数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
. e0 U4 V: r# ?$ ]7 B/ v0 x1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
9 N, L0 ?+ c/ F) g' Q
# u3 s  ~+ V" }8 [一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
5 ?. ~  R6 q$ J! JPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
9 x4 b8 ]9 v2 K" [* N
基本PSO算法
. R, U! p  N# ~7 F* D* w( s, q  d; U
6 v# k# C/ _: y  w' {+ rD维空间中，有m个粒子；
4 @, ^& \& A5 E; E* N粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
) |3 [/ y  p+ m$ ~2 g/ F4 C粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
; v: f4 M  Q+ R9 C/ x7 p; w群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
- \) o% |6 O) R! z4 B. p

0 w/ f# Q! t; N# C/ p二、模拟退火算法（SA）
# Y- K. P$ A9 p; P7 Q% F0 A
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
/ v9 g2 p( D) V" M( \8 I( Q降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
4 a8 [9 u! `8 z5 A4 P9 t
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
, S, \( S, A  ]& w$ M, `# N7 G# {若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
' t& n$ z# y/ b
四、算法步骤
: J+ E4 ]8 F, Q$ z, A( k8 Q初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
/ [5 a9 J6 e. m停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

) }6 T" o% g$ L% l5 c四、神经网络算法
0 [+ Q. ]+ u9 n7 r) H
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
# w% ]+ y* y# |; g5 W! O1 x
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
9 g  r2 U& f2 }$ S
3 [, `: x5 \9 u& f. x又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
5 f+ W3 ?/ U0 f. a8 G# o2 R优点：
3 S: L2 o- N7 `& Q' B1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
' N9 }! ]# f6 c9 S4 t+ a2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
  [) L2 n  r) w3 s! C7 R% U4 ?a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
7 [) K. H3 n0 h/ z(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
3 R1 C, @' m  Q2 V(3)移动邻域
# A5 _9 Q- r" }/ _' v移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
9 t. D2 Q/ P& `' X从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


- I4 s. ^" z5 r; }: g9 r参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
6 b  j6 w: O4 [# q* R1 K---------------------
; K  X, Y$ l6 o" e- Q作者：_朝闻道_
: M& }# J) U8 f7 x1 Y2 w  H* H- |% R) ^来源：CSDN
7 z! O# \% f) J, n/ Z
& b" ~+ t" W# ?% w* G( Z