数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
- e9 ?1 ^6 }% q
+ l" \8 o$ x. G" f3 T+ r一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
, Q3 L& \4 R( Y. R3 MPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

) x" p1 Y; L) ]. J( B- c5 A基本PSO算法
* o- `: f# B+ v+ k% ?, ?$ o
, r; n$ @7 r9 \" F+ h  L0 fD维空间中，有m个粒子；
1 R' @, `9 R; s5 j, z& z粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
9 l' n- t+ B5 \7 Y3 K7 |: L粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
( h0 a3 g" h7 m) T粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
+ @8 u+ [& A) y

. Z. T" Y/ Q  T/ k1 K二、模拟退火算法（SA）
' E+ L$ x' t$ C, ^6 ]- _. p& S' n
模拟退火过程：
  V) T: p5 M& T6 J$ F! b设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
. L! C: t, x6 @4 ~$ d0 t降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
9 N/ @. e3 b! B5 }0 U
三、遗传算法
* J4 A8 n, c5 x1 X& _
: q, j6 O$ \; k+ G产生一个初始种群
4 R$ E) p9 t, a' k% C5 L9 l, |根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
3 e0 T6 {& V  y9 y若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
" f6 l9 Z+ F: l, ?
四、算法步骤
: S9 }: Z0 J' W% r初始种群
  L% v8 _. j8 ~* f; G/ Q编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
* P/ Z$ N0 L* `2 L6 Z5 x* t6 P( j停止准则
. y; P2 B2 u; U' J9 {/ M
2 y5 a. e4 o6 V3 C参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
4 P# Z6 P9 f8 q" w2 [
四、神经网络算法
( T7 ~& P9 O# t& o' R+ L7 P
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
- t+ V2 \5 `' F% J" B  A
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
, v6 d. Q& b* l+ S4 D缺点：
8 D5 ], o7 J4 e" g0 Y7 g( t1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
$ S7 A. c; ?; p7 ~+ B
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
; n' `! D; Y+ V- S可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
+ ~5 w9 u9 ^( R/ [% `从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
8 Y6 {9 r. e- m4 K! ?' T# w$ M禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
# D6 h5 V  F4 s; s2 _A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

$ p, Q* @. \  A( f; j六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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8 v4 Q4 x, a( ^3 ~' i' u) V作者：_朝闻道_
来源：CSDN


1 j: R# ~5 P8 O/ o' {) C0 S$ ^- `

' K5 ^  P8 F2 O. U) D# u