数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
% o. `- i& T0 z0 }) Y7 I0 O7 r$ c1 O人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
2 s0 G# b: d$ k: P* L4 c  ^4 J4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
+ U4 R+ X- ~( n* w$ F# K一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
6 H& m  ?+ ?% Z6 F* J# O往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
1 a+ N) f! i  d% n) J3 y& L6. 按比赛命题方向分：
/ y& t7 ~- T# l) w8 B国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
/ b* v9 k; e8 C" X6 [& R2 b运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
% C; R7 e* h7 q; d7 U8 H1 、蒙特卡罗算法
1 m# s8 B2 P5 i, {& O( N该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
; v8 k  L/ ^+ b* R) w# f1 a  f以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
( x8 I+ S5 v+ v, \/ {比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
3 _1 O5 [( I3 B) L6 r法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
- R7 M. r- |2 K! d: E+ p+ h+ A+ A/ g这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
( O/ e$ _, _5 e; O' ^论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
9 D4 r; _! Z& e4 k8 R当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* v* `( \* ~- o4 S一些高级语言作为编程工具
/ D! ?+ \. ], g/ z8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
* D. w5 A( }. L) U( w  q7 m5 z6 \4 _据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
3 j; i* r) C! m9 W- O$ m9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
5 y# Q7 O4 w, u7 ]如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
0 |% R# u4 m) H的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
0 L! e% K3 s' \0 f) F& ~行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
' P5 {# X) ~7 Y  m% d①数据样本点个数 6 个以上
+ Y# [# a# F7 b7 |$ l7 o7 m4 N" H②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
* f( t# H7 q0 W- d  h$ E2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
( @( ]# M2 r! o. f微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
8 M* q$ z( i0 j1 Z& D8 x$ t% @其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
& n! B) f1 E6 |# ~* W9 {+ K①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
6 e$ n* p/ n) ?. u* I. Z& Y' R4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
* B& t' R2 n# ^, q& y, g5 U互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
& Q* s& W/ s& \% B预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
7 t* i/ H4 Y; `9 j数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
( k4 \9 |" S# k预测波动数据的函数。
$ g7 S( j7 Q2 K, N7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
3 Y/ l$ @* B& d* [; y适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
% _( u! K  Q4 j& l% J% A拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
1 _5 n( r& ]( m& K在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 o' P( G/ A6 N9 F! R6 Z- c12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  l/ s/ @* I, v: `% R* u优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
6 [) @* O* k# r, o; q, F9 g14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
; L6 d9 g! F0 C2 N0 _4 o评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
) l# D- S7 T! m- z' s7 p的最差值。
' L( p0 j6 y  n7 J! Y: A3 c1 S15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: z0 E1 x& W' }( q5 L+ T可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
5 Z& ^5 J" q( @7 z/ H来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
: B- w. N4 h6 `! F1 X% @量有无影响，差异量的多少
# M. `: F7 D( }$ W协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
* l7 x! X) D7 H# |+ l( m素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
& N; m2 L: I# C8 z/ d' J3 j/ c此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
  [: M" L: p1 x, S$ K18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
- i' v$ `. J4 m1 w9 {智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
2 ?2 O* |) Y! o+ b0 G排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 }+ |+ f' T* B6 u/ ^) ^8 U, x有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 K$ j3 I$ \5 e; B: j/ q计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
$ @& G; I- p3 ]. j例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
6 j( ?" \2 V1 ^+ k6 U1 L1 V! `7 t22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
, B6 d  Z  h  E' T: Z" D7 a7 Z- m$ J支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
0 w9 c9 Y- D: u5 f8 p1、聚类分析、
; \2 o9 V8 }- o2、因子分析
" U* v) c+ V5 E% s4 {+ D3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
* r3 v& ?0 M7 O) J! d从而达到降维的目的。
' v4 {! a2 j; _4 A5 u4 k1 H+ O- e4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
  R, |9 w( y9 `* Q4 h4 G7、多维标度法（一般）
0 @9 y1 Q* R$ G0 b7 a" }8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
8 `/ R, C! l, H7 Y. K8 ]1、距离聚类（系统聚类）（一般）
1 O- o. w, P( T) r. x2 O2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
- o5 b4 ^. g+ q0 c% v; ]  Y7、费舍尔判别（较好）
1 \5 S# Q! Y& X& ]+ A; Y$ n+ J8、模糊识别
5 N, h+ [6 x, r  D6 s25 、关联与因果
6 _- }. N7 Y# D3 x8 C1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3 O" D9 P: @, T/ E: l) K( X3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
3 s$ y" N: p( T  C  C  L! C5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
5 R3 d, w: e  A9 O, Q6、标准化回归分析
+ R4 k" b. g& q8 X# x$ z5 n4 s若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
; a+ O- T+ _2 E' s# i7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
0 j& Q4 ~6 ?  l3 v8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
5 @* ?7 g3 I& C: K  {$ E9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
" O2 n3 F: V7 w  S& D量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% z/ B) u+ g) T) ]0 h率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


1 N  {. x, Q" R! b2 i, [# o+ C+ R4 y! W

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* y2 l+ W; L' T" T0 D2 ~: H1 ?6 j

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
# e' X5 _' V" |0 o2 J5 y