数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
4 y. ?% e& ?) I. T1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

# o' J1 r3 L( Z6 n/ E3 W) r一、粒子群算法（PSO）

2 {  s2 I+ J7 s# p2 H算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
: C5 @; @$ s, m8 I. f1 |
基本PSO算法
3 |. K9 S* y" G6 Q
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
. Q9 G% C' ~. p粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
2 t( Z! Z1 ~) S" g群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）

: N& s9 z: K  h) P& Q  F4 v模拟退火过程：
' m/ q8 H3 P% _2 S- F设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
' D' w; M) F6 d3 [/ z* `热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
0 Y) m7 E$ E. k' a
8 h2 s" n! @! z6 S0 S( K三、遗传算法
' c$ \8 V( @; F/ U+ O8 K( {
' @7 j6 w/ H: `" i: j产生一个初始种群
- w  M6 E, I4 j1 H根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
3 T" P; [7 _& E0 W* V若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

2 \( a& T& A6 g8 i" d+ C四、算法步骤
/ U# }# q& l! ^- B3 u" {1 F初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
/ g! w5 F! ^* f% Q适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
; R. g$ N! w. T9 @+ I( R" c遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
) k) ^3 N; I) T* q8 q1 S
3 S  x( ~  j2 }+ y& \参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

2 x. U2 J; ?$ ]9 [四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

! m# Q1 ]6 T0 J& Z五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
( D) D& S: x) R2 W' Y- e2 E& z
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
0 T, J6 J3 ]& m  ?( d优点：
& M9 p4 P: Y1 h- P  o9 o3 N& J1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
; A2 I. K% F' H) I+ Q3 n. v2、局部开发能力强，收敛速度很快。
# M+ \7 D1 j4 M! _9 g缺点：
. @7 ~3 a& O' O1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
! d! O  s5 i0 r5 y% A2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
) _6 l( K, a: w) i' Q9 ?
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
4 q  c' n8 _7 v8 Zb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
5 E: m7 ^$ F; k# Z/ O5 c(2)初始解的获取
4 [6 y9 j" g5 P0 w6 y, Z3 I3 \, v可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
9 D( p4 c) r- T: [从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
0 J& c9 j1 _& @(4)禁忌表
$ E  e8 \6 }5 w( m) a; f; P* t禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
7 D* j5 n" n' d* o1 t% J8 d% J7 d) aA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
* F! F0 I0 z( |% f
1 b: E. m2 \7 J, U; }$ z六、蚁群算法（AS）

; T0 Y9 ?$ i8 T9 r9 {+ \
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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# ~! v$ o3 e6 G7 Z6 q" m( f0 Y作者：_朝闻道_
来源：CSDN
7 N8 f2 C5 r# ^% z" C
; w) d6 z) M- w1 c  D) u


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