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TA的每日心情 | 开心 2023-3-15 17:49 |
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签到天数: 224 天 [LV.7]常住居民III
 |
数学模型的分类
# E- `1 a5 J+ N9 A' g' I1. 按模型的数学方法分:; w# d) [" {- M4 a* D; S
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
5 V8 u6 j0 m+ {# f( L型、马氏链模型等。
1 f; Y1 G" W7 F/ w( g! R3 j& I2. 按模型的特征分:
( Q8 ?6 q" _5 M% @- d静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
# G1 }2 _1 A7 ?0 M9 Z8 s H性模型和非线性模型等。 T1 ~. y2 `9 X! U- @
3. 按模型的应用领域分:7 ^$ _9 P; @0 I! q
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。& X* j, n }- ]3 r4 r6 I6 C
4. 按建模的目的分: :
! S; c/ R, @: A1 b8 d- ?预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。 C, Z3 l# `7 E4 Q) R" J
一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往
2 B8 i( U9 p2 d9 A- y& s往也和建模的目的对应4 V7 n' P- N, j) d) D1 a
5. 按对模型结构的了解程度分: :1 L- N: z! I8 p0 |/ _- h
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
+ i0 y% @ e' f+ b比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。* c) m0 Y* N* u2 g
6. 按比赛命题方向分:5 e$ f' n& v; m
国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、
7 J p, h/ _6 V. [运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
, L F/ o, c. q1 d5 B数学建模十大算法
/ N% m9 e/ X/ @6 }# Q5 i* Y1 、蒙特卡罗算法3 _% {4 S# B- L0 d# n( Q
该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可
9 U. g' _4 \7 V以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法( \0 l3 f# k( V. d# s7 f! O
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
9 f9 ]6 E, ^1 { T4 b比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,
7 y9 \5 }6 ~" S8 t" E- a通常使用 Matlab 作为工具
4 c, |7 z. L% V7 a5 j _5 K: h3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题$ K8 M# V- t8 D( U
建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算
`' h8 t- i5 ^- F; F8 x( V) D R% S8 Z法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ r4 w2 ]: m( c1 ^4 、图论算法
) Z( @& E- N8 ]4 K这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图2 \! |4 r' x: E6 r& L- p
论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备
# t- i( w. d, L" k' T* G4 @7 |/ P5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- d1 t9 u, f" ?; ^( @这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中
& W/ a$ @! ?! F N6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
# D6 O( N, ]6 z! M6 {9 [3 N这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有
y' h* u! J* k( Z/ h帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用 B( `! \- d! Y% ~
7 、网格算法和穷举法
) H& y3 J3 H+ m2 G% J- a1 h+ d当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
- z' u0 s& x1 B I0 @' B7 s4 Y一些高级语言作为编程工具! v5 \0 }# g+ G9 {+ |% x7 d3 `
8 、一些连续离散化方法
- Q w. h2 w0 r( C' A4 K很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数
4 m5 Q4 n5 p2 k4 k8 Z+ @: z据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的5 I% i a( l4 j- A3 {
9 、数值分析算法2 Q e& o: t }! i' Q; n
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比2 |5 `; C, p: E9 n' x
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用( Z# [% s* e6 P' z4 U3 p( l" E# n
10 、图象处理算法
3 ] X, [8 Q7 R& a2 I* v赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片: n+ z) t7 N" w
的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进( U1 ?/ p, L8 U$ b+ ]' T
行处理
, ?% D, N m5 B算法简介
- s7 g6 _8 F2 c! d! \9 t! |' B1 、灰色预测模型 ( 一般) )) N1 b0 n$ d. ~( j7 Z) i1 Y
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两
% H& S5 |0 z9 u. o个条件可用:1 {, E/ I! L e8 N) N1 V* F O( t6 N, o/ E
①数据样本点个数 6 个以上
! G9 C- B+ s( a( G②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大4 ], R& F, |7 } d* S7 Z
2 、微分方程 模型 ( 一般) )
