T% j$ I: _& ^& d
//进行行约化( B# L/ @/ I6 ]1 W: S" l- G
% f2 n0 U0 X0 Q: N% d& x& m
$ N6 O0 q( ?/ E, r) P8 |
! G {2 m7 Z; P, } C
0 f5 ^& B! m, \$ q4 t4 N for (int ll=0; ll<n; ++ll)6 N) [4 L1 |0 s5 r" t4 G2 ?% w/ I
9 Y( K; _" i# K0 a+ f/ A6 o% M
+ b6 e; V J/ }& f: J! j
4 R1 s/ v6 p& ~. P% H: S
& T) r7 ?' p! ~# O" |% l
if (ll != icol) {
9 ]1 y2 I: y6 _$ b! x6 _$ y( }# O2 E- L: {1 D+ M) L5 t$ \ E
3 f* K; O9 e4 [ b, @ / Z+ I6 N9 w' n; Y3 m
3 u( |. [7 m; u9 |: F; a4 z double dum = A(ll, icol);
6 v3 M2 C$ e& v' c, S8 }
1 `1 K5 L7 {3 R
& M' ^# [* e% [
7 @( s a+ M! c! q: F+ Z
( E1 P/ l+ t/ V2 i0 o
; P9 Q% B1 _' C
& j: H* H4 G& Z9 O) b( D2 f$ e g. T. z, D; H1 d
for (int l=0; l<n; ++l)
6 Q4 x0 t2 ]- f# i7 |
; ?3 G- O6 o6 T3 p2 U( b q9 r A. ?; a. |3 c1 B: Q
4 \0 E1 X8 v5 t/ w 1 ~: Q! Y9 [ J0 g5 n! v* h- R
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;! f2 O' G& t6 I1 v% |( ]
9 i9 x* _5 }5 |9 l" k; {, I, m7 |9 P! Z' K3 d. a: f# d J
8 i3 G& G6 z! w1 G3 G
5 @* n/ K/ d4 ]
for (int l=0; l<m; ++l)
: s5 p* b! b, w( Z- M4 U8 [3 T, F3 e V' W! A: N1 m
$ s- @3 j6 X L0 ^6 T4 T
5 D4 z* }3 ?9 J$ t% D
1 i) d) _8 W" q. C( R% h b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;
; b0 L' }- R# S: ~, W
8 K- ~9 ~6 K3 Q5 R8 C$ v- L0 O7 X: ~9 c
/ b1 ?, j- Y1 X- @" X. L
! B; f5 ?, o& T2 h/ Z, @
# l. F9 _- I5 b7 J5 ]/ p+ i& h }8 |* G7 u5 P# q- X% q
0 v+ m$ _1 P( s5 ~4 l9 d
0 M2 e# B' L' u
! u+ @# d8 }4 R5 Y7 V X* K' I+ [! e5 s& Y1 j
}* B, O8 W- l$ J2 ^+ [
2 @1 s( Y9 x- T( @2 m( M# o
9 S" V1 C8 s' y! w+ h$ r
: |; e$ ~6 ^' q3 c/ u" R" ^. X! `
9 j7 f. q, ^0 I7 i/ v catch (...) {
0 a9 R g9 v: R8 v3 Q$ q) ], J/ D. y
u5 ^. W4 A0 o# B: R
2 V0 k4 r6 [% C+ T- X3 X
2 ? n$ n& q9 L! U+ i; e$ s cerr << "Singular Matrix";
# i7 O5 T# }8 \! j+ w
, T& m; a- u+ q- b
* Z2 p: h9 a8 U% _ ! n7 z3 y: O' Q; _6 h
; V* g3 k& o& Y3 n) ^1 k" o4 ?0 V
}0 Y, m7 y: R" p* j1 ~
: I u& x' Y6 Z! V% b) n
1 l+ U6 x) d' N( O
+ b: ~" x1 ~2 o ' I, B8 B% L' H& A) l" @3 R
}% c; K+ \& W& e" q; \5 M( I$ y& ]
! b& f( [5 {0 ]: o: g9 \$ l1 f
3 h, k" O( \, ?# p1 D- a! |+ i
- b" O9 C& W0 X( H% f0 f" t7 c6 \# Z
