数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
5 ^1 C  g, P1 U数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
3 @; m& d$ f$ E3 l' O5 T; O+ t& v
一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
; A5 u( X8 Z. m8 Q4 N粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
. f8 \8 e% Q0 ]% P7 A* D* t粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
8 V1 @3 @7 ?# s' }4 d粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
% B' i7 N: [) A8 l群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


& ^4 o+ R- n# A3 c, g6 H% Q$ d二、模拟退火算法（SA）
$ D  @7 n( L3 [6 R7 C
模拟退火过程：
/ v7 T2 [7 l- l. u# U; d设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
: h& p1 m" Z4 f5 }3 f( P热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

- p2 _/ d. M) ~. T+ J& B三、遗传算法

产生一个初始种群
: F0 V1 w# V, ], h根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

6 }% v* V) x" K& Y+ D四、算法步骤
2 p- {1 P. z9 n; H, I: ~1 p初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
1 j8 p4 ], @; D: s# R( L+ F停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

- J9 G, w6 T, D" n& F四、神经网络算法
: O: M! g! ]4 d: E
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

0 R: Y1 @+ W! Y7 z2 D$ R五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
7 k3 f' \$ t: m. ?1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
! @: i' b1 x) n2 L' Q  _2、局部开发能力强，收敛速度很快。
# I0 Z! g- y* K2 W! R缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
& U$ p; m8 q( U: F  A8 _2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
5 [: c4 T  c  _  j3 U- S( {
! w- `6 c) @3 v, R将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
% I; q5 Z) M2 k, A1 Z0 oa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
4 Y/ _, U: I6 Q. M) vb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
$ J6 D0 S- z  i  m(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
/ I! `! c( g4 f! x" u9 U1 A2 W2 F  F(4)禁忌表
1 U, c! l5 c/ M9 q9 A禁忌表的作用：防止搜索出现循环
# |  z$ Y  {2 j2 [(5)渴望水平函数
8 @6 j& K2 X/ e3 H& o7 OA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


5 H! @4 f* y# O0 m( E5 j" W$ O参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
来源：CSDN
/ G9 \7 _8 O( L5 q; i6 w1 M% l

$ w2 o4 H9 U. w7 r' x
4 m5 S) l" T; U