数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
- s" r; ?7 B" V) x9 H, D1. 按模型的数学方法分：
. S( W* ^# F4 l7 M/ \# R' N几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
7 F0 B; U" t3 z# z& J型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! X$ U6 }- B4 n* L静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
+ B/ Y6 _' P: r% Q性模型和非线性模型等。
' x& \8 J7 {$ ^# u9 M3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
; a* ~0 h9 n0 s+ o& _7 \8 k一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
7 i1 I8 [% `5 H0 l0 r+ S比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
5 @. f" {4 }! H4 m9 ~国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
- g( S( L% Y2 a, _5 ^9 x6 Q4 U. @运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
' i" ?8 H5 c# |, v1 、蒙特卡罗算法
' m7 {% [' Y1 L" C# c, w( b2 W* n该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
) V$ {3 n8 c1 |0 L5 Z$ b- W以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
( o1 o2 U' m# g  `& l2 q3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! p* z2 i  A* O建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ f& R( y/ t/ k. c% \法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
; d1 x( Z. t$ p5 T这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
( p; @3 u2 v2 s3 D8 w% i& q* K* T  Y这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 I; p" r% x0 h& {4 \% N这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
! X( D: M% {. o" K1 a  V% d4 g帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
9 U( l4 U; R! {1 Y! V0 D8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
# S2 R# n$ W  V6 t如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
+ N/ M6 ~& V& H/ X如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
9 \; U: A2 u1 `; r& Z- f赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
0 F# w- Y9 u# c+ P# I行处理
4 f. U4 K* K4 E6 u$ o算法简介
9 T! L) B5 \- |  ^  V, ]$ r5 G1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
' N/ f% b7 ]+ j7 u4 T$ s* ^7 `个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
- o. x6 o: L& E/ \! {6 V' B②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
  W1 A: {) W5 n( `, v- s) q) J求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
; Q' B2 L' Q% v9 b! g& ?* d' w3 p化； 样本点的个数有要求：
+ X* Y; w& E9 Z1 p9 u①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
: R/ e; k) A! i2 a& \/ N/ X②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
& B; x# {4 ^3 ~0 r* D: z4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% d2 }8 M& ^7 o6 g3 u& N" B一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
) E7 r  k6 y( k3 l' x; m! @: @/ }互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, \( d. ?" T. X6 B' V3 M6 D# Q2 \5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
. {% G+ l7 H. u) G# I" t& l* u4 }数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
0 w$ N0 k( d! t5 H1 {: C7 Y7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
3 v) p! c  Z; E. v; |适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
- R& L/ A7 v! G! m# c$ A( n7 u+ O拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
' t, h" K- H3 m, j" s+ Q, W# ]# I逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
" Q( Q5 w0 G& r7 a/ D' X10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 O0 P$ }  b- S! A+ r& o7 s评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 f6 ?9 l5 V7 b. G9 e作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
, K' q; E  C6 T12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
6 _* }! u0 [, i" `) F: V7 S6 }2 T14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
6 t1 _6 S5 }! [/ \4 b来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
9 z0 u& I' I( p( T; q5 ^0 b该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
/ W/ X# o8 U( k. h! _) {) }方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
+ P" D0 g  P8 W: r6 S* a协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
, _  H: p; o  {. |5 b7 L) B此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
' E" X, n! s. ~7 {7 r% c模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
) [; y0 R3 |3 W4 Y% s+ H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
. _1 ?8 o4 _9 M# l5 W6 J智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
  [( |& Y8 m4 p20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
& Q- f, h) o9 e% l3 T: o/ W: j排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
" a, N- {9 e. p般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
7 {( A  @- n' u  L! n+ I例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
8 E- d6 l1 ~/ o* N7 p3 l" z/ b8 L9 y22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
- ]' N7 P# L6 I支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
$ g; k% |) T1 ~% b射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
( R  I( i* v6 ~2 r+ M* w/ y1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
- }$ K1 e  D+ t. U; [! R* r各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
2 U. |" A4 A" d* |8 B4、判别分析
5、典型相关分析
; k$ O8 X3 x; e+ `% j6、对应分析
7、多维标度法（一般）
/ V  g8 ?! o3 u+ k$ ^2 j8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
% g1 n( l! D' J, K1 `$ c2 ?/ e主要包括以下几种方法，
! ~7 X* m8 ?' ?6 E+ a5 X1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
4 _" N9 \! s1 i6 |( W7 g( h3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
8 D6 B7 X) H* f+ n+ R, S6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
4 e( \0 P5 K/ j/ `2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
/ C5 N2 ^9 k; T/ }. S& V3、Person 相关（样本点的个数比较多）
, c9 {; O1 M: r" I: y( p4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, x* ^. f7 Y* i! ?8 \* K6、标准化回归分析
! _# A6 j9 M1 U) _& G# o* M  v若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
" ]1 t0 O" V6 @( z! P. t7、生存分析（事件史分析）（较好）
) @. K) j4 Z- M8 _( w( a& }数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
, _) z( D( r% S5 q& W5 u$ \9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
- T% s2 O) \9 e) \$ _# T率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
+ y7 v- o$ X  ?8 m- y0 u( X1 q

$ l& ]: K/ ?+ n0 A: C& E
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
/ K+ M2 S$ Y. U0 I  j) l0 a& @