( G6 B) n, |3 e s6 |( k }) S- |7 Y9 B% Y" d
8 W& r5 J1 i: F3 x. c. d1 y1 y: d0 b, g& Q. n
' z1 B& b9 N* u * K" l: D8 g' Z% G
" Y$ R" \* f6 \7 t* Z - j3 L. w! U4 b9 }
( U8 x' Q+ l3 C4 j int main()
3 Q' g% y V2 W. S% d( m8 ~
! }6 e5 g* y/ F( [* J
+ U7 T: P' ^( y: d/ n/ Y # d- E' v6 l3 ~4 G2 k* @
4 `' A0 I; A# x. a- j3 u { k5 b9 ~& x' O
+ R6 t: i1 B2 {. U" n
' H: g8 J8 K9 |* \% |, f
2 x5 N6 e# j& w% @, u f6 C% e* X/ O 6 D3 b9 m7 q+ t# I" ^. H
//测试矩阵& G/ B2 j- |- H t5 H( g! y
$ `/ D, N* G/ W+ Q' B
5 [/ {, ?: z( c# ?9 }3 m; I( ?
4 g; ?/ v/ |5 e ! C; ~5 t: g4 B" Q. n8 |
Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);9 W: S9 v3 @& q0 Y5 d) i
7 |5 E$ a$ S: x% K: h) \ T; ]9 j5 R Y6 a" |
7 }& f/ l M8 G i
4 k; ^* D9 Z% @
A = 10,-19,-2,
" B- z; [) S6 D4 _0 t, n$ R' L; X
8 B) Y* Z1 K' `$ a+ {$ H
: E( D& ?9 u+ S, D
8 {+ q8 H2 n/ } U3 u% `, m -20, 40, 1,4 s9 ^4 ]1 }( T% D. d5 B7 s
@: K: l. [, z. ~+ R' W
1 P* t4 I* T8 h5 R! D; j5 ^ # p; n( f3 b: W
/ L9 j s" x* F% T4 [ 1, 4, 5;
) o6 d! A+ y3 n0 U l4 j4 }% L; e
5 ?- S: z. t R8 H& ~# ]& B
% Z- E% N! s% k
$ _9 x9 a5 w% {1 E 0 U9 w3 f7 G) b% {
; U1 s9 D1 ?' |* f' U 0 \8 ^# G, F0 ^" |$ P
b = 3,
2 k1 Q* |$ ^9 Z1 E3 J( e! B2 f
, `$ s1 l% g. V- E: k: R& c
( D! W7 W: I, g+ D
7 ^* ~- M2 _: L6 r6 C) f, n. j4 s
& }9 X; g% k# @$ D( F1 R" _5 O9 U. i 4,) t, X4 G3 z' L( J3 l, X
! d3 e- g& L1 v0 i5 _4 n7 U0 K
/ K5 D7 c9 R6 ?, {* y# L3 `, [2 Y
# |; l1 e& n' Y+ i; r+ r" k - _! k9 ^. R; Z
5;% p$ T! M4 f5 c6 q+ Q% z
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2 X! W9 F: H0 t3 j- O- }+ n9 r6 B. L
从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。
4 M/ ^/ l& C, F% y" q; l% O; L" ~ / f0 Q3 C! X$ N) e6 w$ b
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7 u- U! e& h6 z j# C9 ~ . [/ ~0 A4 R+ L( q" V" k1 f9 `
+ X0 V8 X7 r; ~% r
' x8 Z: G& a, \+ q
. e; o2 {2 Y' A' M1 l. [
注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素. A6 O- F6 c5 x0 P) u. ?, _. c( V
0 h& C3 L7 f2 L! Y: |, u
. E& d; b- Q7 @9 A; b
- |- I9 E* d4 u$ X[此贴子已经被作者于2004-6-3 22:15:49编辑过] | 
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