数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
8 _+ D9 `* C4 Y" |( |1 ^1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

1 e" b2 G9 P# O- @一、粒子群算法（PSO）
. x/ ]$ X$ J+ C7 r6 W
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
/ g! Q4 f5 ?: B7 g- ~3 m$ b; ~
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
( K+ Y: x7 n; D# H* {# |+ K, G粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
! a& Q5 r  m1 [8 e粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

! P1 T3 ^! a( I, X0 Z: L
$ d/ D( Z  g: b2 v0 o: e# F3 C二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
$ a* o4 e6 C1 k: e# q5 {设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
3 K$ \2 c1 S5 S( f8 \热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

! P+ j% X6 k9 I8 W! d5 x) u三、遗传算法

' a8 }! m; ?1 S9 ~( B2 T' F7 J  k产生一个初始种群
' W  c7 k+ e. T% Y* W" x% y( {根据问题的目标函数构造适值函数
8 @3 a6 R3 p* t! b根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
; n3 o  F; u- @) O+ p2 q% W9 m初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
, y" I# p6 V! H0 |) F, `/ j停止准则

+ q) P: \, `7 N) Z2 c6 O参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
" Y" }6 M% f  S8 `
四、神经网络算法

, V4 V% `5 y& ]/ B和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
4 y4 T/ D, Y0 H' y, U% S8 [
" |( t9 |" B8 g6 R又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
5 {; J! K+ G. I0 y  z, Y1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
/ r- u/ ~' w$ @3 {! E1 F1 R' ~2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
9 ~- A( p& o) a6 ]7 f5 Y& b1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
8 Y, k: E$ B3 b+ w9 @
$ E9 E- A, q0 }1 t将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
/ g0 _6 x+ H5 }% A(2)初始解的获取
2 k  W# f4 T8 L+ w可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
: _! w& r/ J: v& R从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
( x8 |+ S' A, G2 t- _A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
$ {7 |- z( _: [- z; y  ?2 m: m
1 Y2 [1 W9 g, v3 e/ {  `
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
+ r6 X) _) J: y) E. R0 g---------------------
作者：_朝闻道_
9 S* O( f5 a9 W8 `/ ]6 |1 Y* w来源：CSDN


( _, B2 v' R$ w& {