数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
+ G5 o8 r# d+ {- \9 v
一、粒子群算法（PSO）

) \& q  u# Z# T/ A, G4 T0 [算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
5 k* b3 X7 f; d5 ^7 n: N( _
基本PSO算法

% o/ k. w& U9 d, n% AD维空间中，有m个粒子；
5 l  {/ W7 I/ Q6 Z粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
1 C  ]6 \" m. U- B2 _& k粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
  w; @- @. H9 ~粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
/ `  [) j# Z- ?1 \
2 _8 ~3 O/ a. P
3 ~' z8 K2 C" T/ t- s二、模拟退火算法（SA）
- N3 J7 J4 M! U, @5 f% e" b+ s
4 f8 F  c3 P; H模拟退火过程：
( U0 l' H; ^7 n; p* ^6 z. D设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
' i- ~  u, F- a4 p/ x降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
; z# v( }1 i' Q
三、遗传算法
" l1 c1 z2 }8 k. E) Q9 E9 k  s1 U$ G# s
/ a: O! A/ ]5 u5 u$ e7 }; a5 I/ G产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
, l5 v7 Z, E2 |! W若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
+ v+ J% f5 ]" A1 ~7 T适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
  ^+ F' x$ e: W" w遗传运算，交叉和变异
: y6 ~% a+ k3 c9 {: w5 E5 }& i选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
, w4 m3 H! Y' K6 x停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

0 a) ^8 h, N0 j: d四、神经网络算法
8 F) u3 `5 n) y+ R: d9 c. _  {3 r
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
6 H" s/ `: z; @- S0 D" m: u: o$ N' ~3 a
5 [2 t" e4 t" o0 n/ A, {五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
; x4 j* J! Z) M
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
, c+ b7 _% Z8 I. Q优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
3 Z. z( }( n. a9 d. m) A9 c2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
0 W# I# j' C8 X# Z
( }$ a$ n* ~% Z将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
/ b+ e1 X% W& d# J$ e4 c(2)初始解的获取
9 V8 O5 u. o; h0 x$ @* _# \% N可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
. o5 p9 G& C4 y' _2 F; z# k. ]7 P(3)移动邻域
$ g: P3 F' y; n  e3 y5 P' c7 @" F移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
0 a0 x: C0 Y& c% v6 L0 t---------------------
作者：_朝闻道_
来源：CSDN
! @) _! m& L1 C# V, s# _' S" n( [1 \
8 D6 }4 y/ k5 t, X5 @. z

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