[原创]全主元Gauss-Jordan消元法（Blitz++库）

lckboy

全主元Gauss-Jordan消元法

+ v3 ]- ~$ x7 k# F$ J7 b9 |- u) n7 l

% F7 l, w% i m' D- B

7 c7 Q/ T5 ~0 _( O0 O/ }

& ~8 @, b5 H9 Y/ b5 g6 Q A

1 P& s2 L3 ~( M) I; J

Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。 # }0 `2 {% M8 J" Z

1 a# L6 g% `" [8 _9 L$ N

- g8 P; V5 T8 y* w0 {/ z

Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。 : x9 R6 {0 |1 g# P; C2 B2 r" e' |! d

4 i/ {/ _4 H2 l: }

- k; ~, [1 v" H& R

( G$ a+ ~0 z. v0 U0 { u

下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。 4 K8 f) t3 o3 S# n. J6 _8 X

9 X8 o3 {7 |1 H* S6 R% c8 ~7 B

& O" C9 f6 D4 ^- r9 \

Code： & I6 ~; a7 t7 Z5 _: \5 j3 p2 P

, h8 _! i/ X) P4 E" ]( M

: q0 R. U7 J0 K [- q& F* e

x* C' [/ h, I! z

5 w( }* g6 y# N; f

#include <blitz/array.h> 4 z, v( Q) w. p" M" y7 A: X + i1 f) Y& P, L# {) Y3 x # |# c/ q" L4 b w4 X9 U0 {* \) a

#include <cstdlib> 7 g, D: k, q" I( s/ R% N" k- K

0 d g9 m2 h! ~2 h1 N0 x

#include <algorithm>

#include <vector> : k& t* a9 `6 a9 j

using namespace blitz;

) J$ X* m1 L3 @. A3 C! G! u

: V5 ^, K" B$ l! f |2 b

. N# H0 E' A8 B* ]$ ? g8 J; h4 h$ h& u# \/ J

void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b) ( h' |" f2 l) I7 E - N7 {# h4 W3 w3 ?8 N + x" {) J- ^# o

3 i! p8 p$ K4 n; d* x

{ % A ~# E) q+ V1 M4 g5 C7 C

int n = A.rows(), m = b.cols(); ' D2 S; w* o" d+ m! s' j - L0 N" }$ s. _) Z0 x0 S s [2 \- l: D2 _

int irow, icol; . v$ g; |' y5 v0 u$ y! K

; O+ K# \- V) X, i7 T

# q: O; {( {8 j

vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n); 3 T/ j) m" ^8 ^$ e/ j# F 0 `) y9 ^& l/ e- m$ P& I

for (int j=0; j<n; ++j) ' q" u! A6 a8 V( E p

4 @! `0 t% p+ R/ B" r

( ~# L# R, V4 G1 e7 E! \6 L

piv.at(j) = 0; & k6 M2 X6 g- P 4 h- F2 S# S9 N6 Y

2 V; e3 m: E3 F: m( I1 z

1 @9 u: z% Z) C y& e9 ^4 _ 8 o* R; }$ c+ ~' |0 Y3 }7 l2 k: Z% u

: w6 v8 I2 F( H6 |* o0 \) \' h

//寻找绝对值最大的元素作为主元 ) N. u0 _) h; j; N , o! u' i) S; _

% |0 l8 }3 @5 U. f4 _ O

for (int i=0; i<n; ++i) { , [2 B* `) X. ?6 A

/ b( j- g' b- E6 x9 t' j( F

double big = 0.0; ( u, [3 U, M v* K 4 M5 S4 ?# H% O. B* l& N

6 X% p- B# W$ r5 J3 P' J! y

; j% T2 o8 Q& f9 |% f; D

for (int j=0; j<n; ++j) * W& m* q Q" s: X

if (piv.at(j) != 1) . \5 o3 f+ N% V ' s( w; P, P# r8 M: V" J

+ ]0 T* o. ^' v r0 V* v, R

for (int k=0; k<n; ++k) { , p) ^0 x- E8 T, r7 @0 R' Y' T

* m! _: m& S' _! r7 M

if (piv.at(k) == 0) { ( b$ Y( k$ _1 U7 S- W# m' U

. q& F0 j( }5 n9 N) Z) z

/ Z7 h* i$ ^, L

if (abs(A(j, k)) >= big) { J5 w C/ V, w9 O# l3 e% I1 w8 u

big = abs(A(j, k)); # R3 f. O, j& b4 V, d o 9 _9 B4 p M5 ~% H* N' \ R$ ^3 H t/ g3 B3 U* C9 F

