数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
. o  y/ l3 r( A8 U9 \  z几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
% t" ]0 N9 ]* H# s型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
) a8 g% Y( i8 D, `静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
3 [  ~0 \0 Y9 J往也和建模的目的对应
' ?7 I$ a+ G( q! _; G" ?. \5 a5. 按对模型结构的了解程度分： ：
& S: W+ a% `  D: l/ U! z; [有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 ]' j+ N4 q3 p; R" F. C/ k6 r, d比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
  G; K5 u/ _) V6. 按比赛命题方向分：
3 f/ |, z: c. H3 [国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
/ Z! F$ K& U3 F运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
* j( P/ G6 ~" J1 Q; {( [数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
  l( {, {3 F5 N: I+ n% j以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
6 M6 C$ r$ [- f# B+ E- h通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
. {9 i! z) j/ G( b/ ?4 f建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
. R3 b" U5 [# L5 k# g, m; B法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
8 b1 [/ `  h+ g. m; d+ n这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
" U, U- u0 [1 H3 Y; R! A! q- a论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
$ E* K7 `+ q# P4 s- Z' ?+ Y+ x5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% r8 W6 u8 r0 v# _* J& m1 _6 W6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
' u1 \2 ^1 x0 F7 D7 I) \6 ^# m当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  t. a6 G+ n4 U7 l" j% w一些高级语言作为编程工具
1 X" x! w1 n8 k9 [8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. F7 R9 Q9 D) r6 |/ A6 `7 t9 、数值分析算法
$ W" z, m( Q1 t% q' N1 p) \% w  i* G9 c: w如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
' _. D9 W1 \6 V" O7 s# h/ T的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
8 q1 q0 M* s# A* a5 d7 [# f% i; ^②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
$ D6 d; F' x7 F  q1 k8 @0 {2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
  o1 {2 h: F7 H% B4 ]求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
2 n. N% Y( L# I( b( `$ `! U+ K①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- m0 c, T! g0 p②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
  C$ o# q- R; }7 e5 o. J4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
0 i' _) F/ z: e$ b概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
+ Y) D( j5 j9 o预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; H# l  f/ j% ]; B  y3 h, J. P办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
* v1 c2 l' c- ~0 |  Z适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
' j# b; O$ H& b0 [( ~- h. H  v拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
" G. J  \8 k" x0 |+ y在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
0 D; S3 S0 }* C) v- x' W10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; {" {* x/ S8 F9 c+ f评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 `' I/ L% @( O) t. l( s% @  S, a11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
: {3 i0 U: a$ M13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
' ?+ `+ O9 E% J2 z9 X秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
/ p, F# i3 J* n2 r4 j5 ]( b. ]" S! S5 T其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* r0 u9 e2 j% H) ?评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
: ^& ]( X# k; \& a解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
9 Q2 ~3 b* P& M3 l的最差值。
3 M9 ]. F( d# M' K15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
0 }& x, Y2 ~+ f该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
5 _6 K( e! Y) M& v  G, Y$ z9 a量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
% `3 w9 y6 o& X; O' E  m$ L17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
3 ~  x: C% V2 b$ I6 p9 [: y: C优解。
* x2 k5 D5 t# N5 M+ l5 r1 g18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
2 R4 Q: a6 U9 ?. I4 y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
4 b* ?/ N) D4 a' I. G8 p19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
" M5 N" R5 m+ k! f  A: V# B离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
8 F' R/ Y! b" d: C20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
4 O. ~) p  l4 r: s; A& Z  E9 B计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
. ^' J" J3 `) L2 _" j" O- Y2 [21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
$ B) ~0 Z6 }: I; V4 V. J例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
0 R3 h. d& \. d1 m+ ~% O! T支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: A0 L$ `4 g& J/ j+ J: r射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
# [( E% M" `; e& t% K9 I- F23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
7 C' G$ K  |) P5 B3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
. w: a; q2 ?6 r2 p6 ]5 X1 \! V6 M各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
+ y8 f/ j& c4 u6 k  N% J5、典型相关分析
+ f# B% W+ Y+ W) g$ O1 e6、对应分析
7、多维标度法（一般）
; I6 @& u  V4 V% Z. F# \8、偏最小二乘回归分析（较好）
) Z7 G8 O& _0 `3 D4 O# Y1 L4 {24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
) W0 d& z( P- Q8 J/ G+ \5、其他聚类
+ K2 K- }. p% z! d  }) x0 h6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
" Y. ^7 v  I& a6 C0 d8、模糊识别
) U( X9 }( c0 H5 l6 L25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
  |& h2 L$ X8 t- K6 T8 R3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
0 x; S2 |( ]  M% ]+ d/ ~（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
0 I9 o, H' T( B" d" I2 ]. m6 z: {一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
. d  n+ ?+ y) b6 |  Q数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
3 t9 C' x* S: ^/ J& [计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
' ]0 ]- [; S- c) e" x% m9、优势分析
% o; q4 O" ]  H% @26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
$ S' M( X$ ]  g* d' o1 |- A, W

8 ^  ?+ ?( P( l, R' l

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  m/ L8 F* `' X& e/ X# n" s

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的