数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
' E, `% d" [: u/ f- ]+ k8 Y数学建模问题总共分为四类：
) I8 A, B0 I0 J1 |/ d* p. g1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
. X* Z$ G1 Z% q* V2 j9 p
一、粒子群算法（PSO）

/ H) h) G7 W2 e2 _( s; i1 A算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
" ~( a4 I; X- C6 @9 TPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
& c" }0 M) k$ V( T7 ~  T2 A1 }, ^
基本PSO算法
5 a+ L4 _  `; L+ x4 ^
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
" S% N! m0 {1 x" p9 D# ^4 @粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
$ ~' P- f4 E- r5 ^粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
/ k" g7 R. ?- O; ~6 }! b% X4 U群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

6 ~# H+ x: q# E1 N: s
二、模拟退火算法（SA）
$ D0 X. ]# W/ S. F4 f  b) p8 k! h  l
7 W0 R3 Y% z! o2 e模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
2 c8 [' ?* T% ~; z9 u0 w
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
. h$ Z* [/ i! }2 X* I3 J根据适应值的好坏不断选择和繁殖
6 w" u# Y! @2 T: u& `若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
& `1 a2 D& R& E! I6 i; @
/ o" g, A) I, ~5 H# y5 h; e3 O四、算法步骤
. {: u% ?# S  e+ N6 b初始种群
+ p% I  `9 u. I( w( S" w4 v0 h编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
" Z1 ^3 u, Z1 J. a; @2 G; P. m! ~遗传运算，交叉和变异
/ K% w' ]& ^* {% n5 N0 R8 o6 ]选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
3 P. ~( ^5 J" N4 V) H5 L, F7 \
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
! f  {! w! ?* u5 n$ X, k
3 c7 y- Z% T2 w9 A+ B8 Q和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
! k( g, F$ {+ {$ t
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

# q( f1 S6 B4 R5 ~又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
% d1 [1 O7 S& @. D- x$ G+ u7 ~优点：
& [5 x5 X4 h1 C' ~: K* v, T. @1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
" \3 i: h# U) C9 y" u2、局部开发能力强，收敛速度很快。
* x2 y: W7 N0 |缺点：
" @: c0 ^. B" N* i! D6 K5 \1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
) r) Y- r  r6 i; y- Z% w+ o, ^2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
  ~. l* n- m% W4 O
! I& M0 m. L6 h: {8 z/ t1 q将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
4 m$ V* S+ \$ Z3 Y$ Ya、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
" W! i5 Q3 t0 L/ s* b# H' j可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
6 G5 s2 u2 f8 h7 o$ p(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
- w, ?4 Q/ p2 Q: A' e(4)禁忌表
$ B% ~# l2 U. H4 T9 |7 ]8 m9 P禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
" D& K+ Q7 S1 p4 v6 I/ yA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
* ?: f1 h$ P  K5 p/ Q  i' ^
六、蚁群算法（AS）
) n+ |9 M7 a( r2 t2 c: t" p) ~0 V
& q# z' [% G( b
1 N4 ^( Q3 U# \9 w6 _* e1 P参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
( N0 o& B1 ~% ]; _+ ]$ \---------------------
作者：_朝闻道_
% }  p+ n7 e' M% t来源：CSDN

; R4 B1 u2 b# e+ I" h  }7 {
( x# w6 q% {1 {1 i3 i

2 x9 G; t% P9 I4 V* d2 }' Z