简单的说,平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理,交通红绿灯的设置与路宽的关系,收费站的卡口数与车流量的关系等...( p P' Z! O" U$ J* ^2 D5 G
建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系,所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。1 W7 H1 w1 ]1 s1 x& x
通过几道例题来说明一下:% V5 p0 W) M6 ?
1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
7 u5 b( b7 m; g, v+ W3 ?2 x第一:找平衡关系。题目只说了出生与死亡,给了我们一对平衡因素(人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关,出) L# O/ A- n* s1 d" k% l0 G
于简便,只考虑出生率与死亡率)。6 A/ p* p; f- X
第二:找平衡变量,与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。6 h1 S' B4 _+ u: K) S
第三:约束条件,建立方程
4 k% @; E2 X4 D: C& M* e 1. 人群个体同质。 2. 群体规模大。 3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的 影响。 4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。(生育率和死亡率) 5. 群体增长恒定。 6. 个体增长独立。
, G) X4 A" _: M3 f& h8 U7 ? 人口数在区间[t,t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t,t+△t ]内生育数和死亡数, 则有:4 B1 I5 X2 W% m) F3 Q% p2 |; K
& B Q& I1 j# J8 m J
则出生率:
0 u5 F# R& e' m8 t# @
; N% q3 J* x( P. a9 a 死亡率:
# o m6 h( ~' A, ` _# P/ f7 \
0 v+ @( @5 h) O/ u: L 自然增长率 :
' I) h8 v* l8 l' H' \
+ T: R k6 M) U. c 又因为初始条件:
, y1 |' q* [: o: p6 q! O* t
0 ^9 W- O2 ?( o( u9 y 继续推演可得:
# y, l, ~2 N$ o; b4 C
7 O( G' |" ?( r) T2 U3 ^
' B2 H, n! ^# T ?. m% ?/ c" F) g给定初值 N(0)=N0,可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长,即人口数量达到阈值时候会减速增长,模型变为 logistic 模型(s曲线)。
4 S4 U; Y$ D# S! O/ v) D 以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些(只是本人感觉)。6 S# W" ]# H# t& A3 J3 Y& e2 I
附本次例题来源的word文件供大家阅读,更深入理解平衡原理。7 S5 E( ?) f) K6 }/ Z7 \, B
) { I: X/ j/ v' M: P: g4 m$ d8 N
5 ~- D1 O$ K2 |: o, P7 c0 k $ U* z' {# n$ e/ s" x
1 q) h. h) N7 |5 n3 r5 V4 m' e. b: H8 n
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