数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
* z' n( v- V# l3 f& w; I几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
; [1 c  [) \0 d! w1 J3. 按模型的应用领域分：
  x: }; k. H0 N, G人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
3 A2 B% J( o. r( U# b4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
# a4 T* h$ @. Z* H& q. t一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
( F6 C1 ?# g. ]% w0 ]+ H% u3 ]" o国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
* a- n' A9 k- ?  t. o. a6 d  |数学建模十大算法
% C' ?' g7 n9 W' O: _3 s1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
5 j; @/ @' C/ z4 f: w3 d以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  k2 w5 x& l) R7 s4 s  h比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
- E3 ~. n9 O% s4 H! B通常使用 Matlab 作为工具
: p7 h. c3 ^- T6 X1 c: F+ H/ ^3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
$ M# q! \7 S' k" ^9 w4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
; P2 l6 V6 a! W, ~7 J% B论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 {5 `. H3 b4 M$ n! L. r这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
, [2 o% Z* z7 B, p9 ]' B. g6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 |) ]' @% B; C$ ]这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
6 {( C. h+ x- v2 y, p0 R! c7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* h. S1 G$ Z8 e/ e: l' Q, C一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 v9 W1 l9 n5 E7 _( Y9 、数值分析算法
$ j9 `* S7 ~/ ?, R, R4 m/ M3 o如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
4 a+ A2 J9 H# K如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
8 F+ R4 D' F. D% D8 }1 B赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
4 E2 F4 e9 Y. G$ [算法简介
% {) r; ]; P) _6 e+ c" a( V1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
; F* _: _# x. c# `* z②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
( f6 [8 ]4 P, l2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* o6 ^1 e& K" Q微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
3 ?* M; t& v7 Z- ]找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
) q7 |/ l- G6 V; x* _化； 样本点的个数有要求：
( Y9 b, p$ M/ u0 @( y# j①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
8 u. a7 n& B0 d, N7 N7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
' Z8 h/ z" o- w) ]+ k$ Z) g适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
  {* r) F5 o% D8 y. X& q9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
& B6 |5 ~. {- f3 H, B) ?8 a; j逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
. ]8 _3 E1 M! {1 `10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
4 [) L; u. a1 b7 C$ D$ U评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# Q7 ~, _) ]0 O: ~作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
4 c" Z! {& [2 K4 q9 d" n12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
# }+ r/ K) }, _$ z优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
0 d1 _; L# D- q% `似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
" z( S" w. q  V其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
3 ]4 W; ~2 C: _. w  Z15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
& G$ x% k* ?& d1 J4 A& ?0 V: W可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
% Z) L# T0 d$ m9 Z$ A量有无影响，差异量的多少
, y) ~+ D9 V9 c4 F3 v; e协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# A3 o9 v% u3 [$ @0 w素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
8 a5 }2 g0 T  q+ {& m模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
' h4 j' e( Z3 n' L/ ?优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& C5 p2 u" q7 Q9 X智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
- v: u5 Q5 }; ]0 b" n4 y其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% j$ E4 n' W  T19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
5 R8 X' K8 D* h  L7 \离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
3 k0 n( Z, u; P/ g; `7 q1 r即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
' r1 y) e2 u6 U# v# C有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
3 ~$ T$ w* t$ S5 G3 N7 a: ~例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
. k- n- K5 H. h# Y1 ^1 r22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
+ G" F; B& {8 e: n2 n' D( e% g' G射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
2 u7 o  Z) n% y; E3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 F' J/ N1 \6 B5 s$ q. y6 v5 g, H各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
6 n" ]. l5 U# m" |5、典型相关分析
% ?8 s8 L' l$ h4 K' _% w6、对应分析
7、多维标度法（一般）
* C, @" G1 U7 x7 B; c# p6 }  R8、偏最小二乘回归分析（较好）
2 d1 s9 Y) E% V( r. ~5 O24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3 _/ t" g* h# Y6 j3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
, n/ s  X# T: |6、贝叶斯判别（较好）
4 v  y9 h  {' N9 [1 j  j+ A7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
$ [6 N( n; Q. X4 p5 c3 q; Z0 }1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
  O9 \- [) ~2 _4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
: M" ]$ h! u9 ]* v! t$ y5、典型相关分析
9 B' U/ i" |3 J8 y1 Z（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
3 M# ]+ h' M! H$ m% s7 u一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 e! g( d/ ^( M7 X7 x1 T6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
3 @1 ^. y$ U* K8 o7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
/ h% J' h* Z0 Z计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
& y3 x0 _' h6 Z; J量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
, k6 M2 {: v- q! h: L1 }率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
% s% j- }8 s6 t+ Y; q  S
" Y. m- I5 G! ?- ~8 P' s

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
) u  R- u5 f& K- s  x4 `( \! k3 G