数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
, T, P' f+ {8 r1 S& ~* A1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
9 ^' o+ y" U( o8 ]! P
( f( f( n9 _. u1 i- t算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
" h& C, v9 [2 a% R$ ^PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
/ [" U, `6 H$ K
2 n( _% m7 t# E% I, d) V基本PSO算法

' u( Y( P% O- C" YD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
' d3 b" t' g# N* G粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
! R7 g7 y. O7 y* n粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
& v  L; g" {4 H1 y4 b8 S/ ^( O, P群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
2 V: [3 r' K9 m" T5 E1 v
- U) N) M, R4 j2 l: U8 r
二、模拟退火算法（SA）
2 y% T2 G' `% k2 |* S/ {( x
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
! g3 @1 G& H; ]! M
三、遗传算法
+ K2 U5 l, b' d+ G
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
8 n: U0 {# w. S6 x0 M若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

3 ]- W- T$ }1 z+ C7 a四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
% O5 c! R& ]( V4 }% r5 z适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
& x6 g9 e& o) I$ P% q5 X& T遗传运算，交叉和变异
" l6 n1 m! d. O% w" g' c选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
* n' a# w$ V0 T/ q( }
2 O& g/ \6 ?4 N8 F+ p参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

1 i) ]! p7 q' Z9 w( k6 Y四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

4 ?! ?; L* d; S# ~$ X0 S+ C0 s五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
  K/ {5 ?# c5 A' e& k: t: j3 |9 p* X
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
, \, ?. r3 Z. Y4 Z4 W& D1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
- {7 C3 @, l/ A8 M1 T9 F( @5 y' {2、局部开发能力强，收敛速度很快。
( @% X; \& }% q缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

6 U. q" P7 s7 H& a' _2 a$ w1 x将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
4 D- j4 ?5 S- \  Q' k4 U8 Sb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
% c9 I6 x6 \/ k2 u) {& L  i9 m(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
$ d8 C, n+ H. g(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
9 s0 H2 J/ U, V( ?0 F( xA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
" f3 _) R2 B+ i" D2 f% D6 x1 {8 B4 P
六、蚁群算法（AS）

. |* t2 [9 p, p4 S+ E
( C" _$ C+ E  ~$ o( }参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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2 v3 p7 T$ f5 C6 y* s2 Q作者：_朝闻道_
来源：CSDN
, C/ m) O7 j7 H* Y  J


' U, z; s0 U' c6 Y0 S) b
5 n3 R3 K, q& P  u0 p  Q, d