数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
* j$ B3 o4 F' P* h3 e7 K  m& U几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
' K9 S: x7 c/ o* y( L5 G2 Q. \人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
7 e  ?8 z$ L" Q& u8 F4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
+ o& ]" T+ G2 e2 A5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
9 G, m% @) [1 j/ \/ i比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
" @* s. c; K+ R3 q* C6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
: L3 a* _1 H$ T运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 a# @4 ]3 k& o1 K数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
: s- T; F1 G5 K2 V2 U: b该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
7 w% f& @1 g7 L. p8 F3 _' @以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
* }  `7 ~& [9 J! C4 @; e& K比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
) v% x- c, T* b7 V) ?4 B2 c+ f+ u通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 x+ ]; i; P  p建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
9 [% V  H2 N$ X6 N/ T3 `, F' w这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
/ D% `; c9 g& }. K% P+ D; `论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
- y% k( a+ l+ Z% C2 W+ C, l8 E5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
! r7 ]9 d- N: m' h! n6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
: n/ n+ R9 p% W! C  |! H这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
! ~8 j7 e4 @/ O9 C- C7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  I6 B9 F$ d, D; ^一些高级语言作为编程工具
% v% a# V! d1 b2 [# {8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
/ e4 e; C& h$ [. l  |) ?) c如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
  D& n( q0 t4 s9 t, r$ E0 E% N3 s如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
2 L, W% n( n, v8 R; r6 J  r10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
1 D4 C; p( B; D( ~2 Y# K) z的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
7 X. q) `4 A, E  X+ W①数据样本点个数 6 个以上
% l) i) D% n, Z( U; y②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
! K0 y/ z; ?  t, k1 G4 j9 j找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
5 |: P! c( l: }5 R) G: {, D) Q求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
; P9 a" \, O& s$ c# U! _7 M8 p- z) q% r②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
8 B: i5 k3 s( E3 |5 d一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
* U6 i" \0 q. T; |4 B( S（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
# T+ i, g; {8 H数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
. n5 N2 s0 z+ G7、 、 神经网络 （ 较好） ）
) U, h2 [7 Z$ v: A大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
' l7 u+ T1 B; ]7 X7 }7 S3 J; o办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8 ^' {; T) I6 m) ]8、 、 混沌序列预测（高大上）
- y$ k. X  n  Z# I1 D  U4 t6 j5 ~) i适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
# S! o$ [7 v/ w' Z: p在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
' \9 E9 b. T; }" A- R% i逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
0 O( D/ C* e9 ^; L' ~10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
, g# `- {% q5 Q+ g2 \3 U11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
- y/ L3 s/ m' V6 Z0 `作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
' x% @) m8 h! [5 W/ u% J12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' O( @3 c  J) n/ }/ l  j$ l优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. y, X, w  y$ A9 a" i+ h秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
( z. m  a! [2 U似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
' m' w0 e4 M, ?/ F3 v* U" i其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
2 x0 a: j$ j% P8 {" m评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
; P8 @& {+ k( j& H解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
; C! T/ I4 }3 W" c2 ?( K% R. X的最差值。
3 k( ~6 f% e. k$ `5 X+ {15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: [/ I  ~, x8 F( k可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 V! b1 ], N  p( P该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
. z9 `5 L. a! @0 ?# w. T; @. \方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
% P1 \% n  X* F. a( J" W- j/ H量有无影响，差异量的多少
) L4 F3 S" n  J) d" y, B. {: b协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 t5 G3 f- |5 S4 ^素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
( W& P; `- e- ]! [17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
) [; Z# K+ Q- O# h模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
6 `( e" T. j  X! ], i; F5 I18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& I0 p. W& M; O% b. |8 {( J1 L智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
5 h  M' y; |4 u+ k- B3 s9 D19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
: s. [7 p9 k- S; @2 p- J9 n' A4 L" I离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
0 Z# W, F' Z6 w! p# ^即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
1 [8 B& m5 E  r" u: k3 d  n有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
( j8 x# T8 T2 A4 B/ z( ?" E: n2 l计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
" I  U+ h4 f8 U3 O般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
, R  K9 W1 ^0 m3 Z21 、图像处理 （ 较好） ）
; o/ P0 g- H2 O$ I7 _9 ]3 \- |MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
9 A9 V, F# U, [% l, y支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
/ Q8 Q& h. U& K) I- r5 c6 `4 `5 {2、因子分析
# R0 W, P; ]& N' R9 A& F+ V3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
$ o9 h8 c/ u+ Y- b从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
' X* |  x8 m' ]! L6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
' u! ]5 N" x0 X. H' Q$ n( U24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
' \* {- c7 w) G6 i2 m1、距离聚类（系统聚类）（一般）
: P4 M4 d0 b0 y, \1 {, u2、关联性聚类
3、层次聚类
. m& `' H; v  n6 f4、密度聚类
2 J$ q" h* x' S- l5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
  N( o: R) ^4 C9 \# V8 D$ }25 、关联与因果
  h4 u6 S! C) X8 N6 }& p1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
+ |& M: b  y, T  V7 ]) b3、Person 相关（样本点的个数比较多）
8 q+ z4 L% X" v  S1 g' w/ |4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
8 B8 b$ m+ X' V5 V若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
  i$ |5 [* }4 O. ~$ O. p4 w3 `+ J4 \数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
8 F, T. \) F$ \( v5 l! C计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
1 @1 z$ a2 P7 [5 R6 `; R+ z: p9、优势分析
+ ?' W5 U1 B* K, T. ?5 T+ }26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
) ?% V+ v6 C7 S* t# O5 T; F: {# L* [率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
, F0 p1 K0 B: I- q" Y8 h2 s* w

" D8 q" L5 ]. x9 V6 L4 e

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- U: m: u. ]5 C- |6 U: h0 K/ F
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6 V4 z; I: M0 m2 J: _4 e

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
! S. W  ]; R$ [& w; Q