数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
7 @) }# e8 i( r7 r4 {3 J1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
6 e/ l  K& w+ N! m静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
- e9 f/ @6 S+ G" J" s- E3 ?% a性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
; [% d* Q) {1 H% c* ~6 m' W! b: N" e2 h4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
5 H; I5 \+ |, i5 s往也和建模的目的对应
, m6 F. s$ _- ]# e1 L' G0 Q3 Z5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
. R1 A* c: P$ S比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
$ R  n  m5 }. \6 d; r6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
& Y$ K/ G& B) `2 X运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
% N' j1 D( R; A( v5 F$ [该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
$ h# r$ v; P% J. S; j( E4 t以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ G& ]. x+ g* k比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ Q! ?. g+ k% `法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
! i' K  Q9 u- P/ P1 p7 H2 h( g) I2 {这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
3 i3 Y; O" c) W# \& T6 \4 F2 z. H7 c论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 |% K$ i/ L2 a" N- Q5 P这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
' o& h) t/ r$ |8 l6 f  s6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 a  \6 S8 M! S+ t" B% I5 ]# l. C这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
9 e6 u* y9 z* H6 M# @& e6 T5 J3 `& o当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
, S5 i2 r6 j1 A, j8 }, P一些高级语言作为编程工具
; q2 M' _; e/ R5 J8 p8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
3 t( R  A9 k- M3 O据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
# }" {0 M% X  a; a0 I0 u5 S4 p如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
" m2 a( g! j& p0 f, N( T10 、图象处理算法
) k. ~7 d% N4 Q2 W' L  U赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ G* U+ H  U$ T+ i/ E3 I8 V行处理
; R' ~% u/ Z8 y7 B, ^算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
' U# N4 @2 F/ }8 E% F! c3 n* _% t个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
" X4 K% ]4 _0 i. _2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
+ C$ r) S6 a' Z- ~+ ?- L: q找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
: N( s( L! y4 N1 z$ {$ v2 ^3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
, l, x/ l; R( ?4 q②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
! B8 M5 ^$ Z- t( r5 \7 A一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
" ~3 {( r6 N, ?) z" m( i2 o% [2 H( ^互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
4 R8 T6 I/ Q: k6 [( ]+ m4 L5 I6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
# q+ r& O( ]- N: @5 [0 a! j; J预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; C9 T( j3 P  g' S0 u1 p0 @6 B/ Q办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
6 z6 l  e2 t. U2 l9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
6 @! o- h# C* [$ B; Q8 P% P3 x) h# w拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
3 K' J! C! Z' k. {! p8 y& T10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 b4 a% V( e* o( L作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 H; l0 U4 R, b# h) j. D/ Z  d优化问题，对各省发展状况进行评判
& \6 P; m. o$ k$ z13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
; ?: `/ @' K' e6 ]15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
9 s  j# V& C$ n+ g可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
* R* X, h7 X) K; O( }- W来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
7 C; a" e% ?+ m! X% U/ D方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
% r! p5 n7 N" D3 \协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
9 I) c1 y  r' Z0 F& D4 i, O17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
; {1 v  }, y, @4 ?9 E1 P离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
0 c* V; q9 |! v$ o1 p20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
7 T; f+ c( o" b, X3 B" W排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
7 y1 S" J2 [. b+ U有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
1 G5 d- p% }* _# E6 u7 M计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
3 g  Y' }" H2 Z* u+ c( Q21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
, a7 u1 r7 t9 ~- {# k22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
3 J5 M; n& G: D1 e$ Y从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
9 v% h1 A0 @4 [) @9 \- v, i6、对应分析
7、多维标度法（一般）
3 B8 y7 c0 ]% l4 D* ?( A8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
! Z: ^) s5 e0 V; Q1、距离聚类（系统聚类）（一般）
6 t) T; y; y/ N$ a" x2、关联性聚类
3、层次聚类
6 i' M; \9 z9 ]% a( o4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
3 k; N+ X& n' x. W& E% i8、模糊识别
1 z! e6 q  C9 [9 j/ e  ^25 、关联与因果
3 d* ^  A! p2 s, [0 z; E- y  {1、灰色关联分析方法
9 t7 V1 `( L8 {5 L$ K! N; w2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
* b* x, K  g  q3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
9 S3 G2 s9 }3 [! l# J) f9 V（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
" O5 u7 n, {0 b0 o* W一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
$ Z7 E& e$ E1 w; T7 N: h& ]1 b若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
/ K1 X, |" i- a8、格兰杰因果检验
" S, j* Y6 m8 J7 G- {2 \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% @3 U$ E9 Z! i8 l9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
% `% b7 \7 g; X- \5 r量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 |+ ~+ i4 H2 Z率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
- ]+ z7 ?5 J, U8 }, @3 T% [5 E
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的