irow = j; * y+ J$ ^& N# D# Y ` m9 E5 r& V$ I/ b8 C; g

" B7 q- ]) P" w; X5 A7 a5 }9 G* Q

icol = k; # s9 ?' `# q% ]# K9 p

y8 c: J3 y' b6 U+ t& v

0 Z& E3 @" N' |3 R

if (irow == icol) break; - Z( j7 n7 H* C8 K! K1 w) q

# ]/ d& i1 X! U3 m7 z

} ' Z; i( d6 p5 f" l6 w5 W

9 o7 _. f$ |" b( y R

}

3 m9 V' n8 t5 y W2 M

} ! \3 l; k9 @2 L- f9 l1 x: w / u) ]8 D2 i. C9 ?7 g" @+ ~& a

& D* I" Q/ @# s6 Y" z2 H6 f7 U: n; }

3 i- q* A" {3 z# M( D1 L4 R0 T

L w) G# s5 I3 h9 Z6 m, L2 i/ J

! {2 L/ P' m, C5 @3 }! {

++piv.at(icol);

) O0 R& \9 {( U

5 r7 Z+ }8 F/ H4 V2 \ z

6 [0 g- M0 G$ c3 I ' F/ f K5 E8 N- p7 G0 E+ l; q; @. s7 q

//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换， - u* q- ]7 D) B! u% Q 5 g: i* g1 ?/ d8 M4 c' g- ^ ; R& I6 j7 k9 G6 O

+ u3 \6 A4 c0 e% ?- o4 B1 ]

//使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， ! E0 k/ K/ Y6 O" p% [7 K5 S/ S# u1 G: m 2 l0 ?) d7 K, c4 e3 S

9 i' r) O: J2 e+ ?

% y5 R4 f% l% p9 t/ l0 M0 p' C

//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。 ) `7 M, p Z" n

: |5 I& k9 r/ V

if (irow != icol) { " C: M) L6 [; I) X5 o; f 1 \+ S) S, w: L/ K6 d* X

+ ~. x4 v5 ^8 B- L! N9 x

for (int l=0; l<n; ++l) ! C; X2 c1 K) D8 e4 F0 f8 G4 e

swap(A(irow, l), A(icol, l)); 0 a4 k+ U9 W, \2 u( ~ X. K( y( g: e. o# Y 3 e5 N+ {, A. l7 m) K

: Y. J9 V+ ^, X" C: O" e3 |

' z. h2 z8 F, X q; a

2 u2 {- Q- F9 e% ^

# q( y/ ^7 r4 ^/ }) ^ ?

for (int l=0; l<m; ++l) 8 |2 U5 N7 _/ K- ]

9 R8 {$ r; o, M, E5 `

& h4 g/ s. P( ~. ]8 K1 W7 [

swap(b(irow, l), b(icol, l)); 1 d' j d( P. D4 n7 O, y ! q; o$ I: c7 f2 o, G4 a) u, y

