数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
( j' k( i  X/ z8 }1 s数学建模问题总共分为四类：
' Q0 y5 \1 d: N7 R4 S1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
! ?) }+ r! A! ]
# z* k+ Z9 T9 u3 q. R% ~5 ^* w一、粒子群算法（PSO）

. a5 a" W5 R% J7 w8 Y) @# _算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
, G% \+ n9 n% r1 P/ ^( Y% ?
基本PSO算法

! H0 [" f! [. U6 N& r6 S7 nD维空间中，有m个粒子；
/ t; v1 Y. Q- E7 N粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
% R/ f' r3 h0 X1 i) A粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
3 [" [5 v+ @( P) q% P8 e粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
+ C1 B* Y% A1 d) Q* }; S3 i群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
0 n$ R# V5 `6 A7 _$ ^- a9 V7 y1 _
3 ?, [1 A9 K- Q( x# O
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
" C" W" ]* e/ F% C; g5 v热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
+ M9 P. h, B% Y9 w降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
4 X' q# u( v9 O& L. G
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
% \+ H& O6 c$ B: N7 ]% K, S若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
/ U4 y1 n1 V! @- c. w
四、算法步骤
) C6 a7 h9 R, O5 ~初始种群
- E: ^7 Q4 {; {# f编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
- P& P( F7 r" O0 @7 y' Y- ?9 C) x遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
! p* P; k, E, X! A& ?6 w停止准则
/ U2 S: S/ j$ N$ H% D, l' |
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
) {7 g! n$ T/ X  J2 Z, W
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
* Z* D4 H5 _- E优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
' j2 C/ j2 Y( L  i2 |$ E2 G  z2、局部开发能力强，收敛速度很快。
8 D/ r$ b2 `1 }; ~' T$ |* m+ n$ }缺点：
/ K1 X5 U# h" h& Q" K0 J7 M! `$ W1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
+ f7 Y4 I$ i3 H2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
) {0 c+ |# {' r
) d$ m/ G6 k3 S将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) L$ P' b5 M9 H, n* Ua、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
' F" u( r# M2 K2 ~$ \, `b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
+ R! z1 r. M2 {6 n* F/ [* |  @可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
( ]5 v0 Y2 m* q2 H( L(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
5 E0 V; \' S9 P从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
+ e3 P5 Z+ V1 m4 U# G禁忌表的作用：防止搜索出现循环
8 D1 [8 k7 M. i1 e" Z" ?7 T- N2 G2 M(5)渴望水平函数
1 J+ _# y+ F% p6 W; TA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
$ r2 ?1 E! v4 e- H
2 @3 S2 b9 j, L9 @8 L
* w# @! V0 M+ L参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
( r. t' V' G! n5 m9 ^. [$ V5 O---------------------
作者：_朝闻道_
来源：CSDN


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6 V; H8 h4 h8 e4 M0 G- w