数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
* U) n! |7 E% {! |2 Y) m+ G数学建模问题总共分为四类：
0 d; n% F- k3 P1 }9 K7 D# Q1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

* K5 N: f4 l  `( d  Q/ E基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
+ W. d; L! p8 a. c) F粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
9 |/ ~$ u) C9 c2 c- Y1 Z) u粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
5 u5 ^% x( J+ W! y' r群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
2 @, ?3 |3 {# n! Z! m5 V

二、模拟退火算法（SA）
& L: ~# i6 q/ }, y
, T0 s' t% j6 G6 W1 c5 K, K. Z7 P模拟退火过程：
) R0 B/ R, @/ e; P5 g设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
  M& j% a# R! M8 ^
: e4 {) p5 V* w" u三、遗传算法
# g$ t% Y2 g' t: i, ]5 A, I
% N  s5 A8 G& H+ {& U8 l9 e& {产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
0 r  ]! o) A0 \; B( d+ M若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

8 q- N) `! C4 G( Q% l6 z# d- E四、算法步骤
初始种群
. ?& a& K0 j- ?& Y编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
% [$ \3 V1 d/ c1 i/ c' {. @遗传运算，交叉和变异
1 Y( a! D7 I, m$ B选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
3 m* x) K7 |7 O0 j; w停止准则
) e+ v& C: x. n4 D+ g; k
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

' `2 p+ w: p( a# p( C& R五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
$ E( d2 ~& f( n/ M
( i5 @2 M: c5 e7 u" o9 c又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
$ Q0 ?& G7 D, p6 x7 y2、局部开发能力强，收敛速度很快。
3 {. @4 ~) R# O7 W" t) a缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2 f% J& X2 A: ^9 z# v/ Q: O( O4 L2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
& U9 u7 W; _( A  ?) b
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
8 ^4 q$ ^" _' M* }6 u$ K! ^b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
8 V. G. N  X0 m4 Q  `  m(2)初始解的获取
6 [0 o- n) |5 X  l" i/ K0 v. `可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
1 F3 u1 q/ {: I+ C1 K* Z1 A2 i9 `(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
3 Z3 y5 m. S5 I* |! p" ^从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
0 p- ]1 L; H( s8 F& |% n- X' M禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
& o6 ?7 k- X5 E+ V" g2 ]% O; HA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
( x- U2 T5 X, f' y% s$ Y4 l8 b
) W; {4 g" ?2 O4 L8 b9 K六、蚁群算法（AS）

% f, q; ^3 s$ U  \* C" A5 j
$ @3 B; z" y6 m* v4 K) x参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
  G% ~2 p9 r3 Y* O' C  c+ z---------------------
1 ^! A! h! g- Y% z! l作者：_朝闻道_
4 e/ U; @8 Y- A0 T3 a来源：CSDN
* p" ~$ N6 |! u8 ]% R



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