0 Q' D) @% B4 a- `( j3 l( I5 w

} : t, [! ?/ p7 I) L

m4 P+ f, r, I+ i4 _- |, Q, k( B

indexrow.at(i) = irow; , c Z" z' A" u$ ^$ Y

! L9 u& _; ^/ ~* q, O6 x; {

indexcol.at(i) = icol; ' `" R6 W0 Q s6 [, @7 ? @ ! r, f* i |8 d2 }, Q5 B' b

- `! ]5 E) }/ U

& v" j8 A/ q5 n9 w3 R6 X1 b) [

& [% k# C8 f" g9 p* ~3 c

try { 2 m( S* c9 T& [6 t( n7 q * f* ^& `0 e R( v1 E

9 ~" j: C) U) C; i0 H# h

double pivinv = 1.0 / A(icol, icol); / C J: b% K5 P) e

* \: ?3 x( D' B0 n; e9 v1 g' U

for (int l=0; l<n; ++l) 1 R$ Q4 S+ H& w6 _& b/ {3 R4 B* E

2 G% S1 |, ^3 W" \3 c I6 k

6 U' Y* w. K8 X8 R6 N3 a5 z- i

A(icol, l) *= pivinv; 5 A: }/ V6 u& ~# u" Z- c 0 U; {% T% J0 F3 r( L0 ?! k

4 ]1 [: b4 `* D0 I

9 o' @( f: q8 V. E

for (int l=0; l<m; ++l) 8 j( g& s7 r- r! u ' ?: N x9 E* g. J4 g+ |

; W) a- w2 A- q1 C, L

b(icol, l) *= pivinv; 8 }5 n* X: y* s 3 W! b+ N/ ?$ Z {- u v0 \! r

! c# J& D2 X4 ?' J$ a

3 u/ J' S9 `) u5 u7 s/ C1 i. A5 C: @

" a7 A& C: X* T k6 h& S" V! L

! L# ] Q6 P( v

//进行行约化 : R2 O0 O! u7 E # o6 k6 r. n9 ^

- x' s; M/ x2 O" y0 D

for (int ll=0; ll<n; ++ll) 4 M# a* C5 i, `$ m3 \' D" {0 E: K 8 C1 w7 h' S G. U0 Q) T: e

3 e& ~! [" B, _2 H: Z9 b& G# e; i8 Y1 |

- }9 s; u$ f5 N9 Z! L, X: |

if (ll != icol) { , @5 S5 g7 @( R4 Z# e9 c / f+ q; N) W4 G) D) O7 i3 \

& z& V+ T7 e1 U- w) X6 m

double dum = A(ll, icol); 9 a4 h2 Z5 }2 G& Y/ J4 P4 R$ H# h- V 8 ~" m9 @1 t8 j" T3 ^+ x* N* W

, U. M4 g3 G% `4 G- A* b

- p$ E* } A9 P1 m( G' u# o

3 ?1 c- A2 a! C, M2 i1 u9 h

8 j4 z7 y W2 }

for (int l=0; l<n; ++l) - B9 s& q' D1 b

8 Z" H# U6 u1 ?" s [- h

A(ll, l) -= A(icol, l)*dum; - [$ q, w/ K4 ?* Y, {# ? 7 d& V' O: e2 h! H* r- f$ x( Y i " i4 l, P( ]+ U; Y3 X+ _" d

; O: g: X9 `$ O9 I7 R" u

for (int l=0; l<m; ++l) ; C) |2 k# \% }

b(ll, l) -= b(icol, l)*dum; * c2 s3 p$ D d) c; ` ) V- \, h; R. N0 ?8 d& u

) v, |0 i& j8 v4 w4 F( \: H: |. s

} 6 d' Q$ z6 t& p5 e. m) s9 J/ o - A) t0 V& P6 H" m! a7 z* @( l

} - g5 e& A$ f3 O% W( X + N+ B9 u. A9 g% B' w& b: L

/ ]/ I0 E) [) j8 g1 L- O

catch (...) { / j+ D8 j( b: \8 z. p& J

& J2 G, N# x% Q6 C3 l

- S5 Z# Z) n# X4 \3 j6 O

cerr << "Singular Matrix"; ! B9 F3 B+ P- Y% D4 f

3 f7 |0 _# z3 u

} ' R* w4 `# j5 {) h) | $ |' R! p3 ]/ I0 }

+ g, M0 N2 ^* m

$ G5 h5 h1 x6 {

} 0 J" M. F$ N: I! ^2 p! ?2 e% [

8 W8 e1 a7 ^6 ?7 x( B4 D

} 9 I+ E1 T2 K+ ?" l* T 3 Q# _6 A2 h& c+ H, W& D

5 U( k, a( ~4 ]1 Z+ M2 _( y

int main() " \+ T: ^6 S: F( I : g$ G" I9 V5 [6 L( D5 O4 R& T

& |2 y. g( u( U* x% J) h3 e, n

{ 7 F% h- `8 O; A5 ^/ e+ q% A# G0 D

0 Y/ K; g) X" F4 ]. j# H8 |

//测试矩阵 " K( C% ^5 a% V

/ a1 G) J/ x+ w

& h1 y Y" I6 L

Array<double, 2> A(3,3), b(3,1); ! @/ i$ e) @+ f, x 6 n6 V% [5 Y' t( R/ v

* N" [/ G+ ?, }. `1 K) a& l

A = 10,-19,-2, : V. Y9 @ `6 s$ t, e: n

) X$ E# P' O: j8 E9 B6 H

-20, 40, 1, 2 T( ~ i& x7 C$ e2 k# A9 U) l2 | 4 \) f% c) W- Q+ ]' |

1, 4, 5;

