数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
# E- `1 a5 J+ N9 A' g' I1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
5 V8 u6 j0 m+ {# f( L型、马氏链模型等。
1 f; Y1 G" W7 F/ w( g! R3 j& I2. 按模型的特征分：
( Q8 ?6 q" _5 M% @- d静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
# G1 }2 _1 A7 ?0 M9 Z8 s  H性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
! S; c/ R, @: A1 b8 d- ?预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
2 B8 i( U9 p2 d9 A- y& s往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
+ i0 y% @  e' f+ b比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
7 J  p, h/ _6 V. [运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
, L  F/ o, c. q1 d5 B数学建模十大算法
/ N% m9 e/ X/ @6 }# Q5 i* Y1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 U. g' _4 \7 V以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
9 f9 ]6 E, ^1 {  T4 b比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
7 y9 \5 }6 ~" S8 t" E- a通常使用 Matlab 作为工具
4 c, |7 z. L% V7 a5 j  _5 K: h3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
  `' h8 t- i5 ^- F; F8 x( V) D  R% S8 Z法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ r4 w2 ]: m( c1 ^4 、图论算法
) Z( @& E- N8 ]4 K这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
# t- i( w. d, L" k' T* G4 @7 |/ P5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- d1 t9 u, f" ?; ^( @这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
& W/ a$ @! ?! F  N6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
# D6 O( N, ]6 z! M6 {9 [3 N这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
  y' h* u! J* k( Z/ h帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
) H& y3 J3 H+ m2 G% J- a1 h+ d当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
- z' u0 s& x1 B  I0 @' B7 s4 Y一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
- Q  w. h2 w0 r( C' A4 K很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
4 m5 Q4 n5 p2 k4 k8 Z+ @: z据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
3 ]  X, [8 Q7 R& a2 I* v赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
, ?% D, N  m5 B算法简介
- s7 g6 _8 F2 c! d! \9 t! |' B1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
% H& S5 |0 z9 u. o个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
! G9 C- B+ s( a( G②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  M' l, c. ]; ]/ H; T微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
) J, X8 @, I, l( L3 r' ~$ x/ C0 T其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
* j% d$ c, y" G- z) o找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
) U! ^6 y- L# ~% ^求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
: c% f& Y3 }: N: N, X6 P# z& W0 q5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
- d& {2 N3 \4 U6 J0 x3 m  a数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
  ]5 Y! @2 Q* e3 {0 e9 z预测波动数据的函数。
' Y' x5 M7 l- F. `6 x( @$ C7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
8 J  g- a. h1 |( O& r拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; Y, H& x! T2 t# z评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
, M3 K- X. M- @' _优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
7 x. |) V" m1 D法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
" H, t  g  w6 n* R7 W/ G9 v似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
, S- P' c  C8 Q+ k9 D( P0 K的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
, m1 @# g5 C+ F) y, u0 e可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
/ J) s: b& N. }- r' y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
0 ]8 P  C9 {+ V) P16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
1 ~; g) G  [! Q) ^! X6 k8 A, A' h方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
" I& b3 H: t( J( H! O3 ]9 S量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
& Q* A3 I* X5 f8 q+ a18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
* C. w* S( @1 O% ?# f: l智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
5 |  z- o# O8 r- K其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
; q; u" U2 X+ ^1 \0 f# `  h# y3 p19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
3 j2 z" b) s( G7 b( J离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# h/ a) ^( S& V/ t+ p20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
5 }. _) Q/ o. U7 E计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
. L; x- e7 p/ k! P6 O# n; b" K21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
/ D3 q& ~/ y, q. r3 ?* B支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
; ~( K% M8 S% s6 C1、聚类分析、
8 C$ ?$ n$ ^' e0 N* J- c+ A2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 C4 T( z. ~. j7 [# t5 [  k; H从而达到降维的目的。
, g( H& q" o! U  D3 f% n( f* c4、判别分析
+ P) e  A# X0 E7 ^- b5、典型相关分析
6、对应分析
& I/ \3 _  F. o: U; R7、多维标度法（一般）
4 M; V8 g4 A8 \0 O3 L5 s8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
, x/ E5 S% e- e, ]2、关联性聚类
" f4 s7 L/ G& r0 i  i( _7 x3、层次聚类
6 V# z* _' M. L0 t& u0 r4 f& d4、密度聚类
( h8 r" M2 ^! s! W. U5、其他聚类
/ ?: j7 K9 ]' q6 Q$ p# a" ~6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
: K# z. t, w# i# r3 s% Z1 p! \. d8、模糊识别
% @- u8 c5 _. u6 Q' ^9 l25 、关联与因果
' x% Y: f: S4 R# Q3 Y* k' r1、灰色关联分析方法
! s- D1 g! x4 D0 a2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
1 K2 `. F* G  p6 C! a& G+ V) l4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
$ X" i/ \/ ?1 H% D% p0 j5、典型相关分析
5 ]; o4 `: ^: Y& k) h（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
# N5 B# D) H8 a/ y* D6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
$ L) E# r3 S5 n2 j4 A3 t计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
: s& ?6 T; f; k- h# O& z- m  A. s( ]26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
& a8 E  |9 u4 J5 T2 n7 \# G& J5 H  ?量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
5 i; Y/ x8 H4 K: x
5 }  k$ ?9 V) k- @% {
) D  n+ j, ^  Z( D; j0 X% Z* S

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
! z( {% ~; c' Q( U8 V