M' l, c. ]; ]/ H; T微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但
) J, X8 @, I, l( L3 r' ~$ x/ C0 T其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以
* j% d$ c, y" G- z) o找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。/ ]! E* Y5 G* o" k
3 、回归分析预测 ( 一般) )
) U! ^6 y- L# ~% ^求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变/ }2 M+ Z; Q$ e6 n7 f0 @# ~, I
化; 样本点的个数有要求:9 d5 ?+ C7 d; h3 A- ~8 {
①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;$ h# A& T+ f B6 A& A+ |/ e) Q" Z
②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;& s/ f8 X- O3 E5 q4 y( H
4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )( y1 L. q& v( B; x
一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相+ \" Q# c1 q0 R
互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的+ h) g9 M3 I" Q9 w9 N
概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
: c% f& Y3 }: N: N, X6 P# z& W0 q5、 、 时间序列预测* |) _# t! y/ I. l x8 K% t
预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA4 {0 W6 h$ G5 i" `/ \" C/ Y; g
(较好)。: t. q! I; j' ]+ q4 F6 g! F0 R/ `
6、 、 小波分析预测(高大上)
- d& {2 N3 \4 U6 J0 x3 m a数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其4 D* Q+ [; w5 J9 S) T
预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
]5 Y! @2 Q* e3 {0 e9 z预测波动数据的函数。
' Y' x5 M7 l- F. `6 x( @$ C7、 、 神经网络 ( 较好) )! k+ l9 H& D$ K0 A
大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的( V" M( m9 U6 C& N3 Q- r/ z, z
办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。3 m: c$ ?( [9 R- K$ o9 _7 U
8、 、 混沌序列预测(高大上)5 c s/ b; B; \8 A* H
适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。$ \9 D: f. {7 Q8 K/ d b9 u
9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
8 J g- a. h1 |( O& r拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别" u( n* ?+ `: V
在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;% x7 e9 l# h9 v, e4 D- F
逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。. o u6 W* O( w9 O7 L
10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用
; Y, H& x! T2 t# z评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序, v6 j& Q" {; E
11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用$ J2 a$ s7 D, ~& Z
作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策. j5 f: r) A$ n
12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )
, M3 K- X. M- @' _优化问题,对各省发展状况进行评判6 l3 g. ^9 Q/ ?* T* v0 h% |6 F
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )6 m" h7 q# }1 q2 ^$ L& D
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权
7 x. |) V" m1 D法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
" H, t g w6 n* R7 W/ G9 v似。& N1 j7 @3 a5 u( J8 q6 C8 Y* S
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) (备用)/ ^6 v0 j* t; `' f- V
其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若5 n4 c: x4 N: a' S5 N1 a9 x! W0 j
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优% ^' V# r- D% Q& I" W8 |
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
, S- P' c C8 Q+ k9 D( P0 K的最差值。. G( h0 X% N( k
15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
, m1 @# g5 C+ F) y, u0 e可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
/ J) s: b& N. }- r' y来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。6 P" R+ U' q. O+ i: d$ Y3 V( g
该方法做评价比一般的方法好。
0 ]8 P C9 {+ V) P16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )
1 ~; g) G [! Q) ^! X6 k8 A, A' h方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产
" I& b3 H: t( J( H! O3 ]9 S量有无影响,差异量的多少+ o9 P2 g& h7 @9 Y8 X
协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因! s2 t, b/ l" I
素,但注意初始数据的量纲及初始情况。: A5 O, R6 U6 r6 i2 W
此外还有灵敏度分析,稳定性分析: y2 L6 E1 I$ ]2 J: f# f3 F9 k6 ~
