数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
( _' \; |: G' c4 N! o1 M数学建模问题总共分为四类：
9 j4 a& }& N; y: @1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
4 q8 t1 r& d$ u3 g. S% @
一、粒子群算法（PSO）
' @4 [. Q" D; I) K$ ?# J0 Q" b9 r9 c
$ J, l9 n3 O* h" i% L9 g算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
  E+ O! T% j$ z% k7 \PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
' P7 c- c7 ~+ K4 C9 u
基本PSO算法
. u# K3 x9 K) X1 {
5 g1 J, u# ]6 m8 u4 |: t# nD维空间中，有m个粒子；
( F8 J" I. m1 U  Q# k# Q粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
1 m/ |+ F% O8 t: L4 Y- h# D粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
& P, q) ]* F) }0 ]) K. A群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
, B5 n' l/ `$ h: a9 ~% j) R
! I5 c% y. ?& A% k% I0 i/ }/ T
( V& M3 N, o" K5 ]5 @$ k二、模拟退火算法（SA）
7 B, |2 I% ^6 v5 D5 R  M
3 _* P* W" k) C; r! E( j4 [模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
4 r8 e* D: n" g热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
7 W! U- n& U, H
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
- z3 h* C0 {5 L2 d0 J! s: g4 O) s根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

2 h0 F( E- G+ {2 ?# U四、算法步骤
1 i! l2 f! ]5 F" l初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
* L8 Y+ s+ G/ f8 l9 c, a" `) r; i遗传运算，交叉和变异
+ z  M- j! |/ F选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
! t- [2 I* f7 Y3 d
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

* d! R+ U) `1 Z, P/ N# y# ~' |四、神经网络算法
+ |$ ^* l. M, n
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1 n7 Z7 W; `9 Y4 W; v5 q" K1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
, Q# ?8 q" F7 s# a: b. s! }% H1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
3 z$ w8 h. p9 U9 t; y9 m2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

1 t. ]# Z' ?* u# M1 {( J- r将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
9 |( K, T2 T5 X  x+ `b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
  }" H! ^& S' q9 S( c* V(2)初始解的获取
+ |. o. ^3 J9 S4 }# D  V/ d* t可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
0 j. f7 V* d3 h5 A  I移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
, z5 x; W5 X% X8 V$ q禁忌表的作用：防止搜索出现循环
- G$ {* N" J. }! _5 ]; V(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

4 @0 K' u- K# d
8 B+ a* V9 L  g) L: o- V参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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  T- C8 E1 h# Y7 w6 T$ a; P作者：_朝闻道_
来源：CSDN

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