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- 从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。
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本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑 ; y" N1 k- t9 I, j7 w+ {
% z, F0 O' i; C/ ?" L 王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:, o" T7 g0 }* U
定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
9 W/ c. b- N7 ~# t 证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
u/ w! U$ I! H k * x; v5 ?5 ?& m2 G! ?
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。* D2 Q" z# q9 `' J1 G( ?6 t
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0." ]8 ` }8 H3 O" J0 S! K* B5 ?
考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为: U4 q8 B8 H* Z" D1 @- K! @
(6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0, 【我把这个算式记为(1)】
$ H0 P1 s7 ]) H7 V6 Z6 n于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
m2 k! T3 m$ r2 j% d
# i; \6 J4 |/ `1 l3 L$ x: ~ 其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是; {5 q6 {5 W7 N, \: _
& \) K. n! _( J
2 x( w" v, a5 x: s0 S9 l 我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是
, [+ r3 b3 p+ v d4 C (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。
* V9 J7 _2 G* x$ R! L( z' T2 s& P8 w
, t2 I% E' o1 D9 E' ^ 如果确定是k/6,那么(1)式为
! i x$ `4 i; g) G! C, ]
' C2 D$ G% E% A: G (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
+ s; b6 `, f' m; F l, u: A4 @ 把k=7带入(36-5K)/6时,得
2 _5 m) E: {0 m1 i X- ]" |5 a ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
. x' c: H( z' |3 ]
8 r" P' I$ b3 s% B0 s& H# w 那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
% |+ K2 _# h c( h2 f% n. C (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 (1-1)
2 [; r2 l; S c或者
3 U+ L( a9 J* s9 ?# i (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
! X3 f. z+ x5 ?# i. D因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。
3 U( i2 `$ K7 h; F1 a 如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:. U$ W6 j5 \/ X* w6 c; Z
考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为- ~4 A2 m8 w% D6 J0 t, X
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2 或者 (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,3 J T/ N) `; r) b) c1 l
于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。/ C& y) y7 u0 S# o& ^2 ^
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。4 f7 M4 u5 N# j3 W. m( z( t
。 P8 F L$ {" d
如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。7 m& _ ~& W% |, A
我的认识对不对,请王教授指导.& b( L* f6 S* F
2014.04。09
( W. R3 h; R* @) s
0 g) l; X+ x- z5 j) |$ w/ z# X
@1 ^9 B2 t A% g9 k5 ~4 Y4 G0 {& ?1 D* [ |- ?
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