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 ( 一般) )5 p0 j% C, u9 A( g8 R9 ]+ d
模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最5 `3 @+ O; j3 l) n" p
优解。
& Q* A3 I* X5 f8 q+ a18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)8 H- u$ p$ }( I# j7 y
非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题
* C. w* S( @1 O% ?# f: l智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索9 C; j2 P7 W8 X% {
算法、神经网络、粒子群等
5 | z- o# O8 r- K其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
; q; u" U2 X+ ^1 \0 f# ` h# y3 p19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )
3 j2 z" b) s( G7 b( J离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# h/ a) ^( S& V/ t+ p20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) ) ]- b; K0 C( G+ A2 `
排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,6 D/ O$ |) M0 ~) o: ~- z& ]
即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和" H4 p- \7 l. k* ?& N! y. ]
有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
5 }. _) Q/ o. U7 E计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一- Y: A1 U2 [# |1 {6 g8 z/ ?7 ~; m
般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。
. L; x- e7 p/ k! P6 O# n; b" K21 、图像处理 ( 较好) )4 E) y# u4 n7 C$ }2 ~1 H. t1 R( K$ c' Q
MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。0 p+ g7 R; C8 |: `7 }# w
例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。2 X! [. u! d3 e3 i% T2 z
22、 、 支持向量机 ( 高大上) )
/ D3 q& ~/ y, q. r3 ?* B支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映, k" L6 [; E+ c9 `: A" I
射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。8 i/ z; I% F) w8 j0 I& f1 X5 a
23、 、 多元分析
; ~( K% M8 S% s6 C1、聚类分析、
8 C$ ?$ n$ ^' e0 N* J- c+ A2、因子分析) [$ v. d7 ]- \7 c/ Q7 P( _6 G
3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析7 c" C2 e4 W1 E
各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,
9 C4 T( z. ~. j7 [# t5 [ k; H从而达到降维的目的。
, g( H& q" o! U D3 f% n( f* c4、判别分析
+ P) e A# X0 E7 ^- b5、典型相关分析$ _ q9 u7 ^: c* ?2 E
6、对应分析
& I/ \3 _ F. o: U; R7、多维标度法(一般)
4 M; V8 g4 A8 \0 O3 L5 s8、偏最小二乘回归分析(较好)1 R! `! C$ z0 W+ A- d
24 、分类与判别9 q. w& C2 e2 a7 ~; W8 u
主要包括以下几种方法, | w6 s8 {! P8 ? L( Q3 P' Y
1、距离聚类(系统聚类)(一般)
, x/ E5 S% e- e, ]2、关联性聚类
" f4 s7 L/ G& r0 i i( _7 x3、层次聚类
6 V# z* _' M. L0 t& u0 r4 f& d4、密度聚类
( h8 r" M2 ^! s! W. U5、其他聚类
/ ?: j7 K9 ]' q6 Q$ p# a" ~6、贝叶斯判别(较好)# N% W C$ K5 B1 J8 z* v
7、费舍尔判别(较好)
: K# z. t, w# i# r3 s% Z1 p! \. d8、模糊识别
% @- u8 c5 _. u6 Q' ^9 l25 、关联与因果
' x% Y: f: S4 R# Q3 Y* k' r1、灰色关联分析方法
! s- D1 g! x4 D0 a2、Sperman 或 kendall 等级相关分析8 J. X4 {- J y: E
3、Person 相关(样本点的个数比较多)
1 K2 `. F* G p6 C! a& G+ V) l4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)
$ X" i/ \/ ?1 H% D% p0 j5、典型相关分析
5 ]; o4 `: ^: Y& k) h(例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪5 Y6 U2 \" g! v( ~8 `
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
# N5 B# D) H8 a/ y* D6、标准化回归分析8 W+ P& }- q( n' R
若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密- ?: N) D Q% r5 k9 D
7、生存分析(事件史分析)(较好)# {, C$ r. W" N
数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响1 a& x% y% n- Y/ a
8、格兰杰因果检验
$ L) E# r3 S5 n2 j4 A3 t计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响/ ?# k: U* v/ S" h
9、优势分析
: s& ?6 T; f; k- h# O& z- m A. s( ]26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
& a8 E |9 u4 J5 T2 n7 \# G& J5 H ?量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速3 Q% j9 [) b+ F2 z# b
率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
5 i; Y/ x8 H4 K: x
5 } k$ ?9 V) k- @% {
) D n+ j, ^ Z( D; j0 X% Z* S, m# H# f# n' X% O
|
zan
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