: f8 A6 k$ ]$ l# \' _

0 O6 _7 k. f `

b = 3, & j, h6 I% z5 C: _4 }0 f

' O. a3 t/ N. J% S' d7 _, }

: s) T7 l; V- ~* O

4, 4 {+ D+ |9 \! N2 l% } 4 J4 ]; W" u% Y' w

5; " }4 {) U# Z$ V( S) G & v6 z# S9 u* e1 t/ B

! J; G$ X1 @: Q- D" j7 H

6 r+ g+ g6 u. d9 }% w 5 [. [* O" z |# ~

" H" s: ?8 d* y6 I: m

4 {- T& S2 S9 p1 C$ J

Gauss_Jordan(A, b); 4 f) d. c0 O ^- z8 q8 t% b! z 3 @3 u6 o, h W0 y) }2 `, G

4 _& N% f; t, {4 ~

0 n) z! i: G' N, @7 T

+ G& d. b$ \8 W, ?- l/ Z k" M8 E! }* a& n- h0 e/ {: [ ( g1 s( N+ O( n7 M3 k8 C6 y; {

cout << "Solution = " << b <<endl; 1 R5 G7 C. o% c. b }

} ( H( V: [5 }1 O" x0 k/ w . @* E0 S) Y2 E: n* o) v

Result：

- L1 |/ g0 K {

, P% e, w2 R% |( Y# V4 \3 S

8 b% X( C) E) ?7 Y! I, W

Solution = 3 x 1 ! f0 q5 i9 q& C% i8 h. e) [& K - i+ N' p4 N9 e- K$ O: ]

4 k* g5 ?" ?: L3 S2 D

) s& B7 W& v8 [6 M

[ 4.41637 ! O2 y- O/ B" k) b; B( B8 ]2 d

, a% j" b& h( O: q1 Y

2.35231 7 w( E* O& d( E) {6 p' u5 { 6 g* [' h4 S; y9 ~% r

5 q" R: X8 Q( J% H( }

% `# g2 `) z) P3 ~0 H$ c1 ^

-1.76512 ] " C# u7 ?# v' m d' ]

& J% K: X) K9 D' T1 J

) z f6 v9 T1 ~% O; g$ T4 F& {

& i+ V. _2 m' Z" [2 R, ?

4 B7 C( n# }5 I* u

, H" ?! x% A6 D$ x+ _( ?$ ~4 V' B

2 J$ x2 R% m! Q# X5 Z. [- x5 ^2 p- X

4 o, o5 O( `1 l5 G {* `

从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。 : g& Q# K5 n8 F* s9 O# o1 ?( x# t

1 X* z9 d, ~& F- r1 i+ l

; X5 T. A* b) I& r0 k

, t0 I0 M" P( j0 {6 W8 X% f

# j1 R9 i2 j. H* N

4 v+ y3 @% J% R7 n R/ Z

- P2 r2 E7 Q* o3 b; {. j

注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素

" y6 C: K1 h& N% r& N: g

3 M9 k% J4 g, X

[此贴子已经被作者于2004-6-3 22:15:49编辑过]

ilikenba

消元法相当于在一个多面体的上，遍历各个边去寻找，所以很慢的！

lckboy

嗯，就是慢，不过精度还算可以，用了blitz++库，发挥C++到极点了，现在应该比Fortran编写的要快的

ilikenba

不会吧，Frotran和C++的速度一样，很难分出上下的！

lckboy

如果C++不用模板，Frotran是比C++快的，尤其在数值算法上，但Blitz++库就针对科学技术开发的，非常的快～～上千条方程的方程组很快就可以算好，当然还要使用编译器的优化

ilikenba

Intel出了Fortran 8了，据说性能又提高了20%！

loooog12

数值计算强烈支持Fortran

后青春期的诗

数值计算强烈支持Fortran

zqyzixin

我继续顶你！太好的帖子了 支持

MichaeLonger

路过。。。