数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
: c8 B* w$ b# D1. 按模型的数学方法分：
1 U3 G# h5 ~, d1 r; k1 w几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ r- [# `* e' D型、马氏链模型等。
6 Z' @! H- D  M2 s" o2. 按模型的特征分：
2 ^* D. a$ u, R6 m1 B静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
/ l( Y0 G) W# J性模型和非线性模型等。
) u% N# X. ^" A* G3. 按模型的应用领域分：
: q9 I( p9 _3 K" g人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
, F2 ~3 b6 h0 D5 Z. {, b& t+ ^4. 按建模的目的分： ：
. n& d& \3 i1 B  f' C. K预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
, J5 w: U: k* w- U0 Y一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
; K2 b$ S0 w9 `% j! I% n- [' L! g5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
; y% K3 U1 U! X, l. w$ J" S2 ^3 P比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
8 h$ K8 P. l, u7 A- {  M- b) I运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
4 _7 _* Y  g0 H5 u数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
( W$ N* i: Z+ \" a法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
$ }+ F+ q" |! u; X论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
! @8 g. u2 v( X1 S! b5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
7 H. \; _" @$ c* W* G6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
2 A% N/ y6 f7 r8 p7 L% @这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
- ^2 E+ I5 [5 e7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
% L1 K, [! U! E& ]( B) A+ [8 、一些连续离散化方法
9 _2 \* b% _9 n8 v: X很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. H2 A& W; y  N+ x' R$ d- v5 m7 w9 、数值分析算法
+ ?+ H: J/ t5 E5 T- Z# v如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
0 u4 Y' O/ Z2 u8 l如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) T" E% M7 W4 k; ~0 B10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
6 H' k% Y$ \" q2 i( P的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
; h. H6 \+ }) v  x" \' S行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
5 i- w4 r0 b% u6 k8 }" b. @解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
3 h0 N$ z# R: h2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
# D2 @" j5 M3 t3 e+ @" K+ [7 e1 ]9 @微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
8 a: [6 q+ ]5 z6 [: J* w其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
6 q' N1 W, W% x找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
* `+ _0 P3 |- f! ~/ k/ r2 m, x求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# @# C3 [. `$ i* S* V: k②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
6 M, ~8 o' E; ?" `一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
- s! D* v5 s& M( ?互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
0 E- J1 F' c" l% b0 L数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
; c5 R! K% R% w+ Z9 C8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9 T1 I- a! O; Q. Z6 \9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
: E9 O; G* o. g% {拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
8 W+ `) r- h5 P% {9 G在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
2 B4 n" u0 ]  |! G. {10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
% D# o" e8 o3 g- t11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 d$ R7 ^- l; B1 [12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ z/ W+ ~4 V$ V, }' ]似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
- ^2 j: P5 D3 Z) f其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* ]( {+ ~0 T# B3 B0 z评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
! S/ Y5 @! Z: t$ H15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
" W. Y* S/ B) g4 t' u6 r: y可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
6 q* f7 n5 _# H) Q$ ^- F) P来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
+ b1 _" l0 T# d' S) U2 s% x8 t: v16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- d  T! \4 t( C量有无影响，差异量的多少
2 h! M! `; |/ h0 t6 ]( z2 f协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
" q3 \1 j" i8 \3 u( t% H素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
1 Z* F! w/ z3 j. _此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
* C) Z, l# o  U18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
: \: }3 ?8 T8 t% l4 C; L- x' C非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
; L3 M4 P( p/ E1 w智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
* B: o* R  x5 c7 K算法、神经网络、粒子群等
6 s" i2 V! ^  r其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
3 |* `: B. ^  i% A. e" S19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
! T& h6 E5 ~, l- h% _有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
6 T0 E6 f$ d: ]4 j1 R- W般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
% \( `2 k) u6 Q$ H( M22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
/ M9 i) n- s( i7 }. {2 ?射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
1 o6 r) ]1 [7 P  \  C  ?23、 、 多元分析
1、聚类分析、
- k. |  r9 B% u: [7 z+ |/ S7 ]8 ^2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
/ h3 v/ y2 h0 \2 ^* k) ~$ W从而达到降维的目的。
5 _* W* d1 c* ]. l. W4、判别分析
) p3 ?9 D* C0 d7 c5 M5、典型相关分析
6、对应分析
8 x# `: u6 ^, V; b5 T$ q9 D2 p7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
) e2 |2 M& k9 J2 k  q  q. g$ j8 j$ [! N8 U2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
+ p7 p0 N2 C* Q! S5、其他聚类
6 T5 N; F/ ?; p; i( _6、贝叶斯判别（较好）
& ^5 r7 k5 d# }$ Z! a. t' I7、费舍尔判别（较好）
- u. h: m5 D( G7 B8、模糊识别
- Q. P( X% Q. L1 g) ~0 w5 _' T0 P7 }) Q25 、关联与因果
+ `6 i, k4 v# \* [: c1、灰色关联分析方法
# d- x% i) ^: M0 n1 ^2 C$ r# C2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
+ C% X/ X" o+ K9 X, u3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
, {7 o# e: j( j/ l+ c5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
5 S! g) D+ E, z8 M6、标准化回归分析
9 {( D- {+ C# x4 M若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
" L& q2 @* e- I, f& d# O7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
0 ]$ ~; R8 b: {  A: f# J' y% k26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
8 l  B9 u2 A* O# _/ D! u量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
1 T: H, `7 G! U+ D: B
" Q6 N( f) H% ?( Z% c
0 [$ j2 e7 o- d

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3 ^( K* ]: J$ r+ z

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
/ _# w) k' O9 h- Y; @